L’analyse développée dans le § 1 se trouve en défaut
^dx cesse d'avoir une valeur finie et
déterminée. Ainsi que l’a remarqué M. Bertrand, cette circonstance se présente, non pas seulement dans quelques cas particuliers, mais dans le cas le plus général. Et en effet il suffit généralement d’attribuer une forme convenable à la fonction/(r) ou/(/,) ou z, pour que l’intégrale dont il s’agit devienne infinie. Mais je dis que.:'
Si pour une forme particulière de la fonction f (y’) l’inté-
— dx cesse d’avoir une valeur finie et déterminée,
les formules que nous avons établies deviennent illusoires et sont impropres à fournir la solution du problème proposé. Celle-ci est donnée dans ce cas par l’intégrale complète de Lagrange qui accompagne l'intégrale générale.
On voit, en effet, par l’équation (a4)> Que si l’intégrale
P dx cesse d’avoir une valeur finie et déterminée pour une certaine forme de la fonction /{/), la dérivée partielle devient nulle, infinie ou indéterminée après la substitution de la valeur de y tirée de l’équation (2i),< Mais alors il est évident qu’on ne saurait tirer de celte équation (ai) une valeur déterminée de y se réduisant à y, pour x = x,, puisque la double hypothèse xz=x,, y = y« doit réduire à"”
l’unité. De ce qu’il est impossible de tirer de l’équation (21) une valeur déterminée de y se réduisant à j*. pour x = x,, il faut conclure que l’hypothèse x = x, fait disparaître y du premier membre de cette équation, et, parce que celle-ci est satisfaite quand on fait à la fois x = x,, y=y,, il est évident qu’elle est vérifiée identiquement, quel que soit y, quand
6'«l. Il
a5o NOTE SUR l’iNHÉGRATION DBS ÉQUATIONS
on y failx = ar,. II rcsullc de là que/, disparaît de l’éqoalion (20) quand on fait x — x,, car la dérivée du second membre par rapport à y, est identiquement nulle; celte équation donnera donc, dans cette hypothèse Ae xz=x,,
puisque nous savons qu’elle a lieu identiquement quand on (ail y — y,, z = z,, et que l’on a z,=/(/o)- Concluons donc que dans le cas particulier dont nous nous occupons, la solution du problème proposé sera donnée, non plus par le système des équations ( 20 ) et ( 2 1 ), mais par la seule équation (20).
10. Nous éclaircirons ce qui précède par un exemple. Soit l’équation
F = pz—pqy~aq = o, où n désigne une constante donnée. On a ici
X=o, Y==-pq, Z=p, V=z-qy=% Q=-py+a=^e^-, ✓
les équations simultanées à intégrer sont
— pdx qdy dz dp dq
aq pz pqy p^ o ’ ' '
et on en tire sans difficulté
P' Pl
■-,+ÎË=ÎL>.
P p> PP" ?•
d’où, en remplaçant p, par sa valeur — — — ,
J— g.ro)—
V^(2.— 7.aq,{x — x,Ÿ z,{z, — qty„)+ aq,(x — x^)
S{i.— q,y,y+iaq^[x — x,) «Îî
q,y,y-\-aaq,(x—x,)'
AUX D^RlvéES PARTIEU^ Itü PREMIER OH0RE. '
telles sont les valeurs de 7, z, p, q en fonction de x, z,, q,. On a ensuite ■ ' .
P aq
aq>
•>aqtix — X,)
^ v(2.— î«ro)’-f-2«7.(^— ^.j
XX rj
P dx devient infinie si l’on a
, V dz, z, '
Où ^=-,
dans ce cas, la valeur de z„ est . .
■ ' z, ^ ajo, d’où q,=za, .
a désignant une constante arbitraire. ' ‘
Mais, si l’on suppose à 2, celte valeur, nos formules deviennent illusoires, car elles donnent pour y et pour s les I valeurs
qui sont indépendantes de r,. • ■ - '
Eliminons q, entre les deux équations qui donnent les valeurs de y et de z. On tire de ces équations ’
^(z,-^q,y\Y -\-iaq,(x — Xx,)
z —q,y=t q,y,y + o.aq,(x — x,)‘, /
et par la multiplication, • ,
au moyen de quoi la deuxieme équation, élevée au carré, se' réduit à ^
'9"(r’ — ,>'î) = (r^ — ,r(f2.)-i-rt(.r — ar,), . . .
