On voit que la seule équation

satisfait à l’équation proposée (i), si l’on y regarde y#, z„ u, comme des constantes arbitraires. £n eiTet, dans la solation générale que nous venons de développer, on reconstruit l’équation proposée en éliminant J,, A, et u, entre l’équation (a5), les équations ( a8) et la première équation ( ag). Or, si, au lieu de considérer.;^,, z„ u, comme des variables assujetties à satisfaire auY deux dernières équations (2g), ori traité ces quantités comme des. constantes, il est clair, que les valeurs de p, q, r tirées de l’équation ( a5 ) seront données par les mêmes équa- ' .tiens qui continueront' avec l’équation (aS) à, reproduire l’équation ( J ). Cette équation (25), qui renferme trois constantes arbitraires, est l’intégrale complète associée à l’intégrale générale qui est représentée par les équations ( 3o ). .

On voit aussi que l’équation proposée { ») estsatisfoite 1“ par l’équation qui résulte de l’élimination de y, entre les deux . seules équations ' , > i . '

si l’6n y regarde z, comme une constante arbitraire; a" par l’équation qui résulte de l’élimination de z, entre

si l’on regarde n comme une constante arbitraire. Car, pour le calcul des dérivées p, q, r, l’hypothèse de z, ou de y, con*-

. AUX DÉBIV^ PARTI8UÆS DD PBEMIER ORDRE. a63

stanie équivaut évidemment à l'hypothèse de ou

de Chacune des deux solutions particulières que

l’on obtient ainsi renferme une fonction arbitraire, mais cette fonction ne dépend que d’une seule quantité variable.

Enfin, si l’on considère et z, comme des paramètres liés entre eux par une relation quelconque, on aura encore une solution de l’équation (>) éliminant, par le moyen de cette relation, y, et z, entre les deux équations

/dW\ fd\\ dz.

Tous les résultats qui précèdent sont compris dans un théorème plus général que nous établirons plus loin.

18, Comme application de ce qui précède, considérons l’é^quation .

■ U — apqr=o, \ - . . - ,

dans laquelle désigne une constante. On a ici

X='o, Y^o, Z = o, ü = i,P:= — ‘aijr, Q= — opr, R r= — <v’7,

" P/»-eQ9-HKr= — îtpijrT^—iu,

les équations à Intégrer sont

dx djr dz ‘ du ^ dq dr ", !

(iqr apr apq 5« p q r’

et l’on" trouve de suite les Intégrales - '' '

p»\ q> .. r,.- aq,r, ~ ap,r, ~ ap,qt

Cbas^nt p, au moyen de l’équation u,-^ap,q,r,=o, il vient,

aq; r.

Digiibfid by C;)ogk

à64 J KOTE SÜR I-’iNTÉüBATION DES ÈQCATIONS • .

L’élimination de q, cl de entre ces trois équations se fait immédiatement; on trouve ^ .

«(m"— t<l) =8(jp — âr.)(^— 7,)(ü— a,), et si l’on pose

l’intégrale générale de l’équation proposée sera le résuliai’de l’élimination dé 7; et de z, entre' les trois équations '

rfZo

on aura en outre les solutions parliculicres suivantes: i®V = o ,

dans l’hypothèse de7„ z«,' «» =/{7„ z«) constantes; 2°V = o

dV ' rfV

^ =0 dans l’hypothèse de z, constante ; 3” V=o, ^ = o dans

' rfV ' dY

l’hypothèse de 7, constante ; 4® Y = q, ^ ^ ( 7« ) = o ,

dans l’hypothèse de Z, = <p(7a). • ' '

19. Revenons maintenant aux équations (24)> et supposons que les déterminants - •

dq,dr, .dr,dq,' dq,drt dr, dq,’ ' dq,3F, dr,dq.

soient nuis. Nous avons vu que si les fonctions /|. et /i sont l’une et l’autre indépendantes de q, et de r,', Ja fonction/, est aussi indépendante des mômes quantités et que cette circon» stance SC présente seulement dans te cas où l’équation pm-' posée est linéaire, cas dont nous avons fait abstraction. Nous pouvons donc supposer que f, dépend de l’une au moins des quantités q, et r,; alors, de ce que les déterminants dont' il s’agit sont nuis, il résulte , que f, et/, sont des fonctions dé / qui peuvent d’ailleurs contenir,dans leur expression, X, Xn *«• Soit donc

AUX DÉBIVÉES PARTIELLES DL% PREMIER ORDRE. a65

en portant ces valeurs dans les équations (a4), et en remarquant

que, d’après notre hypothèse, l’une au moins des dérivées

rf/, (if, ^ .

