Je passe maintenant aux applications
Soit d’abord la suite ' • . •
correspondante aux indices - ' ‘
. on a pour ce cas, - . ' • .
«=3, Am = 4, a’« = 8, .a*m = o, A — 1;
l’expression de A' «se réduit à ses deux premiers termes, et < l’on obtient par son moyen ^ -
ainsi pour l’indice li', il viendra «'=3 + 4^*?' E" prenant^ 5 ’■
A' = -> par exemple, on trouverait que le terme correspondant à cet indice est a8.
Soit encore la suite ' ' ; - . '
en prenant les indices comme à l’ordinaire, savoir,- .
O, I, 2, 3, 4) 5, etc..
. - V ET DES SIÉRIES. , l’J
et formant les différences, on trouvera
u — \, Au = 3, A’u — — 5, a*m=8,' • à*u = — 6, A‘«=o, h = i,
’d’où l’on tirera . ^ '
En réduisant cette expression, et l’ordonnant par rapport aux,, puissances de h', on aura . - - '
• Il faut remarquer que cet exemple et le précédent n’offrent - qu'un nombre limité d’ordres de différences. Sur ce pied, l’expression de qui est aussi limitée, représente^ exacte- , ment Je terme général des séries proposées, et peut servir à . les prolonger autant qu’on le voudra.’ Tous les nombres qu’on en déduira suivront, par rapport à leurs différences, la même Joi que les premiers termes desquels on est parti, et les séries dériveront ainsi d’une fonction algébrique rationnelle et entière. ‘
‘ 384. Lorsqu’il s’agit de fonctions fractionnaires, irrationnelles
ou transcendantes, la suite des différences ^u, a’m, a^m, etc. ne se termine plus rigoureusement, mais quand elle est dé- ' croissante, elle rend convergente l’expression .
It'jh'-h'i
h.ik
A’r<-f-etc./
et permet de la réduire à un petit tiombre de ternies, au moins ■ pour un intervalle peu considérable. En voici un exemple tiré des tables de logarithmes. Je suppose que, par le moyen d’une ■■ table contenant les logarithmes depuis i jusqu’à 1000, avecdix décimales, on veuille avoir le logarithme de 3,i4>59'?G536, nombre très-approchant du rapport de la circonférence au dia-
DES DIFFÉBENCES ' , . " ' .
mètre ; on regardera alors les logarithmes contenus dans la table comme des valeurs particulières de, la 'fonction «, les ' nombres comme les indices auxquels répondent ces valeurs; et l’on formera le tableau suivant ;
Ui — 0 ,4qS3 1 o5538
it, = 0 , 5o 1 0592622
•dont la première colonne renferme les logarithmes de .
la seconde leurs différences premières, la troisième leurs différences secondes, la quatrième leurs différences troisièmes,, et la cinquième leurs différences quatrièmes,' qui se réduisent à. 3 unités du dernier ordre. On aura par ce moyen ' ’ ■>
^u = -H o,ooi38of)o57, A*m==- — o,ooooo43769,‘.- "- A’ « = -4- ô ,0000000277 , A*« = — o,ooooooooo3, ■
et comme ' A=o,oj, A'= OjOoiSgaôSSG,
on obtiendra . ■ • ’ ,i.-'
-il
avec ces valeurs il sera très-facile de mettre en nombres la formule ^ '• . - ■ . ’ .
A.aA ■ h.2.h.iü ■
qui donnera «' = 0,497 1498726. . - ■ 1 ■ '
Il existe des moyens plus faciles pour obtenir les logarithmes des nombres exprimés par beaucoup de chiffres, mais le pré-
. ET DES SÉBIES. I7
cèdent est très-propre à servir d’exemple pour la méthode d’interpolation. On doit reconnaître déjà que cette méthode ^ s’étend à beaucqup d’autres cas; elle est surtout d’un trèsgrand usage dans les calculs astronomiques.
385. Lorsque les valeurs x, x^,x,,Xi, etc. ne sont pas équldiflérentes, on emploie immédiatement la formule
u' — a-^px’ +fx''-\-Sx'* -h e\c.,
dans laquelle la substitution des valeurs particulières x, Xi , x„.Xi, etc., fournit les équations
U =<n.-\-px +'!X' +Sx*
M, = O -+- px, 7 -+- 5x| '-f- etc.,
u,= oL-JrPxt -^’fx\+ix\ + eXC,,
= a -I- Pa:, + 7XÎ -t- -l-etc., etc.,
dont le nombre doit être égal à celui des coefficients indéterminés a, p, 7, etc.; et voici comment on obtient, l’expression de ces coefficients.
