OU

I • - psînci)

(3) log r— - logfi + a pcosi» >[/=arclang — ‘ — — •

' ' ° 'J! ^ r /> T • + P COSo)

La première des équations ( 2 ) ou ( 3 ) détermine le module r, qui est positif; quanta l’angle ij<, il n’est déterminé complètement ni par la deuxième équation ( 2 }, ni par les équations ( i ), qui font connaître son cosinus et son sinus. Mais, comme l’hy- < polhèse P = O donne r = i , cos '}' = '> sin ij/ = o et que l’on satisfait à ces dernières équations en prenant iJ< = o, nous achèverons de définir l’angle ^j^ par la condition qu’il soit une fonction continue de p, s’annulant pour p = o.

Si l’on différentie les équations (3) en regardant «comme constante, il vient ,

rflog r

cos « -4- p - 2 p cos «-4

sin U

1 2 p eus w “H

d'if

la deuxième de ces formules montre que la dérivée con-

serve le signe de sin «, donc \}i est une fonction de p qui est constamment croissante si « est compris.entre o et??, et constamment décroissante si « est compris entre — ir et o. Or on a par les formules ( I ) et ( 2 )

r=i, cos^=i, sinij( = o, pourp=o,

/•=2cos|«, eos^}l = C0S7M, siniji =sin|M, pourp = i, r=oo, cos'J;= cos«, ,sinij<=sinM, pourp=co;

d’ailleurs, la deuxième équation (i) montre que sin^i ne s’annule jamais, à moins que l’on n’ait sin» = o, cas dont il n’y a pasà s’occuper; donc, quand p croit deo à 00 , ^J< croit ou décroît constamment de o à», et l’on a = pour p = i.On voit aussi, par la première équation (4), que si cos « est positif,

r croît de o à 00 quand p croît lui-même de o à 00 ; au con-

traire, si cos» est négatif, r décroît de i à -(- ysin’» et croît ensuite de -f sin’ « à -i-oî'

" . ^ ET LE CALCUL ITTÉGRAL. - l65

19. Nous nous proposons ici de développer, par la formule de Maclaurin, les fondions log ret i|< en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de p. Pour cela, il nous faut obtenir les dérivées des divers ordres de nos deux fonctions; on y parvient très-aisément en procédant comme il suit.

" Si l’on ajoute les équations (4) après avoir multiplié la seconde par ^ — I, il vient

t/logr , , — - d-fi P -f- ( cos M-i- \/ — I sin <»)

‘ , dfi ^ dp p’ 4- 2 P cos O) 4- 1

Orle dénominateur du second membre est précisément leproduil du numérateur par l’expression conjuguée p4-(cosw — v^— i sin on aura donc

rflogr ■ , d-l I ' '

dp ‘ ' dp P 4- (cos M — isinw)

Si donc on différentie (m — i) fois les deux membres par rapport à p, on aura

cf"logr

d'^-if

' * : dp” * dp”

' (p4-C0Su — y' — isinw)'"

on aura aussi, en changeant — « en — y — 1>

rf”logr , d”^

dp” '' ' ^

(p 4- cos O) 4- v' — I sin w)™’

d’où

dp”

(p4(>0SM — sinM)-"4- (p4-cosm 4-y/— i sin»)""^

(p4-cosM — — isin6>)~‘" — (p4-coso) -i-y/ — i siOM)~".

l66 KOTE SUR LE CALCUL DIFFiF.R'ENTIEL

enfin, si l’on fait p = o, les équations ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) donnent

fl r I*

logr=0, =COSw, ^ =( — I 1 .2.. .( m — I )COSW7ru,

dp”

■t = o, -ji=smw, —r^ =( — 1)"~' i.2...(/?t — ijsinwîw,

par conséquent, on aura par la formule de MaclauTin,

, pCOSw p'rosaw , O— 'C0S(« — l)a> „

logr=t V

^ psino) ^ ^ ^ p-- sin(w— i)»

Si P est <;i, l’angle est compris entre o et t«; je disque dans ce cas les restes 11, et H'„ tendent vers zéro, quand-n augmente indéfiniment.

Désignons en effet par 6 une quantité comprise entre o et 1, et posons ' ...

6p -(- cos w = o cos a , sin U = (isina; ^

représentons aussi par R et g- ie reste R„ et ia quantité cos na, ou le reste RI, et la quantité sinna, on aura ces deux expressions de R :

la valeur de o’ est . . -

= I + 2 Op cos o> -t- ô' p’ ;

et par conséquent si cos u est positif, on aura a> i; dans ce ras, la première expression de R montre que R„ et R'„ tendent vers zéro quand n tend vers l’infini, pour toutes les valeurs de P comprises entre o et i. Si cos u est négatif, la valeur précédente de a’ donne

= ’>.-2 0p-H4’p’>(i-Op)>>(p — 0p)’;

donc la fraction - — ^ est inférieure à .1, et l’on voit, par la