IM

\dx.

fclM

2o = ip(r»);

dM\ ■

cette solution renferme comme on voit une fonction arbi-" traire <p, et si l’on suppose qu'on ait remplacé dans M, «, eX. z, parleurs valeurs tirées des équations (48)> les équations (47) ppurront s’écrire plus simplement . . • . * , .

Les équations (47 ) fournissent, comme on l’a déjà dit (n“ 17), ■ une. solution de l’équation proposée (i); par conséquent, pour , établir ce que nous venons d’avancer, il suffit de prouver que les équations (47) et (48) donnent par l’élimination dej„ z„ m», une valeur de « qui se réduit à f{y, z ) pour^r = a;». '

Dans l’hypothèse où nous nous sommes placé, les deux dernières équations (4<> ) et la deuxième équation ( 47 ) se réduisent ■ pourar = ar„à une seule et même éqüalion; par conséquent, lorsqu’on donne à x cette valeur particulière les équations (47) peuvent être remplacées par les équations (4o), • dont' les deux dernières, nous devons le répéter, rentrent l*une dans l’autre. Or, je dis que si, après avoir remplacé «0 par/(7',i z,), en tire la valeur de z, de l’une .des deux dernières équations (4o), pour la porter dans la première « = M, lé résultat de la substitution, sera indépendant de 7-,. En effet, après cette substitution, la dérivée de M Relative àj» est ■ ■ '■ > '

/</M ■ </M\ fdM dM\dz, , .

du.) \dz„ '^.'^° duj -dro' ‘

dz ' -

exprimant ici la dérivée de z, relative à jr, tirée de l’une des

(lyt

deux dernières équations ( 40 ), en y considérant j» et z, comme seules variables. Mais l’expression précédente est identiquement nulle en vertu des équations (4o); donc l’élimination de >• fait disparaître en même temps z,. Et alors il est évident que

AUX DÉRIVéES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. >73

l'équation « = M se réduit à pour a.- =^ar„, puisque

, les équations (4o ) sont identiquement vérifiées quand on y fait simultanément a = Xa, y 2 = 3„ « =/(/o, Z,).

2<i. Pour montrer un exemple très-simple de l’analyse qui-

, précède, considérons l’équation

on a ici

et -

Les équations xfiffcrentjelles à intégrer sont

p'<ia: = q^dy== t^dz — udu :

u'dp u'dq u'dr ^ . .

on en tire

. el à cause de — = — -h — -h — î on obtient immédiaicmenr wô p. r. ^ -,

• l’équation « = M, jsavoir :

y/iog =: y/x — x, 4- v(r — r» '

ou

On aura donc la solution générale demandée en ’joi-

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-274 .NOTE 8DB l’intégration ORS ÉQUATIONS

gnant à celte équation ceilçs que l’on en déduit en la différen- Uant'par rapport à J, et à a, ; on obtient ainsi •'

\/x — X, + >Jr — n-t-Vs —

ÿo Wo — '* ■ > • — O,'

^!x’^x,-\-\Jr' — n -I- yjz ■— 2»

To — U, ' = O, •

. résultat qu’il eslfacije de vériOer au moyen des valeurs écrites