En retranchant successivement la première équation de la seconde, celle-ci de la troisième, etc., on parvient à des résultats respectivement divisibles para:, — x, x, — Xi, x, — xt, etc., et d’où l’on tire
Ui M
Xf. — X
^3 — Xi
= P + 7 [x, — (a?’ -t-a:, x + x') -h etc.,
= p-f- 7 (a:, -|-ar,)+3{a?; -I-Jt» a?, -Har, ) -♦- etc., = P H- 7 ( a:, -i- a:,)-|- J (xî ar, ar, H- a;] ) 4- etc..
■ etc.
Posant, pour abréger.
U, — U, Xi — Xi
U, — U, X, — Xi
U,, etc,,
•6«éd. II.
|8 D«s' ftlFFlÉKESÎCES .
on aura les ét^iiations - '
-U =^-\-f[xx->rX ) + ) + elc.,
(J, = P + 7 -H ) -t- ^ ( -3^5 -\-xtXx-\-x\)-^ etc., etc.; .
retranchant encore U de U,, U. de U,, et ainsi de suite, et désignant par UV ü', , etc., les quantités
X, — X X, Xx
on trouvera
. . U' =7-4-^(x,-+-ar, -f-ar ) + 'etc.,
U', =7'+^(ar',4-ar,-+-Ær,)-i- etc.,
d’où l’on tirera - -
U', — L” = ^ (a?, — ^ ) -t- etc.
Maintenant si l’on- fait
on aura 1]"= 5 -i- etc., et si, pour fixer les idées, on ne suppose que quatre termes à l’expression de l’opération finit à l’équation ci-dessus. Prenant la valeur qu’elle donne pour S, et remontant à celles de 7, p, par le moyen des quantités ü', ü et M, il. viendra
# tl",
7 = U' — U"(a:,-+-iri-4-Æ-), '
P=r U U' [Xx+x)-hV" (XiXt-\^XtX-hXxX), '
a-= « — Vx+M'xxX—\S"x,XxX.
Substituant ces valeurs dans l’expression de u', on aura
u' = u-\-V[x’—x)-\-V'[x''—{xx-{-x^)x:'+Xxx]
-h II" [*■” — x” ■+■ (x, X, -i-x, x-f-x, x) x' — x,x, xJ. Il est facile de voir que les coefficients de U, U' et U" son\ dé-
CT DKS SUBIES.
cotnposables en facteurs simples, et que l’on peut mettre u' sous la forme •
u' — u-hV[x' — x)-i-\]'[x' — x){x' ^ X,)
' En poursuivant d'après celte méthode, on obtiendrait une formule analogue à la précédente; et quel que fût le -nombre des valeurs x, x,, x,,. . .de l’abscisse x', on aurait en général
+ U"(x'; — x] X, ).(x' Xj) • .
+ U"’(x' — x) (x' — x,)(x' — X,) (x' — X,) 4- etc., eh faisant - ' ’
«J— K, T, Ua—l(,
■ tli, ■ ■ — iJj, ^ — Uj, etc..
U', Hinl' =L'.,
etc.
U", etc.,
= U^ etc..
:ü',, etc..
Quand les valeurs x, x,, x,^ x,, etc., sont équidifférentès, on a .
xV— ar-4-4, x, = x-j-2A, x, = x'-4-3A, etc..
d’où l’on déduit
Au
.T Au.
Ad]
U'j = — ^ > . ètc.,
' 1 . aA’
etc..
5 “I I O 7.1i ^ etc..
U*- elc.,
etc.; .
30 DES DIFF1ÊRENCES
faisant ensuite Æ-' = a: -I- A', il en résulte \ x' — x=h', x'~x, = h' — h, x' — Xt = h' — lA, . x' — ar,= A' — 3 A, etc.,
et l’on voit ainsi que l’expression précédente de qui devient alors
u'=u-h~^ Am4 rentre dans celle du n° 382, obtenue par une voie différente.
386. Lagrange a présenté l’expression de «' sous une forme nouvelle, en observant que puisque les équations
A’«4-eic.
H = a -\~px + IX* -h 3x^ elc.,
' M, = a 4- px, 4- var? 4- 4- etc.,
H, = a 4- par,4'va;î 4:iîar; 4- etc., etc.,
sont du premier degré seulement, par rapport à- chacune des quantités «,p,7, etc., u, u„ u„ etc., et que «' doit être exprimé en x', de manière qu’en y faisant successivement x' =x, x'=:xi, x'=xi, etc., il vienne u' = u, «'=«,, «' = u,, etc., on peut écrire ' ' •
m' = X« 4- X, «, + X,M, 4- etc.,
pourvu que X, X, , X^ , etc., soient des fonctions de x' telles, que par la supposition de a;' = x on ait en même temps
X, = o, etc..
que par celle de x' = x, on ait
‘X, = o, etc..
que par celle de x' = x, on ait
Xj= I, etc..
et ainsi ds suite, conditions qui seront remplies si l’on prend
etc. ’ - - .
