ET LE CALCUL INTEGRAL

Y sera une fonction donnée de x et l’on aura c = Y A a: + eA a:,

puis le périmètre total P du polygone inscrit sera P = ZYAa;-t-ï«Aa;.

Cela posé, construisons dans le plan x,y la courbe C' dont Y est l’ordonnée et désignons par A l’aire comprise entre la courbe, l’axe des x et les ordonnées qui répondent aux abscisses extrêmes X, et Xy, Supposons en outre cette aire décomposée en trapèzes élémentaires ayant pour bases les A a:; l’expression de ces trapèzes sera YAx-f-wAar, » s’annulant avec A a:, et l’aire A elle-même sera

A = 2 Ya a; -f- 2nA x,

on aura donc i

P=A-+-z«Aa: — Zri^x.

Cela posé, si «' et »' désignent respectivement celui des < et celui des >1 qui ont la plus grande valeur absolue, les sommes 2eAa:etz>iAa:seront respectivement moindres en valeur absolue que t'ilx et n'i\x, c’est-à-dire moindres que t'(x, — x,) et »'(a?, — a:,); mais s' et r>' s’annulent en même temps que les A a:, donc les sommes z t A x et z»A a; ont pour limite zéro, et l’on a

lim P = A.

Le périmètre du polygone inscrit dans un arc de courbe tendant vers une limite déterminée indépendante du mode de division de l’arc, lorsque ses cotés tendent vers zéro, cette limite est dite la longueur de l’arc de courbe.

11 est facile maintenant d’avoir la différentielle de l’arc «delà courbe C, dont l’une des extrémités est supposée fixe et l’autre variable. Cette différentielle ds sera égale, d’après ce qui précède, à celle de l’aire A, laquelle est Y dx, et en remettant pour Y sa valeur, on aura

^ ^ dx=\!dx'-^- dy^+dz'.

On peut déduire de là que le rapport d’un arc de courbe à sa corde a pour limite l'unité, quand l'arc tend vers zéro. Soient C'éd.II. ' ,,

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170 NOTE SUB LE CAIXUL DIFFéBENTIEI.

en effet c la corde qui soiis-tend Tare Ai, on a -

Ai

Ai

d'où

lim —

^A .r’ A Al’ ^