COS O
— sinsreosu, -l-sin osin u.
I COS i COS a'-f-COSp COSê'-|-COS»COS7' = cos >COS|‘ -h cos ft COS'/-+-COSvCOS = cos X cos V COS ft COS fx' COS V COS v' =r
= — -siOcr»
= — COSoCOSw, =±C0SüSin oi ;
3oo ■ SOTE SUR Ut THÉORIE -
. La dîffércniiaiion
de -ces équations conduit aux trois sui-
vantes :
sin w </j'= sin 13 </t.
dn-yduz= — cos a r/e,
r/a =r/jj -1-COS ur/e'. r , -
' 10. Lp dcmitTC équation ( 4 ) fournil un lliéorème remarqua-
ble. Je dis d’abord que si la courbe C est une ligne de courbure' de la surface S, l’angle « = 90", et réciproquement. Désignons en effet par,X, Y, Z les’ coordonnées d’un point quelconque de la normale menée à la surface S par le point {x, y^.z) de là courbe C, et par R la dislance des deux points (X, Y, Z),
, a ), on aura
,.X — tr-(-Rcosa' = o, Y— J+ Rcos 8'=^ O, Z — z-hRcos7'= o;
pour exprimer que celle normale est rencontrée au point ^X, Y, Z) par la normale menée à S en un point inûnimeht voisin de ( x, re a) pris comme celui-ci sur la courbe C, il suffira de difiérenlier les équations précédentes en considérant X, Y, Z et R comme constantes. On a ainsi
Rcos?'rft'=rfscosa, RcosuV«'=rfscüsê, Rcpsç't/j'=(licos7, d’où' ' - - • ■
et * ■ , , ; . • .
COS5' = COS«, COSu'= C0S8, ' COSÇ' = COS7.
Les formules (1) montrent que ces dernières équations équivalent à ■
sin>a=i, ou cos U. = O, ou 01 = go°. '
D’après cela, et en se reportant aux formules (4), on voit que
l’équation - . ,
rfo =
exprime la condition nécessaire et suffisante pour que C soit,, une ligne de courbure de S. Mais o désigne évidemment ’ I première équation (3)] l’angle que le plan osculateur de C fait avec le plan langent de S, ou avec la surface S elle-même. On peut donc énoncer le théorème suivant, dû à Lancrel: L’artf'le de torsion d'une ligne de courbure d’une surface est la différentielle de l'angle que fait avec la iiirface le plan osculateur de la ligne de courbure. . ,
DES LIGXES ET DE» SITBPACES COCRUES. 3oi
• Et réciproquement, y • .
Vne lignç tracée sur une surface est une lifr/ie de courbure de la surface, si l'angle de torsion est la différentielle de l'angle que fait avec la surface le plan osculateur de la ligne.
Si l’on suppose que la courbe C soit plane, on a rfn = o et, par suite, l’équation da^dn donne n - constante. On a donc le théorème suivant qui est un cas particulier du précédent et que Joachimstlial a démontré direclonient: -
Si une ligne de courbure d'une surface est plane, le. plan de cette ligne de courbllre coupe la surface partout sous le même ansrle. '
Et, réciproquement, ,
Si un plan coupé une surface partout sous le même angle, l'intersection est une ligne de courbure de la suiface.
• On peut encpre^ déduire de ce qui précède une propriété curieuse. La courbe C étant ligne de courbure de S, on a, comme on a vu,o) = 9o" et par suite du> — o; les deux proniières équations (4) donncjit alors
(/«' = sin dn' — — -COSade,
ce qui montre que est constant si la courbe C est plané. On .a donc ce théorème;
Si une ligne de courbure d'une, surface est plane, les normales de la surface aux points de la ligne de courbure forment une surface développable dont l'arête de rebrouisemenl jouit de la propriété qae ses deux courbures ont un rapport constant. Cette arête de rebroussement est donc une hélice tracée sur un cylindre à base quelconque. ,
11. Supposons que la courbe C soit l’intersection de la surface S par une autre surface S, ; désignons par o',-, n, , s\ et les valeurs qu'il faut mettre au lieu de w, n, ê, «' quand on substitue S, à S. On auiâ <
d m = dn cos ad ê , d a, == di, -f- COS fri, i/e', ,
3oa ' XOTK SUR I.A THÉORIE • -
d’où, en faisant nr — o, = V,
V = COSfkif/j' — COSw, rfl',.