L’élimination de q, entre ces deux dernières équations se- , : • IJ. , .
.aSa ‘ NOTE SDB L’’lirriÊ6BATION DES ÉQUATIORS , fait tmmédiatcment; on trouve ■
(r*— rî ) ( 2’ — «; ) — [( r* — r. 2. ) + « ( — ^* )]• = O.
OU
c’est l'équation que nous avons désignée en général par V==d; on en tire ‘ ‘ ' , '
formule dont le second membre est la quantité désignée "par M. On vérifie aisément que l’équation ’ . ' . '
dM dM
donne la valeur de y obtenue précédemment, et en sub-
siiiuant celte valeur dans la dérivée -j — on trouve
dz.
q,y>Y ^aq,[x — x,Ÿ
ce qui s’accorde avec les résultats généraux déduits de notre théorie. , - '
Si l’on pose z, = a^,dans notre équation a = M, elle devient
celle valeur de z salisfait à l’équation proposée en regardant a et y, comme des constantes arbitraires; d’ailleurs elle se' réduit à
pour X = x,\ donc elle donne bien la solution du problème proposé, dans le cas où l’on suppose la fonction f(y) égale à «r.
11. La méthode de Cauchy s’étend au cas d’un nombre quelconque de variables indépendantes; nous allons développer
AUX DéRIV^ES'PA»TieU.ES DU PRBHIER ORDRE. >35.5
l« câs où ce nombre est égal à 3, on verra sans peine, que nos raisonnements ont une généralité absolue.
Soit donc •
l’équation proposée, dans laquelle u est une ronclion in- . connue des trois variables indépendantes x, y, z et où p, g, r ■
désignent les dérivées partielles^»
11 s’agit de trouver une fonction u qui satisfasse généralement à l’équation (i) et qui, pour a: = a:», se réduise ù une fonction donnée f[y,z} des deux variables,/ et z. Ainsi l‘on aura en même temps '
.^df(y. z) dz
Nous introduirons ici deux fonctions actuellement indétermi-' nées y„ z, des variables x, y, z, en sorte qu’on pourra considérer inversement / et a comme fonctions dex,y„ z,; et alors 9, r seront aussi des fonctions de x, y„ z,. Dpnc, à cause de ' .
du = pdx + gdy-i- rdz,
on aura
du
dx ^
dy
■^dx
■ dz
''di'
du dy dz
du ^ dy , dz dz, ^ dz,
Différentipns les équations (a) et (3) par rapporta x et retranchons respectivement les équations résultantes de celles qu’on obtient en différehtiant l’équation (a) par rapportn/. et par rapportez., on aura ' ' . -
dp dg dy\ ‘ / dr dz dr dz\
dy, \dx dy, dy,~Sx} dy, ' dy, dxj'
' dz, \dx^, dz,^j \dx dz, dz,^/
a54 . ROTE sua l’iSTÉOBATIO» des éQUATlOItS’ ,
Désignons maintenant par* . .. •> i
. dV — \dx -I- Y dy + 'Ldz -y Mdu + Vdp + Q,dq -y R.dr
la différentielle totale du premier membre de l’équation ( i )i ■; on aura, en différentiant cette équation (i) par rapport à et
par rapport a a,, . . . * .
dy
dy.
