ET LE CALCUL INTEGRAL. 1G

deuxième forme de R, que U„ et R’ tendent encore vers zéro quand n tend vers rinfini.

On aura d’après cela, pour les valeurs de p comprises entre o et i ,

log r = *

p’ cos 2 <u

sin 61

p’ sin 2 61

p’ cos 3 ( ■ 3

p’sin 3 61

Ces formules {7 ) sont d’un usage très-fréquent dans les mathématiques appliquées et particulièrement en astronomie. Il faut observer que, pour le calcul, il faut multiplier le second membre de la première par le module M des logarithmes vulgaires et diviser le second membre de la. deuxième par sin i"; on a ainsi

— rpC0S6i p’C0S261 p*COS36) “I

logVi-)-2pC0S6i-4-p*=M — c — h- — 2 ••• ’

P sin 61 [ psinoi p’sine6i p’sin36i ”1

arc Lsin i" sin 2" sin3" "j’

en écrivant sin 2", sin 3",. . au lieu de 2 sin i", 3 sin i",. . , ce qui est permis, tant qu’on ne prend qu’un petit nombre de termes de la série.

Si l’on ajoute les formules ( 7 ) après avoir multiplié la seconde par il vient

, *. , p(cos6i-i-v' — isiii6i) p’(

log r-4-i{- 1 — p— ■ ^

p’( cos 361 -t- v'— I sin 3 6i

cos 2 61 v' — 1 sin 2 6i)

or lasoiïime logr-f-ij' v^— 1 n’est autre chose que la valeur principale de l’expression log(i-t-z); on a d’ailleurs a* = p" ( cos ;i 61 -t- \/ — I sin n 6i ) ; donc la formule précédente peut s’écrire , . . ' .

log(i

l68 VOTE Sun UC calcul OIFEnÉREXTIEL

Cette formule (g), établie précédemmenl«pour les valeurs de z comprises entre — i et -i-i, subsiste donc aussi, en réduisant log(n-z) à sa valeur principale, pour toutes les valeurs imaginaires de Z dont le module est inférieur à i ; elle équivaut, comme on le voit, aux deux formules ( 7 ) qui ne renferment que des quantités réelles. Il convient 'de remarquer

que la deuxieme équation ( 7 ) donne, en y faisant m = ±; - et ,

P sin S) = X, , ' •

arc long x z=:

formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre — I et -t-i, et qui suppose le premier membre compris

JT TT -I

entre — 7 et -+- T-

Sur {expression de la différentielle d’un arc de courbe plane . ' ou à double courbure. ■ «

20. Le périmètre P du polygone, inscrit dans un arc de courbe C, tend vers une limite déterminée, lorsque ses côtés tendent tous vers zéro.

'En effet, soient x, y~, z, et x + Aar, /-t- ij , a + Aa les coordonnées des extrémités d^un cotée du polygone, relatives à trois axes rectangulaires, on aura ,

= Ax y/

Ax’ Ux'

, Ar Az ■. ‘ .. . dy'

les rapports — ont respectivement pour limites et

quand A X tend vers zéro ; on a donc

/ / dy. * dz' \ ' '

en désignant par s une quantité qui s’annule avec Ax. Si l’on prend x pour variable indépendante et que l’on fasse

rfx“

dz'

dx'

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