HA
clair que l'équation (i) aura pour racine lorsqu'on
donnera à < la valeur t, •+ ^ r,. La différence de nos deux valeurs de f est , ' . . :
Z,^AZ, — X 2, — 2r iV-
/("O 4-A2, ) /(2, ) • . .. -hA2,).. ,. ■ f
et comme la fonction /(2) est supposée coniinue, la formule de Mactaurin lui est applicable ; on a donc, en négligeables infiniment petfts du deuxième ordre, • . • , • ••
aào ' NOTE SVA LE < CALCUL DIFFÉRENTIEL
le dénominateur i — t,f'(z,) ne pouvant être nul, on' voit qiie si la valeur /.produit une racine z„ la valeur /,-hA/. produira une racitie 2. + A z„ dont la différence à z. deviehdca infiniment petite avec A/,, . .
Mais toutes les racines de l’équation (i) deviennent infinies pour/=:o, à l’exception d’une seule quise réduità x; cellc-cf peutêtreconsidérée, d’après ce qui précède, commeune fonction continua de / pour toutes^ les valeurs de cette variàble dont le module est inférieur à R, et, pour ces valeurs,' elle est développable en série convergeme , par la formule de Maclaurin.
,47. Désignant donc par z la fonction qui vient d’être déûniCj . ’ on aura . : - , • , , ■ , .
t / dz\ ,'/’ (d*z\ ’ p‘ j d*z\ .
dz
exprimant les valeurs queyrennent z ^
pour / = O. Et, si F ( z) désigne une fonction continue de z, indépendante de / et de x, on aura plus généralement ' .
IL nous rcste^ii calculer les coefficients de ce développement. Pour cela, considérons ici' le 'paramètre^Æ: comme une'variable. $rl’on différentie.l’équalion .(i) d’atord par rapport à /, puis p.ûr rapport à'jr, il vient .. . - , --
d’où l’on tire
D’après celq,- la différentielle totale dz de z, sera
• - , . , BT X.E CALCCL nîTEGRAt. . aàl '
et si l’on roultiplie les deux membres par une fonction arbitraire ç (a) de a, il viendra - -
Fe premier membre de cette équation, étant une différentielle exacte, la même chose a lieu à l’égard du sectyid membre, et , l’on a, en conséquence,. ' . ' " ‘ 't
dt
dx
cette formule (8 ) nous montre que si Foii a' â prendre la dé-
U suffira de multiplier cette expression par/ (a) et de prendre la dérivée du produit par rapport à x. Différentions cette équation (8J n — 2 fois par rapport à f, on pourra dans le second * menabre intervertir l’ordre des différentiations relatives à / et ar, et l’on.aufa ... > ’ ’ \ ” . >
df-> .
dx'
mais, dahslesecondmemhre, chaque différentiation relavive-à / peut être remplacée par une différentiation felativeàx, pourvu qu’on introduise d’abord un facteur /'(a) ; on aura donc
. . , — dx^'
et si l on fait ^ ‘ *
d’où, à cause de l’éqiiatiOn (7 ), '
, .dz ■ P, , , rfa <f F(a)
aia jîoTE SCR le calcul- difEIéreiitiel . • ■> . ’•
il viendra ' '
' dl’ dx'-.', ■ ' . ' :
Faisons maintenant jî = o, on aura, par l’équation {i),
. z> = x, F(z,)^=F(ar),
puis, par les équations (6),'^ • . • ' ^
d’où ’ - . . . ; ■ ' '
enfin l’équation ('9) donne . ^
■ V ; ; 'i“SFTj. ^ —d^^x : ‘ • : *; . •;
en sorte que la formule <5,) devient .1
( .0) F (Z) = F ( ) + ^/( ar ) F',(^) Wl. X > . . /
I ai'; ', n . ■- dx"-' ^
c'est la formule connue sous' le nom dé formule de Lagrange. Si Ja fonction F ^z) se réduit à Z, on a , /■
, , ^ X/' r ^ d(fxf' • . V rf“-<(/r)" ^
W. Proposons-nous, par exemple, de trouver la fonction Continue Z, définie par inéquation > ,
' • Z = fz", . ' . -
m étant un' nombre entier positif. ..L’équation (3) se réduit
ici à • . r ' , ■ ■ - ■ '
, • - ■ ‘z ,, \s'' mx ••
ET, LE CALCrL.IBITÉGBAL ’ 2a3‘
l’éijaÿtion (2 ) donne ensuiie • ; . ' '
el nous devons nous borner à donner à t des valeurs dont le ,• module soit inférieur à. la valeur numérique de »
la valéur de z donnée par la formule (11) devient alors ^ •
im . . 3 n» ( 3 m 1 1
nm[nm — 1 )... .(nm — «H- a V • . . .