La loi qu’il faut observer dans la formation <fe ces quantités est on ne peut pas plus simple; leur numérateur contient, ainsi que leur dénominateur, autant de facteurs qu’il y a de quantités x, Xi, x„ x^, etc.;"rooins une; et si l’on y fait les hypothèses indiquées ci-dessus, non-seulement on se convain- cra qu’elles satisfont à la question proposée, mais on verra de plus comment il a été possible de prévoir qu’elles y satisferaient ; on a donc cette nouvelle formule d’interpolation :
' (x, — x)[x, — Xi) {Xi — X,)t.,.
(x,— x)[xt — xi)[x, — x,)...
-+- etCi “ -
très-commode dans la pratiqué, parce qu’on en peut calculer chaque terme par le moyen des logarithmes. Il ne serait pas difficile de la ramener à celle du numéro précédent, et même à celle du n® 382; c’est pourquoi je ne m’y arrêterai pas.
387. Ici il est aisé de voir, d’une manière évidente, que le problème de l’interpolation est indéterminé, quand des consi- * dérations particulières ne fixent pas la forme de la fonction qui doit représenter le terme général des nombres donnés.
En effet, les seules conditions auxquelles soient assujetties les inconnues X, X„ X„ etc., peuvent être remplies par des fonctions bien différentes de celles que Lagrange a choisies.
On trouve d’abord l’expression très-simple , ■
sin m(x' — x, ) sin n {x' — x,) sinp{x' — x,) etc., qui jouit de la propriété de s’évanouir, lorsque x'==Xt, x' = x,, etc.,
quels que soient les nombres m, », p, etc.: on pourra donc poser l’équation
^ sin m {x' — x,) sin n(x' — x,) sin p[x' — x,) etc.
sin TO [x — X,) sin » (x-;- JT,) sinp(x — Xt) etc.
dont le second mpmbre se réduit à l’unilé Iwsque x' — x; et
aa
sur. ce modèle bn formera aisément les valeurs de Xr, X„ etc., dans chacune desquelles on pourra prendre pour les cocfQcients m, n, p, etc., tels nombres qu’on voudra.
Si de pareilles expressions s’accordent avec celles du numéro précédent pour les valeurs de x' comprises dans la çérie X, x„ Xx, etc., elles en "diffèrent beaucoup dans les intervalles, dès que les arcs ne sont plus assez petits pour être sensiblement proportionnels à leurs sinus: on peut d’ailleurs substituer les tangentes aux sinus, et les conditions précédentes seront encore remplies. •
388. Les formules d’interpolation s’appliquent d’une manière très-utile dans la détermination approchée de l’intégrale /Xdx, ou de la quadrature des courbes. La première idée qui s’est présentée sur ce sujet; a été de substituer à la courbe proposée une courbe parabolique, assujettie à passer par un nombre donné de points de la première ; il est évident que plus ces points secont multipliés et resserrés, plus l’exactitude croîtra.
En prenant d’abord la formule
«' =i a -t- px' -hy x'^~+- etc..
pour représenter l’ordonnée de la courbe paraboliqucrl’aire de cette courbe sera exprimée par *
f u'dx' = -h 1- etc. -(- consl.',
quant aux coefficients a, p, y, etc., ils se concluront sans peine du dév eloppement de l’expression employée pour
Si l’on prend celle du n° 382, qu’on y fasse ^ = x', elle deviendra .
.. , x'Am 'sc'[x' — , x'fx' — i)(x' — 2)i’M
-etc..
et il faudra la pouâscr jusqu’au même nombre de termes que la précédente, c’est-à-dire celui des points par lesquels doit être déterminée la courbe parabolique.
Supposons que ce nombre, soit 3; on ne prendra que les
DigitiZ‘—
ET DES sé«IBS. >
trois premiers termes de la formule ci-desSiis; en l’erdounant suivant les puissances de x' , il viendra
CLz=iU, p = A« — 7 =
quantités qui ne dépendent que des trois ordonnées consécutives m, «„ répondant aux valeurs
h'-=o, h’ = h. A' = 2 A, ou x' = a, x' = i, a:' = 2;
et si l’on assigne o et 2 pour les limites^ de Ju'Ax', sa valeur ■sera ’ ^
2M-I-2 ^ A’ji = 2 -t- Am + g
Dans ce cas, u' serait l’ordonnée d’une parabole QR,^g', f>4, passstnt par trois points de la courbe proposée DE, et f u'Ax' l’aire du segment de celte parabole, compris entre la première ' ' ordonnée PM et la troisième P,
En général, celle parabole QR sera alternativement intérieure et extérieure à la proposée, ou vice versA; en sorte que l’aire de son segment différera, dans une partie par défaut et ' dans l’autre par excès, de l’aire du . segment correspondant de la courbe proposée DE; et alors il pourra s’opérer dans le résultat total une compensation plus ou moins approchée entre ces différences.
