DES LIGNES ET DES SL'BFACES COVBBES
d’où, en iirtégrant et désignant par x„ y, deux constantès,
X X,=X __ cos?,
■ ' pr*
- r — V, = T cosu. . '
Élevant au carré et ajoutant, il vient, à cause de cosï = o,
ce qu’il fallait démontrer. -,
6. L'équation du plan normal en un point M{x, y, z] d’une courbe à double courbure, est
(22) (x, — x) cosa4- ( Ji — /) cos6 + (z, — a) COS7 =0.
Différentions celte équation par rapport à la variable indépendante dont X, y, z, a, 6, 7, etc., sont fonctions, on aura
[x, — x}d cos a -I- ( — y) d cos6 + (z, — z}d COS7 = ds,
ou . ' ,
(2$) (x, — x)cos?-|-(j^. — /)C0SV -l-(a,— ^a)cosÇ = p, ’
Le système des équations (22}et{23) appartient à l’intersection du plan normal au point M et du plan normal in^ni ment voisin, oa, si l’on veut, à l’aie du cercle osculateur qu’on nomme aussi droite polaire. En différentianl de môme l’équation (23), il vient
(x, — x]d cos? -i- (yi — 7) (/ cosu 4- (zi — z)d cosç = rfp,
car efx cos? 4- rf/ cosu 4- rfa cosç est nulle; en faisant usage des équations (9) et ayant égard à J’équation {22), la dernière équation devient
dv
{i\) (x, — x) cost -4-(7t — 7)coSp 4- (z,— z)cosv = — r
Le système des équations (22), (a3^, (24) represènte l’in-
NOTE SUR LA THEORIE
torsection de trois plans normaux infîniinent voisins, c’est-àdire le centre de la sphère osculatrice au point M. Si l’on ajoute ces trois équations, après les avoir multipliées respectivement, d’abord par cosa, cosÇ, cosX, puis par cos6, cosv, cosf*, puis enfin par cos 7, cosÇ, cos», il vient
X, — X = P cos l — /■ ^ cosX, dp
Xt — X — P — r ^ cos fl, dp
Z, — Z = p cos ï — r ^ cos ».
En élevant les équations (aS) au carré, et désignant par R le rayon de la sphère osculatrice, on a ' "
De là résulte ce théorème ; ■ ■
Si une courbe est tracée sur une sphère, la quantité p’-f- /•’ ■
est constante en chaque point et égale au carré du raxon de la sphère.
Réciproquement :
Si en chaque point d’une courbe la quantité
est constante, la courbe est sphérique, à moins que son rayon de courbure P ne soit constant.
Pour démontrer ce théorème, il suffit de différentier les équations (25). On' trouve ainsi, en se servant des formules données précédemment,.',.
cosX,
COSfi,
Ainsi la condition “pour que le centre de la sphère oscula-
Digitir.:^ by Googlc
DES LIGNES ET DES SUBFACES COUBBES. 398
trice soit le môme pour les différents points de la courbe est
elle n’est pas satisfaite si p = une constante. Elle devient intégrable en la multipliant par l’on trouve
rf p’
r’ = constante, as'
équation qui est satisfaite par p = une constante. En excluant ce cas, on voit que si la précédente équation a lieu, les quantités X,, jr,, J,, R sont constantes pour tous les points de la courbe proposée ; cette dernière est donc tout entière située sur une spbère fixe (* ). !
Les équations (27) peuvent servir à démontrer ce théorème
(*) M. Bertrand m'a donne do ces résultats une démonstration géométrique fort simple, fondée sur des considérations dont il a déjà plusieurs fois fait usage. Je crois devoir 1a transcrire ici :
■ Nommons p le rayon do courbure d'une courbe, s" l’arc de la courbe lieu » de scs centres de courbure: le triangle induitésimal formé par l’arc d/, la » normale principale qui aboutit à Tune de ses extrémités, et la perpendicu*
» laire abaibsce sur cette normale par l’autre extrémité de montre que le
dû
» cosinus do l'angle formé par Tare i' avec le rayon p est égal à Si l'on re<
» marque que le rayon p est langent à la surface développable lieu des axes des
• cercles osculateurs sur laquelle estsitué l’arc ds\ et qu’il coupe à angle droit
» la génératrice correspondante, on en convhitque ~ est aussi le sinus do l’an-
as
> gleque ds' forme avec cette génératrice^ et que, par suite, dp est la distance 1» de l’une des extrémités de dr' h la génératrice qui passe par l'autre extrémité;
» mais l'angle de deux génératrices égal à l'angle de deux plans oseulatears do
» la courbe proposée» est mesuré par ~ > en désignant par ds l'arc înnnlment«
» peltt de cette courbe et par ^ sa seconde courbure. Si donc on nomme u la
M distance de l'arc ds* au point où se coupeut les deux axes consécutifs, on aura
, ds dp
dp = u •
r ds
• Or le rayon p, la distance u et le rayon R de la sphère osculatricc forment
» évidemment un triangle rectangle; donc «
» Si Ton porte sur des normales à une courbe une longueur constante» la courbe
394 NOTE SDE EA THÉOBIE
connu, que le lieu des centres des sphères osculatricés d'une courbe quelconque est V arête de rebroussement de la surface développable lieu des droites polaires ou axes des cercles osculateurs."