■ H r — ï ' st^—+>r + .. . . ,
Le terme général de cette série a pour valeur ,
' ’ '■ ‘ nm{nm^i).^.(nm — n-»-2)
et l’on en déduit • . ' ' •
Un + , 1 {nm + ni){nm '+ m — t). . .[nni + i) ^ ,
tt, n-l-i.' {nm — n-fr 2). . .( «/« — n + m) .
la lirnite'de'ce rapport pour n =« est égale a-
.7 ^ ou a±-, - ,
Pt l’on recormaü ain.si par les réglés ordinaires de l’algèbre qiie notre série. ii’esu convergénre due pour les valeurs de t dont le module est inférieur à K. ; . ' ”
ÀiUte applicationde laforàiute de Lagrange. La formule de Lagrange est souvent utile pour le développement des fonctions explicites. Nous allons en donner un exemple. Suppiv-
sOns qu’on veuille développer Ta fonction suivant
les" puissances croissantes de /. .
‘ Eh appliquant la formule dé Lagrange a Téquation
^^4 SOTE srh XK CALCCL tilFF^MEJUTIEL
OÙ 3 désigne une fonction des variables î; et t, et'/ (2) une fonction quelconque de z, il vient
et, en différentiant par rapport à ' '
t" d"[V(%)f{ï,Y' 'rfç"
Maintenant soient
- F^(2)‘=z"’ et .f(z) = z-
réqùation { i f donnera .
• . a - Izii 'Jf — ' ' '
I — dZ I — t'
ét, par suite, l’équation (2} devient .
fs — O"- Y f d‘'ï,-{x,-^\] (i — t]":*' ■ ^ i .i. n
rfÇ" , , ■ -
Sur l'inCégration des équations aux dérivées partielles du , • 'premier ordre, linéaires par rapport à ces' dérivées'. ;
50. La méthode suivante, due à Ampère et légèrement mb-’^I' cfifiée par Cauchy, eSt préférable , à celle dont Lacroix a fa t usage. ... ■ • • • .
Considérons d'abord le casHle deux variables indépendantes. ^ Soient P, Qet V trois fonctions données des variables „ la dernière’ variable z étant considérée comme fonction des . deux autres, posons V ' ' - .
(1) . dz^ pdx + qdy, y. y •
et considérons l’équation aux dérivées partielles ,
Si Tune des quantités '?, Q se réduit à zéro, l’équation s’ihtè-' gre à la manière des équations, différentielles ordinairesj.et’' nous faisons abstraction de ce eas. Le problème qui consiste à trouver la fonction inconnue z, susceptible de satisfaire a
ET LE CALCCL INTÉGHaL. .
aa5-
l’équation (a), n'est pas déterminé; mais il le devient, si l’on exige que a soit assujettie en outre -à se réduire à "une fonction donnée /(/) de J, lorsqu’on donne à x la valeur particulière X,. C’est ce que l’on reconnaît immédiatenoent quand on cherche à développer la fonction z en série ordonnée par rapport aux puissances ascendantes de x — x, au moyen de la formule de ’Taylor. -,
Ainsi 'nous nous proposons de, trouver une fonciidn.