-y- est differente de zéro, on aura

puis

dr.

^ dus \dyv

dy

dz„

ri». •' \(lz„ du,!

et en éliminant /« entre ces deux dernières, il vient

.A'V.rfi; dt,dr,i^^’Uu,dc, Jz.duj'^ ‘\Jt,~du,

Les déterminants

dtf dy, dz.

d'if f/ç

dz, dr.

d-!( dtf' du, dz.

d^f dtf dz, du,'

d-!/^ dtf dr, du.

dô dttf du,

ne peuvent être nuis tous les trois, car si cela avait lieu, on déduirait des équations (3i) une relation déterminée entre x, f<t fit f> ou entre x, r, a» «. Donc, à cause de l’équation ( 3?),' l’un au moins des deux derniers déterminants est différent de zéro, et en conséquence les équations (3i) pourront être résolues soit pàr rapport à u, et z„ soit par rapport à u, et ^'o; nous admettrons la première hypothèse, et nous poserons

u, — v{x, r, a, u, j„), z, = t>(x, jt-, a, «. n ).

Ces équations peuvent, dans le cas qui nous occupe> être substituées à la ‘deuxième et à la troisième des équations (a3). Si^ on les^différentie, puis que l’on remplace du, par q,dy,+ r,di„ du par pdx qdy rdz, et qu’ensuile on élimine dz enire e*- éd. II. i8 ■

sCG NOTE Stn l’iNTÉfiB AVION DES EQUATIONS

les é(|uatiüns résullanles, il vient

Si l’on reniplaee dans celle équation (34) (fy' par sa valeur tirée de la première équation (23), savoir

les coefficients des différentielles restantes dx, df,, dz, seront identiquement nul^ en vertu des équations (23). Or la fonction /, dépend, comme nous l’avons vu, de l’upe au moins des quantités q,, r,; donc l’expression de dy contiendra les

, dq, dq, dr, dr, .... . .

dérivées ou -j—9 -j— ; ces derivees doivent en con-

«V, «s, «)'o dz^ J "

séquence disparaître d’elles-mêmes, et cela ne peut arriver que si le coefficient de dy est identiquement nul dans l’équation ( 34 ). Donc les coefficients des quatre différenliefies sont nuis et en les égalant à zéro on obtiendra quatre équations qui, avec les deux équations (33), formeront un système équivalent au système (23). Les quatre équations dont nous venons de parler peuvent s’écrire comme il suit :

dy

dy

jn

^’-dlc.

V y/ <^ ir/ fl» ~

dy

dy~'°'

, dx P du

dJ-’^-^dU

dz

-^'dTt

di-

dy.

L’équation (36) donnera la valeur de 7, et les équations (35) détermineront p, q, r.

On voit qiie l’équation (36) n’est autre chose que la. dérivée de la première équation (33) par rapport à y,, prise en

Digilized by

AUX UÉRÎvéES PABTtELLBS DU PREMIER ORDRE. 267

regardant comme fonction de ,r, et de z,, et 2» comme une fonction de r, déterminée par la deuxième équation ( 33 ). Si donc on pose " • . '

l’intégrale cherchée de l’équation (i) sera le résultat de l’élimination de r» entre les deux équations

20. On reconstruit l’équation proposée (i) en éliminant V, entre les deux premières des équations contenues dans la formule ( 35 ) ; il s’ensuit que la seule équation

satisfait à l’équâtion proposée si l’on y regarde y, comme une constante arbitraire. En effet, en différentiant l’équation { 39) dans cette hypothèsé, on reproduit les deux prernières'équâlion^ (35), et celles-ci continueront à' reproduire l’équation proposée par l’élimination de J,. ’

' Cette solution (Sg), qui s’adjoint ici à l’ini^rale générale (38), renferme une fonction arbitraire; mais il faut remarquer que cette fonction arbitraire ne dépend que de la seule quantité variable 4>. ' .