Il est aisé de voir que V est l’angle sous lequel se coupent les surfaces S et S,, car le cosinus de cet angle est la somme des produits des cosinus des angles que font les normales aux surfaces S et S, avec trois axes rectangulaires quelconques. l’on prend pour ceux-ci les trois droites (a, 6, 7) , ( ç,u, ç )> { (*> '’)> on trouve immédiatement que le cosinus dont il s’agit est égal à cos a cos O, -t- sin nr sin a„ c’est-à-dire égal à cos ( n — o, ).
Si la courbe C est ligne de courbure de S et de S,, cos »> et cos M, sont nuis, on a donc • • » ,
(l\ = 0 et V= constante.
Réciproquement si V est constante et si l’un des cosinus cos « et cos ui est nul, l’autre est aussi nécessairement nul. On a donc ce théorème : ,
Si l'intersection de deux surfaces est une ligne de coiirhure de chacune d’elles, ces deux .surfaces se coupent partout sous le même angle.
Et réciproquement ,
Si deux surfaces se coupent partout sous le même angle et si- l’intersection est une ligne de courbure de l’iitie des surfaces, elle sera aussi une ligne de courbure de l’autre surface.
Supposons que l’une des deux surfaces se réduise à un plan ou à une sphère; toute ligne plane ou sphérique peut être considérée comme une ligne de courbure du plan ou de la sphère sur laquelle elle se trouve. On a donc ce théorème quf comprend l’un de ceux énoncés précédemment :
Si une ligne de courbure d’une surface est plane ou sphérique, le plan ou la sphère qui contient cette ligne, coupe la surface partout sous le même angle.
Et réciproquement,
Si un plan ou une sphère coupe, une surface partout sous le même angle, l’intersection est une ligne de courbure de la surface. '
DES LIGMES ET DES SURFACES COITRBES.
On -peut ajouter la proposition suivante :
Unç ligne de courbure d'une surface ne peut être ligne géodésique sur celle surface que si elle est plane, et dans ce cas il faut encore que le plan de la ligne de courbure soit normal A la surface; celte condition est évidemment suffisante.
En effet, reprenons les équations (4). Pour que la courbe C soit ligne géodésique de S, il faut et 11 suffit que sr soit égal consta’niment à 90®; on a alors da =0, et la troisième équation ( 2) devient
dt! 4- cos adt' —O.
• Pour que cette lighe géodésique soit ligne de courbure, il faut que cos « = o et par suite d» = o.
Recherche des surfaces dont les lignes de courbure de l’un des systèmes sont planes on sphériques.
12. Sur les trajectoires orthogonales d'un plan mobile; La recherche des surfaces pour lesquelles les lignes de l’une des courbures sont situées dans des plans nprmaux à la surface, ' se ramène immédiatement à la détermination des trajectoires orthogonales d’un plan mobile. L’intégration dont dépend la solution de ce problème peut être effectuée d’une manière très-élégante au moyen des formules que nous avons établies- ■ dans le § I; c’est ce que je me propose de montrer içi.
Désignons par x, y, z des coordonnées rectangulaires; par a, 6, 7.;'Ç, y, Ç; ft, v les angles formés avec les axes par la tangente de la trajectoire orthogonale du plan mobile, par la normale principle (direction du rayon de courbure) et par Taxe du plan osculaleur. Soient aussi ds la différentielle de l’arc de la trajectoire, dt l’angle de deux tangentes infiniment voisines, et drt l’angle de deux plans osculatcurs infiniment voisins. Ou aura ces trois formules relatives à l’axe des x,
l d cos a = cos Ç </« ,
( I ) . < (/ cos 1 = cos ï </>i ,
■ ^ (/ cos ç = — cos a di — COsX//>i, . ' . ;
3o4 KOTE SUS LA THEORIE
et six autres semblables relatives aux axes dos j et des a; on a, en outre, . .
rff = \^(rfC0S a)* 4-(</cOS 5)’ -t-(rfcoS7 )*, / '
(/r.= v^(<icosX)’-f-(</cos(i)’ + (</cosv)’.
