ET LE CALCDL INTEGRAL
position résulte immédiatement du développement de la dif* férence A*/(x) en série ordonnée par rapport aux puissances do h, développement que Lacroix établit au n" 391; mais l’auteur en fait usage aù n” 389 pour démontrer la formule de Taylor. Or, en suivant la marche. tracée par Lacroix lui-même, on peut établir d'une manière élémentaire la proposition dont il s'agit, èt sans supposer en aucune façon le théorème de Taylor. (I suffit en effet de remarquer que les expressions
se réduisent, pour A = o, à des quantités numériques indépendantes de la nature de la fonction /(x). Alors si l’on fait
f{x)'=e’, d’où A/(a:) = — i),
et généralement .
on volt tout de suite que l’on aura, pour A = o, -•
dyfix)
dh
d'ü'fjx)
= 1.2.. .nf’{x).
dh’‘-' ’ dk-
SI donc on cherche, par les règles ordinaires, la vraie valeur que prend le rapport ■ ^
( pour A = o).
on trouvera que cette valeur est et l'on a en cônsé-
quence '
. . lim —-0— —/"(.*■)< pour A =o).
Ainsi que nous l’avons dit plus haut, Lacroix démontre la formule de Taylor en parlant du résultât qui précède; la marche ^u’ilsuit est certainement la plus naturelle , mais sa dé- .'monstration manque absolument de rigueur. Aussi croyohs-
23a SOTE St'R LE CAL< I L DIlFÉMEKriEL’
iiôus-faire une chose utile en présentant ici la remarquable démonstration publiée par M. Caqué dans le tome X du ‘ • Journal de LionvUle, et qui repose sur les mêmes prin-
cipes. '
. ' Démonstration de Informulé de Taylor, par M. J. Caqué.
53. Soil y =/(«■) une fonction donnée de ar, et désignons par r, , r>, . . . les valeurs qu’elle prend quand x augmente successixemenl de la constante ûx, en sorte que j*=/(ar-(-A'Aa:). En représentant par la différence de/*, on a, quels que soient n et k,
équation qui n’est, en effet, que la différence n'™' de l’équation évidente, , ' - . ^
Cette dernière, en remplaçant k par m et posant m&x= h,. donne aussi ' ...
Mais, si dans l’équation (A) on fait « = i, puis successivemeat A-= I, Af = 2,. . . , k = m — i, on aura des valeurs de A/,,. A/,,. . . , A/,i, qui, portées dans l’équation (i), nous donneront, réduction faite,
On pourrait reprendre de nouveau l’équation (A), y poser n = 2, puis successivement k=i, k = i,.^., k =^m — ■x, et reporter dans l’équation (2) les valeurs de A’/,, A>/,,. . . , - A’y«, ainsi obtenues; en réduisant, on aurait .. . . :
/(x -f- A)— -/(jr) 4- mA v-H ^ '^A*/ ■
ET LE LAlXfl. IXTÉGRAL.v ;
uu
El 1 on pourrait continuer ce mode d’élimination qui conduirait finalement à la formule - • > -
) m{m — i). . .(m — 're-t-i) „ . >
lî, remplaçant la 'quantité suivante, dans laquelfe, en général, ' ' • . C"'~^ représente le nombre des combinaisons de m — g lèt-; tres n à n : ' . . ’■■■'>' ■ ' ■ •
, R„= c:~' cr!A”+>r4- cr’ A*+’r>-+-. ... -
Maissarisavoir même besoin de passer par réqüali0n{3), nous ‘ ’ ~ allons prouver directement que l’équation (4 ) a toujoürs lieu. • D’abord elle est^ vérifiée pour n = i, puisqu’elle coïbcidc alors avec l’équation (2). Pour démontrer généralement 1,-é- / quation (4). J1 suffit donc de faire voir que, si elle est exacte., poiir une valeur de n, elle l’est encore pour la'valeur suivante^ n ' Dans l’équation ( A), remplaçons n par « -t- 1, puis posons. ■ successivement A = I, k = n,..., fc = in — n — i; les divers" ' résultats, multipliés par des facteurs convenables, fornient le • 'tableau suivant : ' i/'
cr'A%‘.^,=='cr’A-+'.^-+-cr’A"+>j, . .C ''; -
, cr; cr' cr* A’-^«.r..-+ •
'■ ü«ùa, n.
lÜ
i»34 ' ; note Sun le calcel différentiel’
"^En faisaiU la somme des premiers membres, on reproduit la valeur de R,; on peut donc écrire que cette quantité est égale à la somme des seconds membres; celle-ci se présentera sous ÎHle forme plus simple en faisant usage de 'ce théorème d'algèbre : ‘ ,
<f La somme des nombres des combinaisons » à re, Ae,m — g, •» m — g—i,. . . , n+i, « lettreà, est égale au nombre des » combinaisons n:*-! à/i-t-i dew — g’-t-i lettres. » Conséquemment on aura . ■
eh posant, pour abréger.
-hc:îî
Or cellé valeur de R«, mise dans l’équation (4), donne le même résultat que la substitution de n-l- 1 à n dans la même équation; donc l’équation (4) a üèu généralement.
54. Si,- dans l’équation (4), on remplace m par sa valeur tirée do rttAa: = A, on trouve aisément
h(k — iix) ^^y • 1.2 Aar’
Lè terme complémentaire peut évidemment se mettre sous cette forme . -
Xx"'*-
de sorte qu’en représentant par M la somme des termes entre parentbèses, divisée par la somme €7”’ -l- etc. de leurs coeffi-:
ET LE CALCL'L IVrÉtiRAL.
dents, il vient • ■ ' , ’ •
ç’esl-à-dire, en vertu d'un théorème déjà invoqué»
en mettant donc pour Cr+i son expression connue, et remplaçant dans cette dernière m par ^»,nous aurons énRn
h{k — Aar). . .(h — nAx) 1.2. . .'(/l-l-t)
> " h{h — :^x)...[h — (n — ft{h—&x)...(li—n^x)
Revenons sur l’expression de M, savoir.
„ '• Aa:-”-' " Aa;»^-'
Aa:"^'
Nous voyons que cette quantité est une moyenne entre les quotients ’ ’ / ‘
A'^ïTI ’
Aa:"'*''.
Aa;"-^'
de manière qu’elle est toujours comprise^ entre le plus grand et le plus petit d’entre eux; il suffit' donc, pour que M soit finie, que tous le soient, et alors la remarque que nous venons de faire fournit des limites simples de R, ou du terme complementaire Üe la formule (5). 7
r\S&. Quand on prend la valeur de Aar infiniment petite, les quotients — deviennent les dérivées f\x),. et les numéra-
tguFS des coefUcients.de l’équation (5) deviennent les puis-
\ 'iG.
230 NOTE StR EB CALCCB DIFFÉRENTIEL , ETC. ~
gances entières et croissantes , de A. La quantité devient f{x + h). Les quotients dont la quantité M dépend se réduisent donc aux valeurs de /"■*"' (z), en faisant varier a de x à X + h. Donc, si dans cet intervalle /"+' (a) reste finie, M lésera aussi, puisqu’elle est toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de cette’dérivée. ,
Déplus, si/'"*" (a) est continue, elle atteindra au moins une fois la valeur de M, et l’on pourra poser
M=f"-*"{x + tih), ■ ■
en désignant par e une quantité positive plus' petite que l’unité. . Ainsi on retrouve par cette méthode la formule connue
f{x + hy—f{x) + hf (a;) -H (a:) . . . ' - " ‘ ’
