A AT’ A

ds

dx

dx^

dz^

dx'

dx^-\- dz'

21. On peut obtenir de la nla^niè^e suivante le développement en série de la différence entre un arc de courbe et sa corde. Soient x, y, z, les coordonnées rectangulaires de l’extrémité variable de l’arc r^et ^x, Aj, A 2 les accroissements de x,y, Z qui correspondent à l’accroissement Aj de s, on

aura par la i

formule de

Maclaurin

dx

d'x As’

Ai*

Ax:

ds' 2

ds*

Hy

dy

d'y As’

Ai*

ds'

dz

d'z As’

Ai*

ds*

Posons aussi

\/Aa;’-+- A/’-h A2’ = As -)- a, As’ h- Aj A*> -t- A( As*-!-. . . ,

élevonsau carré cette équation et remplaçons ensuite ^x, ^y•, A z, par les valeurs écrites plus haut ; on trouvera, en égalant les coefficients des mêmes puissances de As,

dy d‘y ds ds'

. I rdx d^x

. I r dx d'x

* 24 L 6/s ds'

r d'x d'x ds' ds'

dz d'z~^ ds r/s’ J

dyd'y dzd'z ds ds' ds r/s* d'y d'y

ds' ds'

d'zd'z^

ds' ds' J ’

ET LE CALCCL IVrécRAL. IJl

Mais on a, en désignant par p le rayon de courbure à l’extrémité de l’arc s,

d’où l’on tire, par la différentiation,

d^x d^x d’jrd’jr d^zd^z i p*

ds^ ds^ ds' ds^ ds^ ds^ 2 ils ’

ensuite si l’on différentie trois fois de suite l’équation il vient, en ayant égard aux formules précédentes.

dx d^x

dy d'y

dz d'z

ds ds^

ds ds*

dx d'x

dy d'y

dz d'z

ds ds^

-^Tsl[^'^

~ds ds' 1

dx d‘x

dy d'y

dz d'z 3

ds ds*

^Ts~dF~^

ds ds' 2

et au moyen de ces formules on aura

rf4

P’ 48 ds ’

A, — O, A, par conséquent

I Ai* *^p’Ai‘

les termes ou troisième et du quatrième ordre ne dépendent

que de la courbure l’influence de la seconde courbure ne se P

manifeste qu’à partir des termes du cinquième ordre. La for- , 12.

NOTE SCR CE CALCCL BIFPÉBENTIEL

mule précédente peut s’écrire comme il suit

ds

mais si p, désigne le rayon de courbure à l’extrémité de l’arc 5 -H As, on a, par la formule de 'Maclaurin,

ce qui pennet d’écrire

dL

às ■

+ AZ» = AS- ^ j

en négligeant seulement les termes du cinquième ordre en As. Si l’on applique cette formule au cercle derayon i onaurap=p,=i et si l’on désigne l’arc As par 2a, la corde sera 2^ina; la formule précédente devient alors

sin a = a

ce qui fournit une vérification de notre calcul.

Sur l’intégrale de la différentielle f{x)dx.

22. 11 est nécessaire d’établir l’existence de l’intégrale d’une différentielle donnée f[x)dx. A cet effet, il suffit de considérer la courbe plane dont l’équation, en coordonnées rectangulaires, est y=f{x)\ l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses, une ordonnée fixe arbitraire et l’ordonnée J ou f{x) est une fonction de x dont la différentielle Q^\.f(x)dx (t. I, p. 75). Si donc on désigne par F(at) cette fonction, on aura

d^ [x) = f{x)dx.

On voit que Ja fonction F<;c) n’est pas complètement déterminée, puisque l’aire qu’elle exprime est comptée à partir d’une ordonnée fixe qui est tout à fait arbitraire; on peut

ET LE CALCUL IMT^GBAL.

changer cette ordonnée à volonté, ce qui revient évidemment à ajouter une constante à la fonction F (a:); enfin, comme deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer entre .elles que par une constante (n“ 2), si l’on désigne par C une constante arbitraire, F(a:)-i-C sera l’expression générale de l’intégrale de/(ar)<far, et l’on écrit

(i) 1?{x)-^-C = J f(x)dx.