Cela posé, l’équation du plan mobile sera ( 3 ) X cos a -f- J cos e 4- 3 cos 7 = «,
où l’on doit considérer a, ê, 7 et « comme des fonctions d’un paramètre variable t; et, pour obtenir les trajectoires ortho- ' gonalcs, il faudra intégrer les équations
(4) dx = ds cos a, t// = </jcosS, dz = ds CQS ■J..
A cet effet, nous poserons
:CC0S>4-/C0S + 2 COSv = U;
en différentiant deux fois cette équation (5), et ayant égard aux équations ( 1 ) et ( 4 )( il vient
(6) ; arcosï+/cosu4-acos!;=:-^^
d 'fl
(7) XCOS a -(-/cosfi -r- 2 cos 7 = ■
de
dr, J
La comparaison des équations (3) et (7) donne
rfU
,, . de
Sans fixer la quantité qàf||^ous choisissons pour le paramètre/, nous pouvons prendre >i pour variable indépendante, et poser . , . . ' .
f" désignant la deuxième dérivée de la fonction f ;.alors l’intégrale de l’équation (8) est •
(lo) ^ U = A sin J) -l-B cos n — ^'("), ■ *
A Cl B étant deux constantes arbitraires. :
Dipitizedtiy.’Cooglc
DES LIGXES ET DES SUMEAEES COURBES.
11 résulte de là que, si l’on pose (il) V=jrcosH-j'-cos(i-(-z cpsv + 9(>i)— Asin« — Bcosn,
les équations (5), (d) 01(7) qui appartiennent à la trajectoire du plan mobile seront équivalentes aux trois suivantes :
dV
dt
rf’V di^ ■
car les termes qui proviennent de la variation de x', y, z d\
dans V et dans — r- se détruisent mutuellement. ai
Nous ferons cosX =
COS f* :
COSv =
d’où il résulte (.3)
fv/. -+-/'■• + {/-//')■
en désignant par/une fonction du paramètre t et par/' la dérivée de cette fonction. Si, en outre, on met dans l’équation (n),F(t) au lieu de ÿ(ii), 9 et *(6) au lieu de A et B, il vient
(i4) V = — Osinn — 4>(9)cos»i^"
où » représente la valeur donnée par l’équation (i3). Et si l’on élimine < et 0 entre les équations
d \ p\ dt dp'
on obtiendra l’équation générale des surfaces pour lesquelles les lignes de l’une des courbures sont dans des plans normaux à la surface; les équations (i5) renferment trois fonctions arbitraires,/, F et 9>. 11 est clair que notre analyse exclut le cas où les lignes de la deuxième courbure sont planes.
On peut obtenir un résultat plus simple encore dans le cas particulier où les plans des lignes de la première courbure
NOTE Sl'H LA THEORIE
passent par un point fixe. En plaçant l’origine des coordonnées en ce point, on a « = o, et la fonction <f de l’équation ( lo) est nulle. Si l’on pose
W = V sin B -J- cos n,
' an
on pourra aux équations (12), c’est-à-dire aux équations (5), (6) et { 7 ), substituer les trois
dW
dt
dont la dernière s’obtient en ajoutant (5), (6), (7) après les avoir élevées au carré. Or, en désignant par/(<) une fonction du paramètre t et faisant
cosisin 13 -^-cos Çcos 1} cos /x 811119 *4* cos u cos cos v sim? -t- cosÇ cosij
i 7TÔ ;
la valeur de W se réduit à — si donc on pose
- yjTTTTT
et qu’on remplace A’ -t- B’ par a;’ 4- 3’, ce qui donne S 4- f-î" ~^fy
l’équalioii de la surface que nous considérons sera le résultat t!e l'élimination de t entre les deux équations
dW
' -dT^°’
qui renferment les deux fonctions arbitraires/ et 4’. On retrouve ainsi, dans ce cas particulier, rune des surfaces étudiées par Monge. .
