PT

Quant ^aux facteurs "k, pt, v, p, Us dojvent satisfaire aux trois équations^

t/'P d'y dw dz

^ dy ~^ ^ dz~^^ du

d'\> ' dx

'dz

^ ~ ■*'P;7ïï — ,

^.du

( rf’'P

dx dy.

’dxdr,) ^\dydy.

’^-dydyi

d*Of \

dz dy,-

•’^’dzdy,} ' ^\dudy.

dudy.

et il est évident que ces équations sont satisfaites en posant

\~dx, fi = dy, v = dz, p = du,

les différentielles dx, dy, dz, du se rapportant au cas où l’on considère y, z, u comme des fonctions de x déterminées par les équations (49)- En conséquence, l’équation (Sa) donne

^J^S^,fy+^dz+^du=diogii,

AUX DEBITEES PABTIELLES DU PREIWIEB ORDRE. ^77

et par suite

dw ' .. . . ,

en remarquant que ^ et ^ se réduisent respectivement a i

et à zéfO pour x = x„ puisque les équations {49) deviennent identiques pour x = x„ y=y„ z'=z,, « = «,.

■^dx ne peut cesser d’avoir

une valeur finie et déterminée que si l’on attribue à la foncr

1 di>

lion /{y, z) une forme telle, que la fonction — r, ^ devienne nulle, infinie ou indéterminée, querque soit x-, mais puisque cette quantité doit se réduire à l’unité, pour x=zx„ par les conditions mêmes du problème, les équations (49) deviennent nécessairement illusoires. Si donc on tire des deux premici’es équations de ce système les valeurs de « et de a pour les porter dans la troisième, celle-ci sera impropre à déterminer une valeur dey se réduisant à y, pour x=x^; l’hypothèse x = cç, fera donc disparaître y, et en conséquence l’équation dont nous parlons se réduira à une identité, puisque les trois équations (49) sont vérifiées en posant x=x,, yz=j\, Z — Z,, « = «,. En d’autres termes, la troisième équation du système (49) est vérifiée identiquement pour x = x,, en vertu des deux autres; or l’élimination de z, entre ces trois équations conduit évidemment à deux équations de la forme «=M, = o, M étant une fonction de

X, y, Z et de/o , et puisque la seconde doit avoir lieu identiquement pour x:i=x, en vertu de la première, il est évident que l’hypothè-se a: ar, fait disparaître j, de M. Enfin l’équa-

tion m=M étant satisfaite -pour x = x,, y = y,, z = z,, it=f{y\, z„), elle donnera généralement 11= f (y, a) pour x = x,. Donc, dans le cas qui nous occupe, la solution du problème proposé est fournie par les deux premières équa-

278 M>TE SUR l’iNTÉCRATION DES ^QUATIONS

lions du système (4g). ou, ce qui revient au même, par l’équation unique

qui renferme une constante arbitraire/',. .

27. Pour donner un exemple de ce cas, considérons l’équation . .. .

On a ici , ■'

et les équations différentielles à intégrer sont

, <ly -‘-dz (lu dp ^dq dr

^q(p-r) ~ ■>.(p — rf ~ ^q[p~ r) ~~ 3u~ p ~~q ~"7'

On lire de là •

îil — ü — i -

puis

. 2ÿ,(P(i — r,)~ (p, — r,y-~ i-q«{pa — r„)

et en remplaçant /?, — r, par sa valeur i /^° > il vient

\/wô ' ■ c ^

'V-r-y»— — Xi), 2— 2„=— (j? — X,), id — t<î=^— — Xi).

