De l’équntion

cos’ Ç + cos’ a + cos’ ). = I ,

on tire, en différenliani, . ^ '

d cos « , rf cos \ >

d cos Ç = cos a — cos X ■ »

cos I - cos t

ei, à cause des équations (4) et (8),

</cOSÇ = — (COS«f?e-i- COS X d r. )

I /cos a COSXN ,

on a donc les trois nouyelies équations - > ’ . '

■ i d cos Ç —

(9) jrfcosu =

I d cos ç =

( cos a

c.osX\

ds.

\ P ( cos e

■ rJ

•cos'fi'

/ cos 7

COSï"'

d’où i'on tire

(lO) (»/cosÇ)’-h(rf cos v)’4- (rf cos ç)’ 4- — ^

Divisant'les équations (9) par ds, différeotiant ensuite, et 'ayant égard aux équations ( 4 ) et { 8 ), on obtient les suivantes :

. , / jdcosS

— ■ — f— \ cos ç ds — ( cosad — t-cosXd -')*

ds \f’ c’/ \ p rj

I — -4- — 1 cosu ds — ( CQSêrf hC0S(4<f-l>

\ p" rV ' - \ P . '■/

.rfcosu

lis

.dcosti

cos ^ds — ( cos7rf--t-cos»rf-

4.' Des formules qui précèdent, découlent immédiatement deux théorèmes remarquables. Le premier de ces théorèmes, qu’on établit facilement .par des considérations géométriques.

DES LIGNES ET DES SOBFACES COLIIBEN.

iSy

aélédémoiUré analytiquement par M. Puiseux(i;o/>le tome VI du Journal de M. Liouville). Il consiste en ce que l’hélice ordinaire est la seule courbe dont les deux courbures sont constantes. Le second théorème est dù à M. Bertrand, qui l’a démontré géométriquement; il consiste en ce que les courbes dont les deux courbures ont un rapport constant sont des hélices tracées sur un cylindre à base quelconque.

Le premier des deux théorèmes dont il vient d’être question résulte immédiatement des équalions(i i), qui, en faisant, pour abréger.

et prenant ds pour la différentielle constante, donnent, si r et P sont constants.

’ [ </’ cos I

-, cos ç ,

— cos ç.

En intégrant, on a

cosX= cos cos — cos a' sin — »

cos U =cos 6 cos h cos h sm — >

m in

cos ç = cos ccos ' — h cos c sm — -■> ,

m in

en désignant paru, />, c, b', c' les angles formés avec les axes par deux droites arbitraires D et I)' perpendiculaires entre elles. Si x, y, z représentent les coordonnées de la courbe, on a • '

. , </ cos a d'.r

“88 NOTE SÜB LA THÉORIE

les équations ( i3 ) donnent alors, en intégrant.

^ ds

1 cos

sin

- cos a'

COS

cos

^cos

sin

- cos b'

cos

'‘.Ts

1 cos

sin

- cos d

cos

où n désigne le radical \/p’ — et a", b", c" les angles formée avec les axes par une droite D* perpendiculaire aux droites D et D'. Si l’on fait coïncider les droites rectangulaires D, D', D" . avec les axes des a:, des / et des z, les équations ( i4) se réduiront à ’ ■

dx .s I '

P -T- = w sin — > ds m i .

dy s .

ds ' m

dz__

'"as-"’

d’où, en intégrant,

nv s

X — X, = cos — J

P ffi

À» 1 — An — ?

ou, en transportant l’origine au point arbitraire (x^,y„ z,) et éliminante, , , -

(i5) x = cos ^ y':

' ' 0 mn

sin — —

P mn

Ce sont les équations de l’hélice ordinaire.

' 5. Le second des deux théorèmes dont il a été question au numéro précédent, se démontre très- facilement en faisant usage des équations (7). Nous nous proposons de trouver les

DES I.IGXES ET DES SPUEAEES EOPRBFS. , 289

courbes dont les deux courbures out un rapport constant k. On a . - ,

(16) d„ = kds,

et, par suite, en vertu des équations ( 7 ),

Id cos\ — kd cosa = O, dcosfi — /frfcosS = o, rfcosv — kd cosf = o;

réciproquement, l’une des équations (17) entraîne l’équation (i6). En intégrant, on a

cosX — itcosa — constante,

• cosft — Arcos6 = constante, cosv — /rcos7 = constante; ,

la somme des carrés des premiers membres ayant pour valeur I ■+■ k', on aura

ou bien

cosl — k COSa = V I -t- /r’ cosa', COS;* — A-COS6= V^r+T’cosê',

. coSï — k COS7 + II* COS7',

cosX = k cosa -h cosa'.

cospt = k cos6 -H s/* -H A” c0s6',, cos» = k COS7 -H •+- A-^cos7' ;

6/7' étant les angles formés avec les axes par une droite fixe arbitraire. Si l’on prend cette droite pour axe des z, les équations (18) deviennent

f COsX =A'COSa,

I cospi = Arcos€,

( cos» = Ar COS7 -i- v^i -t-A’;

élevant’ au carré ces équations (19) et ajoutant les résultats, on a

ago

d’où

KOTE SUB LA TUEORIE