KOTE SCR L.E CAI.C.UI. DIFFÉRENTIEL

dz I

Si Ton remplace 2 par x-hr <f^ dans f(zj, et que l’on fasse

Ÿ et ^ désignant des fonctions réelles, l’équation précédente ' devient . • - , ,

. et elle se décompose en deux autres, savoir , ' . . ' , ^ '

■ d^ d^ ' df-- '

* ■ . '• ^dx djr’ dx ~ dy'

qui indiquent quç les expressions •

t{x,y)dy'+^{,x,X)dx:.eX <t{x>r)4x — ■!/{x,y)dy

sont des différentielles exactes. Mais si l’on faiv la somme de ’

ces expressions aprèsavoir multiplié la'première par sj — i, on trouve ‘ ‘ ;

d’où il suit eîàe est la différentielle exacte d’une fo.nc.-

tion des deux variables x et/; en d’autres termes, la différert- \\Q\\sf(t)dz admet une intégrale lorsque z eSt imaginaire, Çomme lorsque z est réelle.

,- 43. Supposons que la fonction f{z) reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module p est compris entre o et une limite R. Remplaçons z par p{cos w-t-y'^^sinw) ou P dans l’expression /(z)rfz, on aura . - •

■ f(z)dz =/^(p<,-^>)e-'^'dp+y~f(p '

• ‘ = î (pj +4 (j»> -,

ET LE CALCUL INTéCRAL. ai3

Cette fixprés’sion étant une différentielle exacte, on aura pat la formule ( I ) du n" 37

mais comme la fonction f{z) est supposée continué pour tout module de a inférieur à on a y (p, + ir) = yf|j, — *) et lé premier membre de la formule précédente se réduit à zéro. En outre,. i]»( 0,6) ) est nul, puisque la 'fonction i|/ contient p en facteur; on a donc simplement

)|-(R,6.)rf6) = o, OU / R*e.“'^/(Re"‘^)</6) = o,

TT » ' •/— flf . .

- . ' /H-ir t,' — îr

OU ejicorO (•)

Z/(Z)rf6. = o,

la valeur de Z étant' (=) . ■ ■

Z = Re

.GiV'’— .1

et cette formule (i) suppose seulement, nous le répétons, que lajonction f{z) reste continue pour les valeurs de z dont le module est' inférieur à R, la continuité étant entenduo comme nous l'avons expliqué plu* haut.

Désignons maintenant par. F (a) une fonction qui reste continue pour' toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à R, et par x une constante réelle ou infaginaire dont le module soit luhmêmc compris entre o et R, la fonction

restera continue, comme F(z)r pour tontes les valeurs de z dont le module est inférieur à R; il ne saurait effectivement sé présenter de discôntinuité-qu’au moment où z atteint la va-

leurar; la fonction^ s ) prend alors la valeur lim

ou F' ( j:), quantité qui est nécessairement finie, d’après notre hypothèse, comme on va le voir tout àr l’heure. En appli-

21 4 NOTE SPR LE CALCCL OIFFÉBENTIEL

quant )a formule (i) à ta fonction f{z) définie par l’équation (3), il vient i “

Mais on a (5) ^

d’où

ZM— I Ï--

— ai^— I

Z •, /’ + * , X — cuV’^ ,

-flU^ -7 I

comme Je module de a: est inférieur à R, il est évident que.ie dernier terme du second membre tend vers zéro; quand f* augmente indéfiniment ; en outre, le premier terme est égal à 2n et tous les suivants sont mils ; il résulte de là que le premier membre de l’équation { 4 ) se réduit à 2 7rF(a;), et l’on a en Conséquence ' ' . ' * *

cfw.

Pour établir cette formule, nous avons admis que F' fa:) ne pouvait être infinie pour une valeur de a: dont le module est inférieur à R; nous allons actuellement le démontrer. Supposons que F'{a:) puisse être infinie pour diverses valeurs de a: dont les modules soient compris entre o et R et soit celle de ces valeurs qui a le plus grand module. La formule (6) subsistera sans difficulté pour les valeurs dé x dont les modules sont compris, entre à et R, et en la différentiant, on aura encore •

Donnons à dans cette formule l’argumenta etfaisons tendre

■ ' ET LE CALCITL IKT^GEAL. ‘ 21 5

le module de celle variable vers la limite a; le second ' membre restera évidemment fini et tendra vers une limite déterminée; par conséquent, le premier membre, qui' est toujours égal au second, tendra vers la même limite e^ ne pourra devenir innhi, comme on l’a supposé. ‘

Il résulte de là que la formule (6) exige seulement que le

module de x soit inférieur au module R.

Formule de Maclaurin. ' ’

44. Cauchy a tiré de la formule (6) le beau théorème suivant: La fonction F (a:) sera développable en série convergente Ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, si le module de la variable réelle ou imaginaire x conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction ¥[x) cesse d’étre continue.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de remplacer dans la ■* \ ■

formule (6) du numéro précédent = par sa valeur tirée de

Ea ““ X

la formule ( 5 ), il vient alors

-\-x'^ — I —^du + j;'^ — I -^da.

27T / Z/»-! in ) Z — xjp

Le terme complémentaire tend vers zéro quand f* augmente indéfiniment, car ce terme est égal à

le facteur tond vers zéro et l'intégrale que multiplie ce facteur conserve une valeur finie. On a donc • .

La formule ( i) démontre le théorème énoncé, la formule ( i )