7*+U^ + p4 + 04i+Ri = o,
dy, dy, dy, dy, dy.
et si l’on porte dans ces équations (7) et (8) les, valeurs de tirées des équations (3), (4)» (51, (6), il
dy, dz, dy, dz, viendra
Or, comme les fonctions de^, z, qui expriment lesvaleurs^ de J et de Z sont entièrement indéterminées, nous 'pouvons . les assujettir à satisfaire aux deux équations
et à se réduire en outre pour xi=x,k des fonctions quelconques données de y, et do z,. Nous choisirons, pour ces fonctions données, les quantités elles-mêmes, en sOrie
que l’on aura en même temps '• ' .
en posant
. AUX Délivéss PARTIELLES DU PREMIER ORDRE, 255
et on déslgnani par p, une quantiié délenninée par l'équation
Wj, 'Pt, <^%, r^() =o.
Les équations ( 1 1 ) et ( 1 2 ) réduisent les équations ( 9 ) ét ( 10) à
On ne saurait avoir •-
, / V dx dz dy dz ' •
^ iÿ:dr.-w. Tx:=°\ ■ ' '
car aulrenaem il existerait une relation entre x, y, z. On a, en effet, , ^
dy, dz,
, dz J dz , ' dz ,
si l’on retranche ces équations l’une de l’autre, après les avoir' 'multipliées respectivement par ^ ’ U viendra, â cause
de(i4).
Û^dy-^dz^
dz.
dz,
dx dz, dx dz.
^ dx, ,
équation qui suppose une relation entre x,^, z, car les dérivées dz d Y
et ne peuvent être nulles en même temps< t ■ • ' ^ D’après cela les équations (i3) donneront , • • I
■ y+u, + pg=„:,
. Z4-Ur4-pÿ = o;
dx
en sorte que le problème proposé est ramené à trouver six . , fonctions/, z, u, p, q, r des variables ar, y„'z„ qui satisfassent
aS6 KOTK SDB L’iHTiGBATIOIf OKS ^UATIOMS
aux. huit équaiions (i). (2), (3), (4), {'i>, (12), (t5), (r6) et qui se réduisent simultanément à /„ z„ «», p„ q», r„ pour
JP ' JP 0 • . » I
12. Mais les équations (i), (2), («i), (12), (i5), (i6j suffisent ^ pour la complète détermination des inconnues x> “» q, r; il faut donc que les équations^S) et f41 soient saUsfaites d’elles-mêmes, et c’est ce qu’on peut établir aisément en répétant le raisonnement dont nous avons déjà fait usage au § I. Supposons donc qu’on ait tiré des équations ( i ), ( 2 ), ( 1 1 ), O2). , (i5), ( 16) des valeurs de y, t, u, p, q, r fonctions de x, z„ et se réduisant respectivement à it,, p„ q„ r, pourar=a:,. Désignons par I et J les différences entre les deux membres des équations (3) et (4 ), on aura v
du djr
dr, ^ djr,
, -du dy
~dz„ ^ dz.
dz
'TF. -
Si l’on différentie ces équations par rapport à .r et qu’on en retranche ensuite respectivement les équations qu’on obtient en dilTérentianlles équations (2) par rapport à^, et par rapport à on aura, au lieu des équations (5j et (6), ..
! ^ dp ^ !dq dy dq dy\ fdr dz dr dz\ dV ,
dy» dy\ dy, dx) dy» ■ dy, dx) dx'
(20) — dz\ dJ •
• dz, \dx dz, dz, Hxj \dx dz, dz, dxj ^ dx
Si l’on porte ensuite dans les équqtions ( 7 )et(K) les yalcursde
tirées des équations (17), (18),' (19), (26), On
aura deux équations qui ne différeront des équations (g) et (10) respectivement qu’en ce que leurs premiers membres contien-
dront les nouveaux termes P ^ -plU et ** S El.
comme tous les autres termes des ^équations que nous considé- 'ronsdisjiaraissent en vertu des équalions(i i), (12), ( i5J, (i6), On
AUX DésiVÉES PARTIELLES DV PREMIER ORDAE.
aura simplement • ‘ ‘ * ' '
pg + UJ = o,
d’où l’on tire
en désignant pari, et les valeurs de'l eldeJ pouric = ir,. On reconnaît immédiatement que I, et J, sont nuis et l’on a par conséquent - ’ ' . , / . ' •
pourvu que l’intégrale J <ir conserve une valeur finie et '
déterminée.
