I. udtjà:= I f/ft) , -f-, I i/w -f- l HnC/ur boit

dciff :f * ** r/w* , . ' ' ‘ » t/ 6», ;

R'n'la plus grande des valeurs absolues que prend Rn quand •>

varie de «o à la valeur absolne de . R„ du sera moindre

que R'„ (a, — w,), quantité qui. s’annule pour n = x ; .donc . ' ' . ■ -

' R„rf» tend vers zéro quand n augmente indéfiniment. .

15. Les fonctions ( i +2)" et log ( i' 4-«a ] déflnies'commenoûs l’avons fait plus haut, étant continues pour les valeurs de * dont le ntodule est inférieur à t , on aura peur cqs valeurs

iog(.4-. 3 r :.;;;

nous avons démontré précédemment cette dèmièré forniule pn taisant usage de considérations particulières à la toncUoa log{l 4-z). ■ . * ' ' . . ’ • '

Les fonctions e', cqs Z, sia a, restent continues pour .tontes

2|8 , NOTB-Sl^H LE CALCCL DIFFÉBENTIEL

Jes valeurs de z, donc elles sont toujours développables en sé-, ries convergentes; mais il faut remarquer que ces dçveloppqmerits eji séries sont, pour nous, l’expression même de la définition des fonctions dont nous parlons ; il n’y a donc aucune conséquence à tirer relativement à celles-Ci. Il y aurait' Heu à un théorème concernant la fonction e*, par, exemple, si

Ton prenailpour définition de c* l'équation • ■ ,

= e*cos/ -H v^— i e*siny, : •

Les fonctions

- cot - ne cessent detre continues

qu’en devenant infinies, la première pour des valeurs de s mul- ■ tlples de'airy^ — i, la seconde pour des valeurs de z multiples de 2 TT ; donc ces fonctions sont développables en séries'cdnyergeines pour toutes les vajeurs réelles ou imaginaires de a dont le.module est inférieur à 2 ir^ ' - ,

. Les fonctions s’, log z, e* sont discontinues pour une valeur nulle du module ; et elles ne sont développables en séries ordonnées suivant les puissances entières et ascendantes de a,’ pour aucune valeur de cette variable. • \

,, Formule 4e Lagrange y . ...

; 4G.. Soient 4; une constante réelle donnée, t une , variable réelle ou imaginaire, et consiàérons l’équation

to ^ J ^

dans laquelle a désigne une inconnue et/fz) une fonction continue de z indépendante de x et de t. Cette équation aura un nombre limité ou illimité de racines z syiivant que la fonction jf(2) sera algébrique ou transcendante; pour t=o, l’une de ces racines se réduira à .r et les autres deviendront infinies. f*our que l’éqûation lj )ait deux racines égales, il faut qu’efle soU vérifiée en même tenrps que sa dérivée prise par rapport à- a, savoir ■ . . ‘ '7 •< , . . !.•