En vertu des équations (3), les équations
cos O cos ç ‘t- cos 6 cos U -t- cos 7 cos î; = 0,
COSX COS.Ç-l- COSfiCOS v-t- COSV COSÏ= O,
deviennent
COS a rf cos a 4- cos e rf COS 6 4- COS 7 rf COS 7 = O, cosîi d cos a 4- COS [t d cos 6 4- cos V d COS7 = o.
D’ailleurs, eh différentiant les suivantes :
CÔS a cos i 4- cos e cos (* 4- COS 7 COSv = O, cos’ i 4- COS’ (i 4- COS’ V == I , -
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DES I.IGSES ET DES SKEFACES COl'RBES.
Cl ayant égard à la seconde des équations (5), il vient
cos a d COS X -f- COS 6 d cos ft H- cos 7 d cos V = O,
cosi </cOS> H- cos (irfcos (* H- COSv </ cos V = O.
On voit que les équations (6) ne diffèrent des équations (5) qu’en ce que rf cos a, </ cos 6, rf cos 7 y sont remplacées par dcos\, dcosfi, dcosv; d’où l’on conclut que les premières différentielles sont ptoportionnelles aux dernières t on a donc
d cos X d cos jx d cos v dn p
dTôsè ‘
d cos a d cos^6 d cos 7 -Tt r Ces équations {;;) démontrent le théorème suivant :
Si a et'\ désignent les angles formés avec une droite fixe 1) par la tangente et par l’axe du plan oscutateur en un point M d'une courbe à double courbure, le rapport
d cos X ' ■
d cos CL
est indépendant dé la droite D, et sa valeur est égale au rapx port de la première courbure à lu seconde ('].
Des équations (4) et (7) on déduit
ds
d cosX = cosÇ — > r
J ds
d cos IL — cos U — 1
d cos w = cosç — • r
(*) M. Bertrand, ^ qui J'avais communiqué ce théorème, Ta proposé convine cxcrcicoaiix élèves de l’Ecole Norihalo. L’un d’eux, M. Guiraudet, lui a remis la démonstration (jcométrique suivante, qui csld’uno cxtrèiiio sinipHcitc:
« La direction qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont pro- » portioiinels à d cos «, à cos %, d cos 7, est celle du rnyun de courbure. SI roii » mène par l'origine deux parallèles aux axes des deux plans osculateurs in(i*
> niment voisins, et que Ton pVenne sur ces parallèles des longueurs OM, OM'
> égoles à l'unité, la ligne'MM' qui joindra leurs extrémités fera avec les axes )) des angles dont les cosinus sont proportionnels à dcosA, d cos fij dcosv, » Ainsi, pour prouver notre théorème, il sufltt de montrer le parallélisme deces
, a deux directions.. Or cela est évident, car le plan parallèle aux axes de deux » plans osculatenrs voisins est parallèle au plan normal de la courlje proposée, a et la droite MM' située dans ce plan est évidemment perpendiculaire à Taxe m du plan oscillateur, et, par suite, parallèle au rayon de courbure, s
KOTE SUR LA TBÉORIE '