13. Sur les trajectoires orthogojiales d’une sphère' mobile. La recherche des surfaces dont les iignes de l’une des courbures sont situées sur des sphères normales’à la surface, se ramène immédiatement à la détermination des trajectoires orllm-
LlfiXES ET DES SUBFACES COUBBES.
gonales d’une sphère mobile, et ce dernier problème se réduit lui-mônie très-aisément à la détermination des trajectoires orthogonales d’un plan mobile, question dont nous venons de donner la solution. C’est ce que je me propose d’établir ici (*).
Soit
’(.i) ^ {x — — b)' + {z — cY=r^
l’équation d’une sphère en coordonnées rectangulaires; a, b,c,r désignent des fonctions d’un paramètre variable t. Les trajectoires oHhogonales de cette sphère mobile auront pour équations différentielles
, . dx dy dz
Soient a, 6, y les angles formés avec les axes par une droite arbitraire variable avec le paramètre /; désignons aussi par a une nouvelle fonction de < et posons ■ '
f 3 ) da= rttd > db — rud * de — rud —
Enfin, au lieu des variables x,y, z, prenons-en trois autres XttjTx, Z, telles que l’on ait
( •) M. Ossiûn Bonnet s’est occupé le premier de la recherche des surfaces dont il s’agit (ci. Mais les formules qu’il a données me paraissent trop compliquées pour qu'on puisse en tirer parti ; aussi je crois faire une chose utile en publiant le résultat si simplcque j'ai obtenu. On verra d'ailleurs que l'analyse dont jo fais usage s'applique sans difficulté au cas général, non encore résolu, des surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont sphériques. /
3o8 NOTE SUR LA THEORIE
d’où l’on tire, en ayant egard à l’équation (i).
u{x — a -h rcos a)
( JT — fl) cosa-t-[j — 6) cos 6 + (j — c)cosy -f- r’
H (r — 6 -f- r cos g)
' {x — II) cos «-)-(/ — fc)cos6 + (z — c)C0S7+r’
u{z — c-+-r cos 7)
{x — fl)cosa-f-(j — i) cos 6 + (2 — c)cos7-+-c"
Au moyen des équations (3) et (4) les équations (i ) et (2) se réduisent aux suivantes ;
X, cos a -HJ, cos 6 -H 2, cos 7 = M,
dx, dy, dZi
cos a cos 6 cos 7 ’
on voit que si l'on considère x„ y„ z„ comme dos coordonnées rectangulaires, les équations {7) appartiendront aux trajectoires orthogonales du plan mobile représenté .par l’équation (G). X ...
14. Nous conserverons toutes les notations dont nous avons fait usage au n“ 12. Ainsi nous désignerons par Ç, u, Ç; )., p, » . les angles formés avec les axes par le rayon de courbure et par l’axe du plan osculateur de la trajectoire du plan (G); par dt l’angle de deux tangentes infiniment voisines et par</>i l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins. Désignant en outre par et B deux constantes arbitraires, et posant
. ■ ' U = .\ sin Tl -H B cüs» — 7(>i),
les trajectoires orthogonales du plan (G) seront représentées j)arré(iuation(G) jointe aux deux
(G) - X, cosX -H ji cosft -H 2, cosv = l!,
<)) ' .r, cos|-Hr,cosu-(-s, cosÇ = -7“-
Il r,
Digifor»; by
DF.S I,l(i\ES ET DES SURFACES COURRES.
Si, dans les équalions (8) el (9) on remplace x„ y„ z, par leurs valeurs tirées de (5), on aura doux nouvelles équations qui, jointes à l’équation (1), feront connaître les trajectoires orthogonales de la sphère (i). Enfin, si l’on exprime A et B en " . fonction d’un paramètre 0 et d’une fonction arbitraire de ce • ■ paramètre, les mêmes trois équations représenteront les sur- '' faces dont les lignes de l’une des courbures sont situées sur . • des sphères normales à la surface. Les équations que nous formons ainsi contiennent seize quantités fonctions du paramètre savoir : a,b,c,r, «ouf («) et les onze angles a, 6, 7; ç,u, Ç;
1, fl, y; < et D. Toutes ces seize quantités peuvent s’exprimer immédiatement, dans le cas général, en fonction du paramètre /et de trois fonctions arbitraires de ce paramètre; cela peut se faire d’une infinité de manières; le choix du paramètre et des fonctions arbitraires doit être subordonné aux convenances du cas particulier que l’on veut étudier.