On a ensuite ■

^ r^dx= r—^=' r-

Jx, *’ Jr, 4</(/^-^'‘) \l-ZUi(}l+X — xJ

ndx =3 log

vVat/,^. -t- x' — X,

\u,qi

Digitlzedby Googlè

AUX oéRITÉES PAItTIELLES DU PREMtES ORDRE. 379

Celle inlcgralé devient infinie quel que soit x si l’on a

Ça — O,

c’est-à-dire si «, ou /(/o, 2») se réduit à une fonction f( z^} de Z, seule, et il est évident que nos formules deviennent illusoires. Mais, dans le cas général, ces formules donnent, par l'éliminatipn de q„

ii‘, == u' —ix — x,y ijt'—x.y , z,=z-^-(x—x,),

el l’intégrale cherchée de l’équation proposée sera le résultat de l’élimination de 7*0 entre l’équation

, Il ?. 1

' [f(ri,,z-hx—x,)y =u’ ~{x — x„yix—r,,y,

el sa" dérivée prise par rapport à r«. Dans le cas où la fonction fiX’ se réduit à une fonction ip(2) do s seule, la solution demandée est donnée, d’après notre théorie, par la seule équation précédente qui devient

onvoilque cette valeur dense réduit bien à <p{ z) pour.ir = a;,. •

< 28. L’analyse développée dans les paragraphes précédents

montre que, dans le cas' de deux variables indépendantes, l’intégrale générale d’une équation aux dérivées partielles est le résultat de l’élimination d’une variable/, dont dépend une Ibnction arbitraire entre deux équations dont l’une est la dérivée de l’autre par rapport à /,. Il n’y a d’excëption qu’à l’égard des Quations linéaires relativement aux dérivées partielles; l’intégrale est alors représentée par une équation unique où figure une fonction arbitraire.

Dans le cas de trois variables indépendantes, il peut se présenter trois cas ; V” l’int^ale générale est représentée par le système de trois équations dont deux sont les dérivéesde la troi-

aSo NOTE SVB t7lNTÉ6RATION DES léQVATIONS >

sième par rapport à deux variables auxiliaires z, ; 5" l’intégrale générale est représentée par le système de deux équations dont l’une est la dérivée de l’autre par rapport à une variable auxiliaire j»; 3“ enfin l’intégrale générale est représentée par une équation contenant une fonction arbitraire de deux variables. On a vu que ce troisième èas ne peut se présenter que si l’équation proposée est linéaire par rapport aux dériyées.

Ces différentes formes sous lesquelles se présente ainsi l’intégrale générale d’une équation' aux dérivées partielles sont inhérentes à la méthode que nous avons jadoptée. On peut j toujours, en effet, représenter l’Intégrale générale d’une équa-' tion aux dérivées partielles du premier ordre, dans le cas’ d’un nombre quelconque n de variables indépendantes, par un système de n équations dont l’une' renferme n- — i variables auxiliaires avec une fonction arbitraire de ces variables, et dont les n — i autres sont les dérivées de la première par rapport aux auxiliaires.

Soit, en effet, l’équation ' ' .

dans laquelle u désigne une fonction des n variables indépendantes x,x, Z,. . ei oh p, q, r, . . . , représentent les dérivées partielles de « par rapport à x, j'y z,. respectivement. Supposons que l’on ait trouvé une intêgraie complète do cette équation, c’est-à-dire une solution renfermant n constantes arbitraires Soient

cette intégrale complète. On en tirera

dV d\ d\ dV

dV d\ ' 711-^’^ihcr^’"-

et l’on reconstruira évidemmentl’équation (i) en éliminant les n arbitraires a, 6, 7, . . . , ^ entre les équations ( 2 ) et { 3 ). Supposons maintenant que l’on remplace l’arbitraire S par

AUX DlÊBIvéES PARTIELCES DU PREMIER ORDRE. 28 1

une fonction arbitraire

des n — I autres et que l’on considère celles-ci comme des variables. Il est évident que les équations (3) subsisteront, si l’on assujettit les arbitraires devenues variables à satisfaire aux n — I équations

d\ dV dV

et par conséquent le système formé par les équations (a) et (() représentera une solution de l’équation proposée contenant une fonction arbitraire de n — ^ i variables.