S'il s’agit d’une courbe dont le rayon de courbure p est constant, mais seulement dans ce cas, les équations (aSJ se réduisent à ■
X, — x = pcosÇ,
^'i~^=pcosu, ■ ■
V Zi Z P cos
ce qui montre que le centre de la sphère osculalrice coïncide avec le centré de courbure ; d’où l’on conclut ce théorème : Si une Courbe à double courbure a son rayon de courbure constant, le lieu des centres de courbure se confond avec l'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux, et réciproquement. . ’
7. Considérons une courbe située sur une sphère de rayon n et dont le centre est à l’origine des coordonnées; On aura
et, comme les coordonnées x,,/,, z, sont constamment nulles, les équations (aS) deviennent
x = — P cos $ -)- r ^ cos X ,
‘7= — pcosu -|-/^COS{t, rfp
z = — P cosÇ-l- r-feosv.
» lioil do leurs extrctnîlés les coupe luutes h ançlo droit; si donc R est constant, I» l’arèle de rebroussement de la surface développable doit, si elle ne se réduit pus
* h un poinij couper à anclc droit les oormalt^s de la courbe proposée qui pas-
• sent par les différents points» cc« normales sont donc perpcndiculuircs.à Taxe
» des cercles oseulateurs et sont, par conséquent, des normales principales; ,» U se confond donc avec et Ion a * * ^
P =i constante, n
DES MRNES ET DES SVRFACES COURBA. 3g5
Il est facile de voir que les courbes sphériques de courbure constante sont des cercles. En effet, si p est constant, l'équation {28) montre que l’on a r=oo ou f — a. Dans le premier cas, il est évident que la courbe est une circonférence, puisqu’elle est plane. Dans le second cas, où p = a, les équations (29) donnent. ‘
X — — a cos Ç , a cos o , z = — a cos ç.
D’ailleurs, en prenant l’arc a de la courbe pour variable indépendante, cosÇ, cos U, cosÇ sont proportionnels à d’x, d'y, d' IX 011 a donc
" yd'z — zd'-y=o, zd'x — xd'z = o, xd'y — yd'x = o.
Intégrant cf désignant par A, B, C des constantes, il vient
ydz — zdy — K ds, zdx — xdz = B </* , xdy — ydx = C </a ;
. enfin, en ajoutant ces équations respectivement multipliées parx, J, Z", il vient ' ' .
-Ax-)-B^'-t-Cz = o, ‘ ~
qui est l’équation du plan d'un grand cercle. ~
Là recherche des courbes sphériques dont le rayon de torsion r est constant, présente plus de difficulté. Je me bornerai à montrer que ce problème dépend de l’intégration d’une seule équation différentielle du deuxième ordre.
V Si r est constant, l’équation {28) s’intégre, et donne
P = a sin J
' ou simplement,
, ^=asin-j r ^
puisque l’origine des arcs s est arbitraire. On déduit do là
‘do ' s' r-r = n cos -»
ds r . ‘
?a6 NOTE SUE LA' THEORIE .
et le$ équations (ag) donnent
s . . sdcosX
- = cos- cos X — rsin -, — »
, a r r as
. sd cos (t
= cos-cos(» — rsin-
^ ««O * ^ . s d cos V
- = cos-cosv — rsin = — •
‘a r r ds
Le problème est ainsi ramené à exprimer cos X, cos [i, cos v en fonction de s, car les équations (3o) donneront ensuite a?, .r, Z en fonction de cette variable.
La première des équations (9), savoir,
É^cosï=— 1^— - + — — j É&, ■:
donne, à cause de
rfcosX
COS 5 — r -
ds
et cosa= v/i— cos’X — cos’ç.
et en prenant toujours s pour variable indépendante,
,<f’cosX , r / /dcosW^ '
r» — - -h COS X ■+■ - y/ 1 - cos- X - r- (— j — ) = o ,
ou, en remplaçant p par sa valeur sin - , - •
.‘s/ .É?-^cosX \ ! /<fcosX\‘
~dï‘ l-cosXj + ry/i-cos-X-r-^-^j =0.
On peut prendre pour unité le rayon r de torsion, et l’on voit alors que l’équation différentielle du deuxième ordre
(3.) àsin,(''^J + T)-i-Y/,^.^*=o
est satisfaite par? = cosX, = cos f», = cos v.
