COS V

L’équalion (26) montre que la tangente à la courbe considérée fait un angle constant avec l’axe des z; c’est donc une hélice tracée sur le cylindre qui la projette sur le plan des arj.

il est facile de voir que, réciproquement pour toute hélice, c’est-à-dire pour toute courbe qui satisfait à l’équation ( 20), l'équation (16) aT lieu. En effet, 7 étant constant, les équations (3) montrent que cosi; est nul, donc la normale principale est constamment perpendiculaire à l’axe des z ; alors l’équation {20) entraîne l’équation (21) à cause de

cos’Ç -f- cos*7 -t- cos’v = I .

D’après cela, on à

cos’l -H COS’ft =

. - cos’a-f- cos’6= n*

. COSaCOS^-t-COSecOS(* = -j-pjj;

en ajoutant ces équations, après avoir multiplié la seconde par /l’ et la troisième par — 2 A;, il vient

■ - (cos> — A cos«)’-i-(cosft — A cos6)’ = o,

d’où l’on conclut les équations (19), et, par suite, les équations (17) et (16);

11 est facile d’établir maintenant que la projection sur le plan des jrjde la courbe qu’on vient d’étudier, est un cercle si les deux rayons de courbure et de torsion sont eux-mémcs constants, ce qui donnera unè nouvelle démonstration du théorème établi au n° 4-. " • ’

En effet, à cause des équations (rg), les équations (g) donnent ■ -

cosa ff# = <lx.

rfC0sÇ:^-(:4-^)

</cosu'= — f- 4- CQsfi ds = — - dy,