La formule précédente devient plus symétrique qüand on remplace les différences Am et A’m par leurs valeurs
M, — U et «1 — 2Mi-f-M (378); on obtient, après les réductions,
Si l’on conçoit de même qu’il passe une nouvelle parabole par les points M„ M„ M4, et ainsi de suite, et que l’on réunisse les aires de chacun de leurs segments, on pourra embrasser une portion aussi grande que l’on voudra de la courbe proposée; et si la dernière ordonnée est représentée par Um, .
a4 ' DES DIFFÉEESCES
m>étanl un nombre, pair, on aura
+ J (Ui»i + 4*^»— •”i"
= ^ (u M«) + I (Mi + «*••• + «»i-0
^ («I 4- Mj. . +Mm i).
Ce résultat, d’une forme assez élégabte, ne comprenanVque des lignes qu’on peut mesurer sur la figure, peut servir à éva- • luer des aires renfermées par des courbes dont on n’a pas l’équation, avantage que n’offre point la méthode du n® 233.
Au reste, dans l’une et l’aulne méthode, il faut calculer q part les portions comprises entre deux points singuliers, et multiplier davantage les ordonnées dans celles où la variation de courbure est le plus considérable. Nous reviendrons sur ce sujet au n* 403.
De l'analogie des différences avec les pnissances.
389. Le calcul différentiel et celui des différences, quoique étant bien distincts, comme on le verra dans la suite, ont néanmoins de grands rapports entre eux, et peuvent s’appliquer l’un à l’autre. Lorsque l’on considère le premier sous le point de vue où l’a présenté Leibnitz, ou par la théorie des limites, il'devienl un cas particulier du second : on a dû le remarquer au commencement de cet ouvrage, et pour le confirmer encore, je déduirai la série de Taylor, de l’équation
H AaH — i ■' A'M
nin— i) (n — 2)
— i. i-i- A’ « -f- etc.
Soit M = f ( a: ) , et que la variable a: reçoive successivement un nombre n d’accroissements égaux, représentés par S; la valeur «n sera celle que prend u quand x devient x + nx; fai-
ET DES S1ÉB1E8.
aS
sant ensuite na = h, on aura re = — et
a l.aa’
H a*«-h etc.,
ce qui peut s’écrire ainsi :
ei ^ . L\ ■ , h
' ' la
h jh-^a) (h — 2a)
etc.
Maintenant, si l’on conçoit que, h demeurant constante, a dé-, croisse indéfiniment, ce qui revient à supposer le nombre n de plus en plus grand, le second membre de l’équation ci-dessus tendra vers une limite qui s’obtiendra en faisant a o, et en observant que les rapports
Au ' A’u A‘u
— > — -3-5 etc.,
.ont alors pour limites les coefficients différentiels
d U da:’
on aura donc encore
d’ M d* M dj;*’ die’
> etc. (375) :
d « A. d’ M A’ d'« A* dx I da:’ I .a dar*i.2.3
etc..
pour le développement de la fonction «, quand x est devenue x + h. C’est à peu près ainsi que Taylor est arrivé au théorème ci-dessus, qui porte fbn nom.
Lorsqu’une fois on y est parvenu, la théorie analytique du Calcul différentiel n’offre plus aucune difficulté ; ainsi ce qui précède suffit pour montrer comment il résulte du Calcul des différences. ■'
390. A l’aide du théorème de Taylor, le développement des différences d’un ordre quelconque pour une fonction quelcon- ’
a6 DES DIFFÉBENCES . . / .
que s’obtient sans dirTieulté. On a premièrement ' ^ .
■ du h dUc ' d’u fi‘
= Â i'T-;':: *■:!“: 5 + etc. ;
dx I da:’ t.2 da;‘ 1.2.3
et si, dans cette équation, on met successivement Au, A’u, A’a, etc., aü lieu de «, on formera les expressions
, dA« h d’AM /i’ • d*A« A’ . .
A'm = -t H-t-t 7+^-3-^ r-4-etC,,
dj7i. dx^ 1.2 dar‘j.2.3
dA’uA d’A’M A’ ■
A‘« = — j H-pr i- etc.,
. ' da: I da?’ i .a
, . dA’KA ■ ■ . •
A*« = — 1- etc.,
ox ï •
-etc., ..
au moyen desquelles le développement de chaque différence se déduit de celui de la précédente. On obtiendra d’abord i. '-'
^ - di^ T dT> 7 d?. 13
dar* 2 da;* 2.2
etc.
'etc.
Il serait facile de ^rouve^ la loi que suivent les termés de celte expression; mais on y parvient d’une manière plus générale, au moyen de l’analogie qui existe entre la différentiation des quantités et leur élévation aux puissances, analogie dont le n° 378 renferme' les premières traces. “ ' , . .
