AUX DÉBIVÉES PARTI^LES^QV PREMIER ORDRE
‘cqiialions précédenleiïj' ■ - ' ; • i- . ■■•
rfV d\ .
dx dz °
■dV d\
" dÿ~^^-dJ=°‘
Les équations (i-6),' (17) et (i8> deviennent ainsi identiques' en vertu des équations (i5); elles déterminent d’ailleurs les • valenrs de y\ 2, p, q, et par suite elles peuvent suppléer les ’ .équations (i5). ‘ ' ,
Ainsi, en particulier, si l’on remplace, dans V, z, par /(nh l’intégrale cherchée de l’équation (i) sera le résultat de l’^li- ;minaiion de jo entre les deux équations ^ ,
/rfV\'
\^/ dérivée’ de V prise par rapport à jr„ mais ■
en considérant z» çommq fonction de\^o. Donc; pour avoir • ■ cètte intégrale, il suffit de déterminer la fonction V que l’on obtiendra en éliminant p, q, />», q, entre les quatre intégrales des ' équations (i4) et l’équation F (a:,, 9,):;= O. -
6. C’est ici l’oceasion de faire remarquer que Ja seule éqpa-, tibn - . ' ■ • ; '
constitue une solution de l’équation proposée (i),.?î l’ony regarde J, et z„ comme deux constantes arbitraires. ' ■ . •
En effet, dans la solution générale' que nous venons de développer, on reconstruit l’équation proposée en élimlr', hant X, et z» entre lés équations (16) et (i8). Or, si, aiî lieu • de regarder et z, comme des variables assujetties à vérifier l’équation (17), on considère ces quantités comme des con- /. stantes, il est clair que les équations (18) subsisteront etcon- .. tinueront avec l’équation (i6)’à reproduire l’équation (ij par, 1:, Jélimination de 7, et de z„ Cette équation {t6) qui renferma
2^6 NOTE SCM l’iNTF^HATIOX DES ÉQUATIONS " ‘
ainsi deux cOnslanles arbitraires, constitue ce que, Lajgra'nge a nommé une intégrale complète de l’équation (<). ' ■
7. Pour donner une application de ce qui précède, consi- . dérons l’équation . . , -
Z — apq = o, ...
où a désigne une constante. On a ici • . . , ■
X=o, Y=o,Z=i,P=-:-<7g,Q= — ap,¥p-hQq=p — aapq— — 2a, et les équations a intégrer sont
... dx dy dz dp idq ^
^ . aq [ ap~^ 2Z P ~~ Ç ’
on trouve immédiatement lès quatre intégrales suivantes :
et on élimine tout de suite et q„ entre les deux dernières ' , en faisant usage de l’équalioii z, — ap,qt^o; on a en effet
(y/a— y/Zy (.r— .r») iy—r^) .
.a, ’ ■ ‘a^p.q, ' az, ■ •
SJ donc on fait ■ ’ > , ' ■ .
. V = a [Va — V/(/. ) ]’ — {x X, Ur—r» )> ■ -■ V.
Tintégrale cherchée, de l’équation' a = apq, sera le résultat ' \ 'de l’élimination de entre les équations . v .
’ V ' ' rfv
=‘ ., 8. Dans toul ce qui précède, nous avons supposé que l'iDié-
■pdx conserve une valeur finie et déierminée; nous - '
allons nous occuper ici de Cette intégrale.
Supposons, pour abréger, que l’on ait résolu l’équation (i6) par rapport à a et que l’on en ait tiré la valeur a = M, M. étant une fonction donnée de x, /,,'a,. Les équations (i6} et (17 ). -\-
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“ ' ..AUX néim’éES partieixes du premier ordre. 247
qui' fournissent la solution cherchée de l’équation { 1 ) seront ■. -■
plus siniplemeni ’ ' . ^ ^ . i. i
et les équations (18) qui donnent les valeurs de » cj de o ' seront . ;■
, ■ dM dM ■ ■;
• Pour reconstruire l’équaiioh proposée (i), il faut éliminer ‘ •
y, et Z, entre les équations ( 20) et (22); par conséquent la dif- ■ ’ férentielle totale efF^ du premier membre de cette équation s’obtiendra en ajoutant les différentielles totales de M — z,
' — P> ~^ — respectivement multipliées par des facteurs •
i, (*, V susceptibles de faire disparaître les différentielles et . ■ -
• dz, qui doivent ici être regardées comme indépendantes; on ■
aura doue ' . • ' ■
et les facteurs ft, v devront vérifier les deUx équations sui- ; vantes : , . ' '
'I dx.~^^dxdy, ] dydy,~.°’" ' ^
1 , rfM rf’M ' ' dm- ~ "
( dz„ ^ dxdzt 7*~ * dydz, . / > ■
. De l’équation (23), on tire , , . ' . ‘ ■
et, à cause des équations {24),
rf’M~ d'M dm
' Z dx dvt dy dz„ dx dz, dy dy, > ~P~~^1 r/M
. dy, dydzi, dz, dydy, .
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