^ Considérons, par exemple, le cas où les sphères qui contiennent les lignes de courbure ont leurs centres en ligne droite.
On pourra faire ici ' :
a = o, b —O, cosa = o, cos6 = o, C0S7'=i; alors les équations (7) se réduisent à . • , '
(Ix, — O, dy, = O,
et nous pouvons poser
F désignant une fonction arbitraire. Faisant ensuite
on a
el si l’on pose
Z — { •— \lx'
3lO . ' KOTE SUn I.A THÉuniE
l’équation (lo) se réduit à V=o en vertu de (5). La 'surface que nous considérons ici sera donc représentée par l’équation V= O jointe à l’équation (i); il est aisé d’assurer qu’elle peut l’être aussi par les deux équations
résultat que j’ai donné déjà dans mon Mémoire sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques.
Remarquons encore le cas où les sphères qui contiennent les lignes de courbure ont seulement leurs centres dans un même plan. Ce cas se ramène immédiatement, d’après ce qui précède, au cas des surfaces dont les lignes de l’une des courbures sont dans des plans parallèles à une droite fixe et normaux à la surface.
15. Sur les surfaees dont les lignes de l’une des courbures sont sphériques. Soient x, y, z des coordonnées rectangulaires et a, b, c, r, l des fonctions d’un paramètre t, dont la dernière / contient le facteur v^— i. Si l’on pose
dz = pdx -(- qdy,
l’équation différentielle des surfaces dont il s’agit sera le résultat de l’élimination du paramètre i entre les deux équations
(1) (a: — — by -t-(2— c)’=r’ — /’,
(2) -r-[x—a)p- [y—b)q-\-[z — c) == l\j— i — p^ — qK
Soient x„ y„ z„ v, quatre fonctions inconnues de t, assujetties à vérifier les équations
(3) (a:. — a)’-t- (jt — *)’-!- (z,— c)’-f- (e,— /)' = r’,
... - dx, dy, dz, de,
et posons
DES LIGXES ET DES SCEFACES COl'BBES, 3 1 1
Il esl aisé de s’assurer que l’êqualion V=o satisfait à l’équation (2) ; elle sera donc une intégrale complète de celle-ci, si les valeurs de x,,yt, z„ tirées des équations (3) et (4) renferment dans leurs expressions deux constantes arbitraires. Si, en outre, on exprime les deux constantes dont il s’agit en fonction d’un paramètre 9 et d’une fonction arbitraire de ce paramètre, l’intégrale générale de l’équation (2) sera le résultat de l’élimination do 0 entre les deux équations
Enfin l’équation intégrale des surfaces dont nous nous occupons sera le résultat de l’élimination de t et fl entre les équations (i) et (fi).
Soient n, , è,, c, , /, et n cinq fonctions de f, choisies de manière que l’on ait
(7) rtj -+-è’ -t-cJ-H/? = I,
(8) da= rud — f db = rud — t dc = rud—t dl~rud—y
et prenons, au lieu de x,, y,, z„ v,, quatre nouvelles variables ^1) X<> ‘'1 > telles que
-i-rî /
, / -zaz, \
'"Uî-hjl-f-aî -4-vî ‘^7’
' V-^; -t-rî -+-2; v; J
Au moyen des équations (7), (8), (9), les équations (3) et, (4) se réduisent à
rt, JT, + 6, y, -t- CiZi -l- /,(’, = M,
dx, dy, dz, dv,
a, b, c’i II
3ia
NOTE SCR LA THEORIE
el la question est ramenée à trouver des valeurs de x, , j-, , Z,, V,, qui satisfassent à ces équations et qui renferment daps leurs expressions deux constantes arbitraires.
Remarquons d’abord le cas où les sphères qui contiennent les lignes de courbure ont leurs centres dans le même plan. En prenant ce plan pour celui des xy, on a c = o, puis on peut faire c, = o et z, = o, ou = une constante. On voit alors que le problème est immédiatement ramené à la détermination des trajectoires orthogonales d’un plan mobile.