• 13. D’après ce qui précède, il nous suffit de considérer,ies six équations (i), (2), (ii), (12), (i5), (i6). On peut même, remplacer l’équation (i) par sa différentielle relative à savoir : . ’ • -
dx ■ du
dx
Hx
^ dx
dx
qui, en remplaçant -j-i Q, R, Y, Z, par leùrs valeurs tirées des . équations (2), (n), (12), (i5), (16), devient -- . \
Le problème est donc ramené à trouver au moyen desix des sept équations (i), (2),(ti), (12), (i5), (16), (21) des valeurs de y,' Z, U, p, q, r se réduisant respectivement ày-,. u„p„ q„ r,
. pourx = x,.
Les équations (2)^(1 1); (12), (i5), (16), (21) sont en réalité . aux dérivées partielles, mais comme elles ne renferment point les variables 2„ on doit les traiter comme des équations
aS8 HOTE SUR L^INTéORATHW DES ÉQVATlOirS '
différenlielles ordinaires. Ces équations sont comprises dans la formule unique ,• ... •
fiai ^ - ^ ~àp , —dr
. P Q H l^/>-i-Q7-HRr X-1-Ü// Y-t-U^ “z-t-ür^
et 1 une d elles peut être remplacée par l’équation (i).
Si le premier membre de l’équation proposée est linéaire par rapport aux dérivées p, q, n les quantités P, Q, R sont • indépendantes de ces dérivées, et l’on a F=P/>+ Qç -t-Rr— V,
V étant comme P, Q, R fonction de x, y, z, u. Dans ce cas* les trois premières 'des équations contenues dans la- formule (i4), savoir • , ■ .
dx dz'du
■ P r Q ~1r TT’
permettent, sans le secours des autres, de déterminer y, z, u en fonction de x,yt et a,. On est ainsi ramené pour le cas des équations linéaires à la règle connue (voir Note I), *
14. Supposons que de six des sept équations comprises dans les formules (i) et (22} on ait tiré des valeurs de\y, a, u, p, q, r se réduisant, respectivement à y„ z„ «„ p„ q„ r,,
^ pour x=x,; soient ,
a#, iti, ^ji, r#),
^ = Mx,yt,z„u„q„r,),-' ' •
^ ~ /^(x, yt,,zi, Uc, q„ r,), ,
a», Mf, ÿ», r«), ^ ,
valeurs; nous supposons quep.aitétéremplacé dans ces expressions par la valeur tirée de l’équation ^{xt,y„z„p'^q„r,)z=^o, Les trois premières équations du système (a3) donneront la so lution du problème proposé, si l’on y remplace «•, qt, r,.par
^ ’ niais l’élîminationde/j etdea»
entre ces trois équations ne sera possible en^ général que si l’on attribue à la fonction / une forme déterminée.
Si l’équation proposée (i) n’est pas linéaire par rapport aux
AUX DéaivéBs vabtibllks du -mieiueb obobe. i5g
dérivées p, q, r, les valeurs précédentes de r> s, « ne peuvent être loules^les trois indépendantes de q, et de r,\ car si cela avjüt Heu, ort pourrait tirer des trois premières équations (aî) des valeurs de y» la forme
-y,= <f{x,y, z, u), z,— -!/(x,y, Z, u)i u,z=.vt{x, y, z, u),
et l’intégrale cherchée de l’équation (i) serait \
forme qui ne . peut convenir qu’à l’intégrale d’une équation linéaire? Nous ferons en conséquence abstraction de ce cas.
15. Au moÿen des formules (a3), les équations (3) et (4) deviennent .
■ (iâ.
\4r. dq,4jr,dr,4r,),.
