Si les deux séries

K, 4- Ml 4" Mj 4- ■ . .4- M„ 4-. . • , V, 4“ C| 4" e, 4“ • ■ ■ 4- 4- • . .

sont convergentes et que leurs sommes soient respectivement « et V, on dit que la série

est convergente et a pour somme « 4- v — i.

Cela posé, soit z une variable réelle ou imaginaire, dont

ET LE CALCUL INTÉgEAL. i59

nous désignerons le module, par p cl l'argumenl par «, en sorte que l’on aura

Z = P cos U + ^ — I sin w ;

la série -h - ■ ■ convergeant vers la limite eP, il est

évident que les deux séries

pCOSw p’ cos 2 U P* cos 3 w

psinw p’sin2w p’sinSoi

seront aussi convergentes; donc il en sera de même, d’après notre définition, de la série imaginaire

ros M 4- v^— I sin o’^cos2w4-v/ — isinau)

c’est-à-dire de la série

Quand z se réduit à une quantité réelle, la somme de celte série est e*, et il est naturel d’étendre la môme notation au cas où la variable est imaginaire; ainsi la fonction e* sera définie par l’équation

Les considérations précédentes s’appliquent sans modification aux deux séries

r- — - — ... et 5

qui restent convergentes, quelle que soit la valeur imaginaire attribuée à z; ces séries ayant pour sommes cos z et sin z