Bans ce paragraphe nous allons nous occuper de Tintér

P dx et étudier les cas ou elle cesse d’avoir une valeur

finie et déterminée.

Nous examinerons d’abord le cas où l^inlégrale cherchée de l’équetion (i) est représentée par un système d’équations de V ^ là forme

„ • rfV • rfV d\ dV

Digilireiïby Coa^’ie ’

AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DÇ PReAiER ORDRE. tk6ç)

nous supposerons, pour abréger, que lif première équation soit résolue par rapport à « et l’on aura plus simplement

„ </M dM

ilz^

dyi

du^

M étant une fonction donnée de x^jr, z, z#, «>; Jes valeurs de />, (Jf r seront ensuite données par les équations i

dx ,

Pour reconstruire l’équation proposée (i), il faut éliminer , Tt, Z,, Mj entre les équations (40 et la première équation (4o); ^par conséquent la différentielle totale dF du premier membre de Cette équation s’obtiendra en ajoutant 'les différentielles

totales de M-

dM d\\

"^'dxrP'-^

-r, respectivement

multipliées par des facteurs >, p susceptibles de faire disparaître les différentielles t/jfo, dz„ du,, qui doivent être’ regardées ici comme indépendantes. On aura donc

V dx

dxdr

dxdz j

(dM

dy.

\ dr

dfdz j

(dM

rf’Jl ,

dz ‘

d^dz

lï^j

fidp — vdq —

-pdr,

et les facteurs p, », p devront satisfaire aux trois équations suivantes;

dy^ ^ dxdjTn

” dÿdy.

. dM'

dz» ^ dxdz»

dydz.

dzdz, ’

. dM

rf’M

du, ^ ^ dxdu»

^ '' dydii.

^ dzdii.

BTOTE SCR* L^nrréeRATION DES équations On tire de l’équation (4a)

= — '^dx,

r il' <i'M \

dxdjr^ \

' ‘^‘<txduj

i,ds dj^ * ^'^■dedup^

fl'M ' \

dx dz^~^^**dxdu^^)

\ tir de,, '“ds du„ J

/rf*M rf*M

\ dz ^* ds du^

et les équations (43) donnent, par l’éliinination de X, à cause des deux cTernières équations (4o), ^

. Or si l’on considère jr d ^ comme des fonctions de x déterminées par les deux dernières équations (4o), il est clair que les équations (45) seront satisfaites en posant

■ ' . , f» =? dx-, V dy, dz t . ,

puisqu’elles expriment alors les différentielles des équations ’(4o); l'équation (44) nous donne en conséquence

la dernière des équations (43) donne ensuite .

,/|063j- rflog^

-“= —;5— + ^ÎT-

Et,' comme la dérivée doit se réduire h l’unité quand on

fait x=:x„, y=y„, z = Ze, puisque M se réduit alors à «„ on aura ' • '

<fM

’ 23. On voit par là que l’intégrale I -ÿ^x ne peut deve-

oir infinie ou indélcrininée que si l’on alliibue à la fonction

AUX BémiVÉES PABTIBLLES- DU PBEMIEB OBOBE. 271

. f(y, 2) une forme telle, que la dérivée ^ devienne nulle,

infinie ou indéterminée après la substitution des valeurs de y et de Z tirées des deux dernières équations (4o). Mais alors il es.t. évident qu’on ne saurait tirer de ces équations des valeurs déterminées de .y et de z se réduisant à et à z, pour x =: Xo,'

puisque l’hypothèse x = x„ y — y,, 'z = z, doit réduire ^

- -■ ' diu

à l’unité; les formules générales deviennent donc nécessairement illusoires et la solution' du problème proposé doit être fournie dans ce cas par l’une des intégrales subsidiaires qui accompagnent l’intégrale générale et que nous avons rencontrées dans notre analyse. • .

Si l’hypothèse x = x, fait disparaître y et z des deux dernières équations (4o), ces équations se réduiront à des identités, car elles sont satisfaites quand on pose simultanément x—x„y=y^, z = z,', il s’ensuit que la première équation(4oh savoir « = M, ne contiendra plus et z„ quand on y fera X — x„ puisque ses dérivées relatives à y, et à z, deviennent ajors identiquement nulles. Et, comme cette équation m=M est satisfaite quand on pose

. . x = x>, y—y„ a = ir = ir, =r/(r., z„),

elle se réduira généralement pour x = x, & u=f{y, z), et en conséquence elle fournira la solution du problème proposé, solution qui contiendra deux constantes arbitraires y, et z,. ' " > '

Supposons rtiaintenant que l’hypothèse ^ = ne fasse pas disparaître à la fois 7 et z de l’une et de l’autre des deux der- ' nières équations (4o). On pourra tirer de l’une de ces équations la valeur de l’une des variables^ et z, et si l’on porte cette valeur dans l’autre équation, celle-ci se rcdüirtj nécessairement à une identité pour x = xt. Je dis alors que si l’on considère l’une des variables y„ z, comme une fonction arbitraire de l’autre, t}ue l’on fasse, par exemple z» = et que l’on désigne par <p'(7,)la dérivée de t(7,), la solution cherchée de l’équation { i ) sera le résultat de l’élimination de 7,, i,, «. entre

a7> NOTE SDB L’iNTéOBATiON DES ÉQUATIOKS

les quatre équations > , •