On peut déterminer la constante C par la condition que l’intégrale s’annule pour une valeur donnée x, de x, pourvu cependant que F(^) ne devienne pas infinie pour x = x,\ il suffit effectivement de poser

F(aTo)-l-C = o, d’où C = — F(xt),

ce qui réduit le premier membre de la formule précédente à F ( a; ) — F ( a:, ) ; et si l’on donne à x la valeur particulière X, Ce premier membre prendra la valeur déterminée F(X) — F (x,). Cette valeur est, comme on le voit, celle que prend, pour x = X, l’intégrale de la différentielle f{x)dx, assujettie à s’annuler pour x — o; on la représente par la notation

Jr /{x)</x, et Ton a, en conséquence, •

(2) F(X) — F(x,)=jr f{x)dx. '

Le second membre de la formule (i) est dit \’ intégrale indéfinie de la différentielle f{x}dx; le second membre de la formule (2) est au contraire une intégrale définie.

On peut toujours donner à une intégrale indéfinie la forme d’une intégrale définie, ce qui offre souvent de l’avantage. En effet, si dans l’équation (2) on remplace la valeur déterminée X par la variable x, on aura . ,

et si l’on élimine F(x) entre les équations (i) et (3), puis (jue

1^4 KOTE SL’B LE CALCITL DIFFI^BEXTIBL

l’on écrive C au Heu de C-l-FCo:,), on aura

(4) f(x)dx + C.

23. La fonction F (a:) ayant pour dérivée f{x), si l’on pose X — x,= mh, m étant un nombre entier positif, on aura, d’après le théorème du n“ 2,

pour A = O, ou

F(X)-F (a:,) =lim [A /(ar,)+ hf{x,+ h) +. . .+A/(ar.+ A)]

ou, enfin, d’après l’équation (2),

f f(x)dx = \im ’^J{x)dx; ce qui exprime que l'intégrale définie ^ f(x)dx est la li-

mite vers laquelle tend, pourrfa; = o, la somme des valeurs de la différentielle f(x)dx, quand x varie de x, à X, par intervalles égaux à dx. Nous supposons ici, bien entendu, que la fonction /(a:) reste finie, quand x varie de x, à X.

Sur les intégrales multiples.

2A. La recherche des volumes terminés par des surfaces courbes et celle des aires de ces surfaces se ramènent, comme on l’a vu, à la détermination d’intégrales doubles, qui, dans le système des coordonnées rectangulaires, ont pour expressions générales '

D’autres questions conduisent aussi à des intégrales triples, quadruples, etc., et, dans tous les cas, l’intégration doit s’étendre à toutes les valeurs des variables qui satisfont à ccr-

ET LE CALCUI. IKTéGRAL.

taines conditions exprimables par une ou plusieurs inégalités. Lorsqu’on peut elTectuer l’intégration relative à l’une des variables, l’intégrale multiple se réduit à une intégrale d’ordre inférieur d'une unité et, quand il n’en est pas ainsi, on peut quelquefois opérer la réduction par un changement de variables.

Considérons, par exemple, l’intégrale double

( I ) ç z=y'y’ V dxdy,

dans laquelle V désigne une fonction donnée de x et y, et supposons qu’on veuille substituer aux variables x y deux nouvelles variables « et v, liées aux premières par deux relations données. Quelle que soit la portion du plan des xy qui comprend les points (x, /) auxquels l’intégration doit s’étendre, l’intégrale ç se composera d’un ou plusieurs termes de la forme

Z= f''dx f'vdy,

Jx, J r,

y, et y, désignant deux fonctions données de x, et x„ x, étant deux constantes. On peut évidemment supposer que y x croissent constamment de la limite inférieure à la limite supérieure, ce qui revient à dire que dx et dy sont positives. Cela posé, des équations données entre x, y, u, v, ort peut tirer la valeur de y en fonction de a: et de v; soit

et considérons l’intégrale

\ dy o\i X peut être regardé

comme un paramétré constant. Si l’on y remplace /par f(x, 0),

, df(x, v) , 1, J . J r"' \r •') 7

dy par -- — - dv, elle deviendra J V ■ ■' — ■ dv, v, et

V, étant les valeurs de v qui répondent à /==/,,/=/,. Nous supposons ici que v varie toujours dans le même sens, quand / varie de' /, à s’il en était autrement, on rentrerait dans cette hypothèse en décomposant l’intégrale relative à / en