Nous nous proposons ici d’ajoulor quelques mois à ce

que Lacroix a dit sur cet objet, en nous bornant à faire con^ . naître quelques intégrales définies qui se rencontrent fréquemment dans les mathématiques.

Considérons les différentielles

e-“ços bxdx, er-^stnbx dx\

en les ajoutant après avoir multiplié la seconde par 7, on -f obtient la différentielle

dont l’intégiale est

dx,

• constante

(rt COS hx-\~b sin hx) e

-I- constante ; . r V J- ^

-■ ~{fl — b^j^ — 1

2 on aura donc J’*~^ cos bx dx =

' C • L ^ (rtsinèar — bcosbx)e~“^ , .

^ J = a^^'b^ • ‘ — -+* C0«sunie. \ î.; V ■:<

rt’-t- b'

constante,

< .'Ci

biipposons que a sôil positif, et prenons les intégrales entre . ’>

'J.' les limites o cl oo , on aura

.{') / -fc~** cos bxdx = —-,—7-, ’ / C^“*sin6;rrfar= .

î;V' Si l’on multiplie la première formule par dh et qu’on l’in- V.', - ...lègre ensuite de 6 = o à è = a, on aura, [lar la règle de l’in-

tégralion, sous le signe /

: /••” .sinaar, /•" adb ■

ï'rr *. . 1 I C-" (te±= / ~ ' <,■ ■> ^.-?v • ■’

aoo NOTE SCR I.E CAt.CCL DIFFERENTIEL

si l’on fait dans le second membre b=^aa.', db=a(l<i\ il v viendra ' ,

• • ' Jo ^ Jo

Si maintenant on fait tendre a vers zéro, le second membre ■

imite I ou arc tangx ou on aura

„ Jo '-i~* ’ ■ * '■ . ^

tendra vers la limite donc (2)

2 r* sin ^

"Jo ^ x~i.

Le premier membre de celle formule est une fonctiou essentiellement discontinue de «; il est égal à i si a est > o, mais il s’annule évidemment pour a = o, et change" de signe ■quand » est négatif. Remplaçons « par a-t-6 et par a — b, «t et 6 étant positifs et a >Z>, on aura ^

2 /■'“ sin rtx oosAx -4- cosff.r sin . . •

- I dx st= I , "

2 sin (7X COS Aj: — cosaxsin ix ' , ' '

ajoutant et retranchant, il vient ,

sin ax cos bx

2 r'^ sir

^Jo

”Jo

' sin bx cos«.r

dx^o.

d’où il suit que l’intégrale

'* sin àx cos bx

■ îT

" Jo

est égale à i ou à zéro, suivant que a est >6 ou ; là même

intégrale se réduit à ^ dans le cas de 6 = a, à cause de la Ibr- ' '

mule (2). Cette propriété de l’intégrale que nous considérons , a été utilisée d’une manière remarquable par Lejeune-Dirichlet ' pour la réduction des intégrales multiples. ' ‘ ' .

35. Pour montrer une application des formules (3), rèpre- . '

ET UB CALCUL IMTétinAL. 201

nons la deuxième des équaiions (i), multiplions ses deux . cos bdb

membres par — ^ — et intégrons ensuite deè = oà6 = co, il viendra, en intervertissant l’ordre des intégrations.

er‘idx f Jo Jo

mais l’intégrale 1 r

sin bx cos b -, db

cos b db Jo a’+i’ ’

“ sin cOsè

db est égale à zéro si x est

<; >, et égale à - si x est > i ; on a donc

- f"e-<^dx±= f” —

2 J, Jo «’

cos bdb ~b^'

La différentielle e~“dx a pour intégrale indéfinie —

et le premier membre de la formule précédente se réduit en . « e-“

conséquence a on a donc

* a cos bdb

ou, en mettant ax au lieu de b,

cos axdx TT

mais il faut bien remarquer que cette formule ne subsiste que pour les valeurs positives de a.

Sur l'intégration des différentielles contenant plusieurs variables. '

36. Le procédé suivant, dû à Cauchy, est préférable à celui que Lacroix a fait connaître; il conduit d’ailleurs à une conséquence importante dont nous ferons usage plus loin.

Supposons qu’il s’agisse d’intégrer la différentielle

G' éd. H.

Vdx +

ào3 NOTE SUR LE CALCCL MFFéREXTlBL

OÙ P et Q désignent des fonctions données des variables indépendantes X, y. La question proposée n’est possible que si

.. rfQ . ...

1 on a ^ ; nous supposerons donc cette condition sa-

tisfeite; on verra tout à l’heure qu’elle est suffisante. S’il existe une fonction « ayant pour différentielle Q</y, el

que C soit une constante, la fonction « 4- C aura aussi cette même différentielle, et en outre toute fonction ayant Pdx-i-Qdy pour différentielle sera nécessairement de la forme u + C. On peut déterminer la constante C par la condition que l’intégrale M 4- C s’annule quand On fait à la fois x = x„ jr=sr,; désignant donc par u, ce que devient u dans cette hypothèse, on aura V intégrale définie u — u,.