F (a-,/) des deux variables a:, qui satisfasse à l’équation (a) et qui soit telle que l’on ait en même temps
Ea méthode d’Ampère consiste dans un changement de variable; introduisons .une fonction actuellement indéterminée y, des deux' variables x et on pourra considérer inversement*/ comme fonction de y, et de x^ et z deviendra ellemême' fonction ^de x et de/,; orf aura dès lors par l’équation (i)
dz dy
• > di^P-^^dx
on tire dè là les valeurs suivantes de p et de g.
dz
:JM:
dx / dy \ <//
. et en les substituant dans l’équation (2), il vient
Désignons par P', Q', V' les' valeurs que prennent P, Q, V quand on'y remplace 2 par sa valeur inconnue, mais bien détertninéé en x et/; l’équation ( 3 ) deviendra '
aa6 ifmrs scs le calcitl dipp^bentiel
el il est clair que lés équations (3) et (4) (Jolvent être sat^ faites par les mêmes valeurs de/-, z fonctions de j^.et de/-if mais comme la fonction de x et /• que nous avons désignée par y-t est arbitraire et que réciproquement /• est une fonction indéterminée de X et de j,, on peut assujettir y à satisfaire à l’équation '
et en outre à se réduire pour x =x, à une fonction quelcpn-
' ; (iy^ ' *
que donnée de par exeniple. Cela pose, n'étant pas
nulle, l’équation (5) réduit l’équation (4 ) à '•
La fonction inconnue z — F(x,^) est donc telle, que/- et z considérées comme fonctions de x çt de/-, satisfont aux deux équations simultanées aux dérivées partielles
ôt se réduisent respectivement, pour x=x„ à y, el/(y,) ou z„ Mais les équations ( 7 ) ne renfermant point la variable indé-'. pendante y„ elles doivent être traitées comme des' équations dilTérentieHes ordinaires ; ces équations sont toutes deux comprises dans la formule ' - ; t.
dx dv' dz
et pour résoudre le problème proposé, il suffira de les intégrer de manière que l’on ait simultanément x—/-„j=/-„ z = a,. Résolvant ensuite les intégrales par rapport à/-, el i„ et. portant les valeurs obtenues dans l’équation . -
on aura la solution demandée, qui renfermera une fonction arbitraire f['y»)- 1 ^
■ Digihzod by tiooglf
ET LE CALCCL INTÉfiBAL. O
■ Supposons que l’on ait trouvé les intégrales g^érales des équations { 8 ) avec deux constantes arbitraires a et 6, et soient
ces intégrales, résolues par rapport aux constantes. D’après ce ' qui vient d’être dit, il faudra résoudre les équations
-^9» -2b) — yî (
par rapport à jr, et z, et substituer lés valeurs trouvées dans l’équation Ç9); mais si l’on considèrey{ro) comme une fonction arbitraire, le résultat de la substitution sera simplement une relation'arbiiraire » *
entre a et 6. L’intégrale de la proposée pourra donc se mettre sous la forme . ,
f désignant une fonction arbitraire. * •
51. La même méthode s’applique sans difficulté au cas de trois ou d’un plus grand nombre de variables indépendantes. Considérons, par exemple, le cas de" trois variables indépen-<
. dantes x, y, z ; la variable u étantfonction de x, y, z, posons
(1) • • du — pdx + qdy rdz, . .
et soit l’équation proposée ' ; ‘
(2) ■ . Pp VQ? -t- Rr= V, ••.n -.-v
dans laquelle P, Q, R, V sont des fonctions données dé x,y, a, M. Ils’agitde trouver une fonc^on 4-= F (af,^, a ) dear.jri'a qui satisfasse généralement à L’équation ( 2 ) et qui pour x as ar, se réduisé à une fonction donnée/(/, a ) de / et de a'; énoncé en ces termes, le problème est complètement déterminé. ' Introduisons deux fonctions indéterminéosjoCl a, dex,^-, a; on pourra çonsidcrér,^- et * comme fonctions de,x; y,, a,; par
aaS NOTE S«B LE CAI.CDL DIFFéRKtTlEL
suite U deviendra fonction dçs mêmes variables, et l'on aura, par l’équatiofl ( i -
dz
du
dy .
dx
du
dz
dy.