En combinant l’équation (3i) avec celle qu’on en déduit par la différentiation, on obtient une équation linéaire du troi-
DES IJfiNES ET DES SUEE ACES COUBBES. ^07
sièmc ordre, mais i'intégratioii de cette équation parait offrir de grandes difficultés;^ '
8. Dans un Mémoire inséré au tome XV du Journal de M. Liouville, M. Bertrand a démontré que les normales ^clpales d’une courbe à double courbure donnée ne peuv'ent être les normales principales d’une autre courbe, à moins qu’il n’existe une relation linéaire entre les deux courbures de la courbe donnée. On démontre ce théorème d’une manière très- ' simple et très-élégante en faisant usage des formules obtenues plus haut. ■ -
Soient x, z les coordonnées rectangulaires de la courbe ' , donnée, et cherchons la condition pour que les normales principales de cette courbe soient aussi celles d’une autre courbé. Désignons par xi, , z, les coordonnées de cette deuxième courbe, par ds, la différentielle de l’arc, et dt, l’angle de contingence.
On doit avoir, a étant une constante, - • .
X, = x-|-acosï,
, rfx, . ,
O -r~ — cos ç ««,.
ds,
Différentiant l’équationf 3a), il vient, à cause de rfx = ds cos a,
rfxi=|^^i — ^jcos a — ^cosxj rfi; ■ .• . .
de cette équation et des deux autres semblables relatives aux ' axes des J et des a, on déduit • „
■V rf*, = y/(i -2^V^,rf* = RrfAr f
on a, d’après cela; ^
rfxi I r/ «\ ■ ^ 1
différentiant cette dernière équation et comparant le résultat^
, C®-etf. 11. . ' ^ 2Ü
2(j8 ‘ NOTE StR LA TIlÈoniE
avec l’équalion (33), il vient
Il est évident que cette équation aura lieu encore si l’on remplace a, Tl, Ç par 6, (i, vou par y, y, ç respCctivernent ; d’où il .suit que les coefficients de cos 5, cos a, cos X sont nuis. On a donc • ,
J ad
Ces équations (35) sont le résultat de l’élimination de a,, entre les équations (3a), (33) et les quatre semblables relatives aux axes des / et des z. Les deux dernières ne contiennent que P et f, car '
et elles conduisent au même résultat par l’intégration. On déduit de l’une ou de l’autre
h désignant la constante arbitraire. Telle est la condition à laquelle doit satisfaire la courbe donnée pour que ses normales principales appartiennent à une autre courbe. Quant à la première des équations ( 35), elle fait connaître l’angle de contingence dt, de la seconde courbe. - ■
Sur les lisaes de courbure des surfaces.
9. Considérons une courno C située sur une- surface S.- Désignons par ^ 6, y les angles que forme avec trois axes
DES LIGNES ET DES SCRFACES GDL'RBES. agy
rectangulaires, la tangente à la courbé C au point (x, r, a); par I) y, 5 et X, p, v, les angles formésavec les mêmes axes par la normale principale et par l’axe du plan osculateur. Soient aussi déeldn les angles de contingence et de torsion. Les onze angles qui viennent d’être définis et les coordonnées x, j, z doivent être considérés comme des fonctions d’un paramètre , dont les diverses valeurs répondent aux différents points de la courbe
Soient a', &, y' les angles formés avec les axes par la normale de la surface S au point (x, x) de la coyrbe C. On peut assigner une courbe C' dont les points correspondent- ,aux points de- la courbe Ç et telle que la tangente au point a') qui correspond à (x,/, z) fasse avec les axes les angles a', 6', y'. Si la courbe Cest une ligne de courbure de la surface S', les normales à cette surface aux différents points de la courbe C forment une surface développable dont l’arête ' de rebroussement peut être prise pour la courbe C'. Dans tous les cas, la courbe C' étant définie comme il vient d’être dit, nous désignerons par i', v', ç' et V, p', v' les angles que forment avec les axes la normale principale et Taxe du plan osculateur de cette courbe C'; par dt' et dn' les angles de contingence et de torsion.
Cela posé, on peut écrire les trois groupes suivants de formules par lesquelles les angles u et a se trouvent complètement définis.
cos 4 cos a' -t- cos e cos ê'-l- cos 7 cos 7' = O, . cos a cos 5' -t-cose COSu'-+- COS7 cosï' =sinw, ’ - ‘ ■ COSaCOsV-l- cos 6 cos p' 4- cos 7 COSv' = cos« ;
I C0SÇC0Sa'-f-C0SuC0Si;'-f-C0Si;C0S7'
{2) . \ C0SÇC0S?'4-C0SvC0Sv'4-C0SÇC0SÇ'
1 cosCcosi' -f-COSvCOSp'-t-COSÇCOSv'