Cela posé, soient

et cherchons à déterminer, s’il est possible, une foncfion u ayant pour différentielle Prfaf4-Q<// et s’annulant pour y = y,. La fonction u, considérée comme fonctioh de la seule variable x^ a pour différentielle f{x,y)dx, et l’on a en conséquence

u = f ç (x, y) dx

Jx,

Y étant une fonction inconnue de y qui doit s’annuler pour y = y\. Si l’on différentie la formule précédente par rapporta^, et que l’on ait égard aux égalités ■ . ^

dr,(x,y)dlf[x,y)

on trouvera

,, , rd<^{x,r). dY

ou, en effectuant l’intégration dans le second membre.

^ix,y) = -i>[x,y) — '^{x„y)-

Digilized by Gt

et le calcol intégral. so3

Intégrant cette oernière équation de manière que Y s’annule pour7 = j,, ona ,

Y=r ^{x,,y)dy,

et, par conséquent,

«=/’ ?(^,r)dx+ f%(x.,y)dy

La fonction u déterminée par celte équation satisfait aux conditions du problème et l’on voit que celui-ci est toujours possible si l'on a dj(x,y} ’ , .

dy dx

37. Dans lasolulionprécédente, on a commencé l’intégration par rapport à x, mais on aurait pu commencer par intégrer relativement à y, et il est évident que l’on aurait obtenu par • cette voie , ‘

^ Les deux valeurs de « que nous trouvons ainsi sont égales, car elles ont même différentielle et elles s’annulent l’une et 1 autre quand on fait x=x, et On a donc identique-

njent

jf <f(xy)dx-+-£ ^{x„y)dy= J ^ ^[x,y,)dx-ir J%{3:,y)dy,

et si l’on donne à x et y les valeurs déterminées, mais arbitraires X et Y, comprises comme x, et y, entre les limites en dehors desquelles y (a?, j) eti[«(x,jj cessent d'être continues, on aura

cette formule très-générale a lieu pour deux fonctions quelconques et ) satisfaisant à la condRion

d^{x,y) dx

ao4 NOTE SCR I.E CALCCI. ftnVBRENTIBL

38. La mclhode précédente est applicable quel que soit le nombre des variables indépendantes. Considérons, par exemple, l’expression . , . ,

f{x,x,z)dx-i-^{x,x,z)dx+^a[x,x,z)dz, . .

telle que l’on ait identiquement d<f[x,x,z)d-^{x,x,z) dfix,r,z)deT{x,x,z) d'i^{x,x,z)da{x,x,z)

cherchons à déterminer une fonction u ayant pour différentielle l’expression proposée et se réduisant à zéro quapd on fait x=x„ x~Xo>

Si l’on considère u comme fonction de a: et x seulement, sa • différentielle sera

f{x,x,*)dx -h-^lx,x.z)dx;

on aura donc, par ce qui précède, •

«=r <f(x,x,!i)dx-^ f ^[x„x,z)dx+Z, - */x. Jjr,

Z désignant une fonction de z seule qui se réduit à zéro pour Z = z„ Si l’on différentie l’équation précédente par rapport à Z et que l’on ait égard aux conditions écrites plus haut, on aura ' ‘ .

dti{

^l-^dx.

dx.

da{x„ X, z)' dr

. dZ

d’où • . > ' '

dZ • Z'*

■J^z= a{x„Xt,z) et ,Z=J a{x„X;z]dz;

on a donc - . .

«=r f(x,x,z)dx+ f ^{x„x,z)dxf f cr(ar„j.,3)V/s, ,

dx, - Jj-, , ■ Jt, • .

et l’on aperçoit bien aisément quelle serait la formule propre

ET XB CALCUL INTICUHAL.

au cas de quatre ou d’un plus grand nombre de.variables indé-, pendantes. -

Sur les fonctions dé variables imaginaires.

39. Soit une variable imaginaire z = x -^y i, a: et ^ désignant des quantités réelles. Si l’on exécute sur la variable Z et sur des constantes réelles ou imaginaires, quelques-unes des opérations de l’algèbre, savoir l’addition , la multipliration, la division, l’élévation à des puissances entières et l’extraction des racines d’indices entiers, on obtiendra une fonction algébrique F (z) de la variable a, réductible à la forme ç (x, -t- I A (a:,/), où.<p et désignent des fonctions

•réelles de ar, y et de constantes réelles. Si parmi les opérations algébriques qu’on a exécutées sur z, il n’y a point d’extractions de racines, la fonction F (z) est rationnelle et sa valeur est bien déterminée. Dans le cas contraire, l’expression de F (z) renferme des radicaux, elle est en conséquence susceptible de plusieurs valeurs, et il devient indispensabje de définir avec précision là fonction que l’on veut représenter par le symbole F (z). Considérons par exemple Fexpression z"

' dans laquelle m désigne une fraction commensurable^; cette

expression prendra, pour chaque valeur de z, q valeurs distinctes. Si l’on pose

■z-^ X -\-y\j — \ =f (cos M-l- ^ — 1 sinu),

le module p sera complètement déterminé, quand x e\y se* ront donnés, et la même chose aura lieu à l’égard de o», si çet angle compris entre les limites — ^ et -+- k péut approcher au- tant que l’on voudra de la limite inférieure sans jamais l’attein- " dre. Cette restriction est nécessaire, car, eh la négligeant, on aurait poar 7 = o les deux valeursw= — jr et -m = -I- jt. Cela posé, toutes les diverses valeurs de l’expression z" seront données par la formule

2"* = f" [cos/n(w-i-a/i 7t)4- — I sin/K (w -h 2 /< «]

= (cosmw-t-V^— .isin ;?i w)(cos2/n + sina mit w),