~^dÿ.
' dy'
•du
dy
dz
dz.
ün tire de là le» valeurs suivantes de p, q, r, - .
^ du -^dw" du Y' Z ' di ^d^'^*Tz
en posant, pour 'abréger, .
^djr dz dy dz
dz, dz, dy', ’ ■ - ■ • ■
. Y él. Û!L
■ . • - ~ dy,dz, dz, dy, .
. ^ du dy du' dy • ' f '
. . - - ‘~~7[z, dy, dy, dz,'- •
et si l’on porte, ces valeurs de p, q, r dans l’équation (2), elle: -devient • . • . •
PésignonS par P', Q'r R'» V'. ee que deviendraient P, Q, R„V ' si l’on remplaçait «,par s» valeur inconnue’ F (jt, y, z}f fai- sons celle substitution dans (3), il viendra ’ '
ft il est clair que jes mêmes valeurs de y, z^ u fonctions do * X, y,, Z, doivent satisfaire aux équations (3) et (4)- Mais los fopctrons de x,y, z que npus avons introduites et désignées
• ' KT MT CALCCL INTEGRAL. ' aaf)
par J,, t, sont arbitraires, et, inversement, ^ et z sont des fenctions indéterminées de , z, ; ces' fonctions • deviendront au contraire complètement déterminées si on les assujettit à satisfaire généralement aux équations
et à se réduire en outre, pour x = a:;, à des fonctions arbitraires.de y, et de a#, à à z, respectivement, par exem-
pie. Alors, comme lés quantités qui expriment les va-
leurs de q et r, ne peuvent être généralement infinies, les équations (5) réduisent l’équation (4) à
Il suit de la que la fonction inconnue u~¥{x,y, z) est telle, que les valeurs' de/, z, u, considérées comme fonctions des variables 'indépendantes x, /., z,. satisfont généralement aux trois équations simultanées aux dérivées partielles ,
et se réduisent en outre, poura:='ar„ à/,,z,,/(/,, a.) = «, respectivement. ' -
Les équations (9) ne renfermant point les variables indépendantes/, et z«, ellés doivent êtpe traitées comtne.des équations différentielles ordinaires, et on peut les. comprendre dans la seule formule . .. .
dx' dr dz du • <-•
•Pour avoir la soFution du problème proposé, il suffira donc d’intégrer Içs équations (8) de ’manièré que les ■ variables X, y, z, U se réduisent simultanément à x,, /, ,.a«, n,;. ré-
>3o NOTE SL'H LE CALCDL DIFFERENTIEL
solvant ensuite tes intégrales obtenues par rapport à/o, u,, on portera les valeurs trouvées dans l’équation . - ,
(9) n,=f{x,l xi Z,). i
, Supposons que l’on ait trouvé les intégrales générales des équations (8) renfermant trois constantes arbitraires a, 6, y, et soient . > ' '
te =/, (x, X, Z, U), 6 =fix, X, Z, u), 7 =/, {x, X, z, u),
les valeurs obtenues en résoh^ant ces intégrales par rapport i O, ê, 7. Pour avoir la solution de notre problème défini comme ..nous l’avons fait, il faudra tirer- des équations
les valeurs de z, et u,, pour les porter dans l’équation (9)^ Mais si Ton considère la fonction / de celte équation comme une fonction arbitraire, le résultat de l’élimination sera simpiement une relation arbitraire , , . .
entre a, 6, 7. Cette relation (10), où a, 6, 7 représentent jes fonctions peut donc être regardée comme exprimant l’intégrale générale de l’équation (2). - , . .
Sur le passage des différences finies , aux différentielles. De même que :
W = lim = lim ^ (pour h^o);
de même on a aussi, quel que soit n, .
'Il
dx" Il'
(pour A— 0),
^f{x) exprimant la n'*“* différence de f{x).
La plupart des auteurs regardent ce fait comme évident ou n’en donnent que des démonstrations défectueuses cette pro-
