ET LE CALCUL INTÉGRAL. I

. ' A dY(u,v)

et par suite, a cause de — j

du du

df{x,v)d¥(u,v) dx dy dx dy

dv du du dv dv du

La valeur <ie Ç devient en conséquence

la fonction V étant exprimée en « et c.

25. On peut encore arriver au résultat qui précède par les . considérations suivantes. L’intégrale ç 'peut être regardéé comme représentant un volume composé de prismes élémentaires V dxdy dont les bases dxdy remplissent une portion du ' plan xy. Or deux équations telles que

= ~Mx,y) — v,

ou U et V désignent deux paramètres variables, représentent deux systèmes de courbes, et il est clair que deux courbes infiniment voisines de l’un des systèmes détermineront avec deux courbes infiniment voisines de l’autre un parallélogramme infiniment petit dont l'aire sera ds, ds, sint; ds, et ds^ étant les éléments infiniment petits des courbes u et v, et s l’angle de ces éléments. Le volume que représente ç sera évidemment la somme des volumes élémentaires V «fi, sint, et l’on aura '

\dstds, sint.

Mais ü; et / sont fonctions de « et c; si l’on demeure sur la courbe u, v variera seul et l’on aura

si au contraire on marche sur la courbe v, u sera seul variable

178 NOTE SEB L£ CALCDL DlFFÉBEimEL

et l’on aura

d'où

dx = ^ du, dr = ÿ- du, du ‘du

Les cosinus des angles formés par ds, et par dst avec les axes des X et des y étant proportionnels respectivement à ^

dy dx dy

et * -r- et J on a dv du du

COSf =-

dx dx dy dy du dv dû dv

sin c

d’-où

vWFmwii^hm

Idx dy dx dy\

\ du dv dv du )

, . , f dx dy dx dy\

et par conséquent

comme on l’a déjà trouvé. ,

Par exemple, le passage des coordonnées rectangulaires x et y aux coordonnées polaires p et w, liées à a? et à 7" par les équations

X = P cos U, y — P sin w, conduira à la formule

II y dxdy= J* J* Vpdpdt^;

lc§ éléments pdpdu sont ici des rectangles dont les côtés dp,