/«*/. ^ à,n df, àjj.^an,K\ r I4r,dj\ ar, d<,, ay rf,-.\
W** 4r, * d<i,df, dr,dt,/ V^r, da,’'"'^ dq^dt, É\ST,/
ces équations doivent être identiques; par suite Les termes qui
contiennent les dérivées ^ = ^ doivent se dé-
u^$ dz^ ^ dz%
truire mutuellement; on a donc
it ^ -ê) {Ê,
' dq, dq, ,3^
'd n fdj, ^
■ \ Les deux dernières éq'uations de ce système montrent que si les expressions de deux des variables j, z, u sont indépendantes de q, ou de r„ 1» troisième expression est elle-même indépendante de q, ou de r,. Pfus généralementî'on déduit des.
a6o NOTE SOB l’iNTÉOBÀTION DBS éoVATIOKS . .
, ’ deux dernières équations ( a4 ) >
■ ~dq, dr, dr, dq, - àn dr, dq,j
■ ■' . dq, dr, dr, dq, - •'*\3q, dr, ~3r,dq,j
d’ob il suit que si l’un des déterminants , • . .
■' '* df,d^^df,^ d^^ÿ,df,^
" dq, dr, dr, dq,’ ^ or, dr, ïïq,’ dr, dr, 3^ . ‘
. est nul, les deux autres sont nécessairement nuis.
16. Nous supposerons d’abord que ces déterminants ne sont pas nuis; dans ce cas deux quelconques des trois premières équations (28) peuverit être résolues par rapport à 9, et r,. Faisant donc l’élimination de q, et de r. entre ces trois équations, on aura une équation résultante que je représenterai par . . ;
(25) V(ar,yr,z,û,jr„z„u,) = o ou V=o.
f Prenons'Ia düTérentielle totale de cette équation (aS.) et remplaçons dans cette différentielle du, par q,d/-$ +. r,dz„ du pdx qdy rdz, - . v
il viendra ^ '
I/dv JV\^ /d\ <jv\' ^ (ds , <tv\ .
(d\ d\\. /dV . <JV\ • •
mais les deux premières équatiods (3) donnent , ■
dr^-^ .
. df.. [df, df^ df^d,/, dr,dr,\, (df. df, df,dq, df,dr.\, •
portant ces valeurs de dy et dans l’équation (26) et égalant ensuite à zéro les coefficients des différentielles restantes
AITX DÉRIVÉES PARtlRLUBS DO PREMIER ORDRE. a6i n viendra' .
(d\ d\\ /d\ d\\df, /d\ d\\df. ■ •• *'
/<*v dV\ /dV d\\/df.df, dr,dq. df,dr.\ . .
v</;r;, ’duj \dr ^ du) \^, du,^'~*'d<i,dr,^ dr,dr,),
. i d\\/df, df. df.dq, 4/,dr,\ ' •
\d», ' dttj V‘<>' ^ du)\dt, du„ ‘ lq,dt, dr.dtj
\d* du)\de, du, ’ dq,ds, dr,di,)
. Ces équations ( 27 ) doivent être' identiques en vertu des
équations ( 23), et comme celles-ci ne renferment pas les déri-
, t/g, dg, dr, dr, , , , . ...
vees il faut que les termes multiplies
dy, , dz, . dx, dz, , ^
par ces dérivées dans les deux dernières équations ( 27 ) se détruisent mutuellement, cè qui exi^e que l’on ait
/d\ dY\ dfr du) dq.
d\ d\\ df.
(d\ d\\df (dV d\\df,
. ‘ df df, df df, .
et, comme, par hypothèse, le déterminant ^ '
n’est pas. nul, oa aura nécessairement (^8)
d\ d\ dy ^ du
dz.
dV
’'lTu=^'
et les équations ( 27 ) donneront ensuite
; , dY ' dY - "rfV • ‘ rfV ‘ dY dV
■ Les équations (25), (2&), (29) déterminent les valeurs de . X, Z, «, p, q, r, et en conséquence elles peuvent suppléer les équations ( 23 ). En pariiculiersiron remplace «.par /(y„ z,), l’intégrale demandée de l’équation (i)sera le résultat de l’éli*
a6a hotê sor L’iimÉoRATioN des i^datioks' mination de y, et de z, entre les trois équations
fin désignant ici par dérivées partielles
de V prises par rapport à j, et z„ après la substitution de
