ET LE CALCUL INTEGRAL. I

pda sont les éléments respectifs de lignes droites menées par l'origine et de circonférences ayant cette origine pour centre.

26. En général, si l’on a une intégrale multiple d’ordre n, telle que *

^ — J' " J'^ dxdy. . . dz,

et qu’aux n variables x, y,. . z on en substitue re autres u,

liées aux premières par des relations données, on

aura

J’ j’ -'J’ ^dxdy. . .dz = J' J'. . . J'{±à)\ dudv. . . dw,

A désignant le déterminant

du^

dw'

du'

dv'” ■

dw'

du'

Ce théorème est démontré par ce qui précède dans le cas de deux variables x et^; il suffit donc de l’établir pour n-|-i variables, en admettant qu’il ait lieu pour n variables.

Soit donc l’intégrale d’ordre n-hi

^ — J J"- ' J' J' ^ dxdy. . . dzds,

et supposons qu’on veuille substituer aux variables x, y,. .

Z, 4 les + I variables «, v,..., w, t. On peut commencer par exprimer les n variables a:, /,. . ., z en fonction de s et des n variables ftouvelles «, e,..., w, l’intégration relative à s devant alors être effectuée la dernière. Par ce changement de n variables, on aura, d’après ce que nous admettons

t; = J' f ( i n) V(/4. . .rftv.

l8o NOTE SCB LE CALGOL DIFFÉBENTIEL

D désignant le déterminant

3tv'

âz

nous employons ici la lettre 3 pour exprimer les dérivées partielles prises dans l’hypothèse où les variables indépendantes sont 4 et M, V,..., w, tandis que nous réservons la lettre d pour le cas où les variables indépendantes sont «, v,. . w, t. Or, en différentiant l’une des variables x,y,. z dans cette dernière hypothèse, d’abord par rapport à l’une des variables «, V. . . . «V, puis par rapport à i, on a

dx 3 X 3 X ds dx 3 x d$

du 3u 3s du' dt ^4 dt' d’où -

3x dx dt ds

3 U du ds du 1

et l’on aura des expressions semblables pour cnacune des dérivées qui figurent dans la valeur du déterminant D.

Cela posé, dans l’évaluation de ç, l’intégration relative à s ^eut être effectuée la première, après la substitution dont nous venons de parler, et d’après ce qui a été dit en commençant, si l’on exprime 4 en fonction de t et de u, v,. , »>, on ds

devra remplacer ds par j on aura donc '

\dudv, . .dwdt.

ET LE GALCOL ISTÉfiBAL.

et l’expression de D pourra se déduire delà suivante

du'

dF’’"’

dw^

du'

da>*

du'

dw'

en remplaçant

dx dt as du ds Hü'

Résignons par D, , D^-,. . D, les résultats que l’on obtient en exécutant sur D, une, deux, trois, etc., fois la substitution circulaire qui consiste à remplacera:, y, respectivement

par y, . . Z, s, X. Comme un déterminant rie fait que changer de signe quand on change l’une en l’autre deux lignes parallèles, il est facile de voir que la substitution de a à x,y, . . ,,z changera D, en — Dx , — D^ , . . . , — D. , si le nombre n des variables a:, j, ... z est pair, et en -|-Dxr— D^, . . . — D,, slle nombre n ést impair', les signes étant alternativement -t- et — dans ce dernier cas.

Cela posé, remplaçons, dans l’expression de D, les dérivées

. • ' . dx , , , dx dt ds

de X, savoir : j- j etc., par les valeurs -j -r- -j-j etc.,

du du ds du ’

. dt

on obtiendra, d’après ce qui Vient d’être dit, le résultat

Si dans cette expression on remplace les dérivées de/, savoir:

etc., par les valeurs ^ ^ etc., Dxne changera pas,

l8a KOTE SUR LE GALGDL DIFFÉRENTIEL

car ce déterminant s’annule quand on y met s au lieu de y ; on aura donc le résultat

“ dy

'di

et l’on voit facilement que si l’on remplace les dérivées des autres variables, jusqu’à celles de a inclusivement, par les valeurs indiquées, l’expression de D, deviendra définitivement

dx dy

^ ^ dt dt ^

. ~di ^

dt dt

dt ,

en sorte que l’on aura

Or on sait que le second membre de cette formule est précisément égal au déterminant

dx dx

du' dv'

"d^'Tt'

dy dy du ' dv'

^ dy

dw ’ dt '

dz dz

du' dv'

"dll'Tt'

ds ds

du' dv'

dw’’ dt'

on a donc

et, par conséquent.

ç =//. . .//(± A,) V</« . .dwdt,

ce qui démontre la proposition énoncée.

ET LG CALCUL ISTÉCRAL.

27. Considérons en particulier les intégrales multiples qui se rapportent à l’évaluation des volumes' et des surfaces courbes. On a, pour l’expression des volumes en coordonnées rectangulaires,

'i = SfS dxdydz,

et si l’on substitue à x,y, z les trois variables, u, v, w. il viendra

^ — SSS ^dudvdw,

avec

dx (te dx

du' do' dw ‘

dy dy dy /dxdy dx dy\ dz ^ / dy dz dy dz\dx tdzdx dxdz\dy

dû' dv' dw \cTudv dvdujdw \dudv dv du) dw \dudv dudu) div

dz dz dz du’ dv' dtv

Supposons que l’on prenne pour u, v, w, les trois coordonnées polaires r, 9, iJ», liées à x, y, z, par les formules

’ ar= rsin9cos^|^, 7- = rsin9sini!<, z = rcos6,

on aura '

dx . ^ , dx . , dx • „ . ,

^ = sm 9 cos lîi, jg =rcos9cosi|(, ^ — rsin9sini{<,

^ = sin 9 sin ij», ^ =rcos9sini|(, ^ = rsin 9 cos

dz , dz . ^ dz

dr . ■ d9 dr]/

formules qui donnent

A= r’sin 0,

on aura donc pour l’expression du volume ( en coordonnées {iolaires