I -p dx a ici pour valeur

Jx, . • «/X, t/X, •

ou, en remplaçant />« par sa valeur en fonction de q^, r, et «»,

^ ■ 'Jx:^

dx =

[q<,r,-{q„-hrt)u,]

On trouve pour log-^^ la même valeur, comme il est facile de s’en assurer. Cette valeur devient infinie quelle que soit x, si

l’on a

Uo Çe ^0

et on voit de suite que, dans ce cas, nos formules générales sont illusoires. La solution demandée est alors donnée, d’après notre théorie,' par l’équation qui résulte de l’élimination de /■«, Zn entre

. ' <ilx—x„-\-dy—y„ + d* — i

On se trouve placé dans le cas particulier que nous exami-

ACX DÉBIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. 2^5 noDs, si l’ori prend

la deuxième des équations du système précédent est alors satisfaite pour Xz=x„ en posant ' . .

et l’on trouve sans difficulté que la valeur de u se réduit, dans la même hypothèse, à , , .

25. Considérons maintenant le cas où la, solution générale demandée 'de l’équation (i) ne se présente pas comme une équation résultant de l’élimination de deux variables j,, z, entre une équation donnée et ses dérivées prises par rapport à J, «et par rapport à z,. Nous avons vu que, dans ce cas, l’intégrale demandée résulte de l’élimination dej» et de z, entre trois équations telles que .

Zf U, jTo),

où 'F et ♦ désignent des fonctions données; les valeurs de p, q, r sont ensuite données par les trois équations

°di

dw d0 dr '^°dy

du ° du

Thi"

°di

dTi'

d'il

’dU

et l’on peut évidemment reconstruire l’équation différentielle proposée en éliminant y„ et r„ entre les trois équations (5o), ou y,, r, et a entre les quatre équations

fdy

[dy .

fdy

'’Tzr^'

[dit

‘"'dit

37^ NOTE SDR L^lNTéCRATION DES. ÉQUATIONS ^

Si l’on ajoute les différentielles totales des équations (5i), après les avoir multipliées respectivement par des facteurs i, (t, V, P propres à faire disparaître dy„ dr„, du, on repror duira la différentielle d¥ du premier membre de l’équation proj)Osée, et l’on aura en conséquence

et -

d'iS> ''

^^^[dxdu

dx du j

\dydu

dy du

\dzdu

dz du ]

|-t-pn(

du*

''"du*)'

à cause de la dernière équation (5o), on peut écrire

■ U . . rflogn rflogn

«flogn

rflogn •