Considérons maintenant le cas général. Nous poserons

= COSa,

= COSê,

= COS7

- ff

en outre, pour n’avoir dans nos formules que des quantités réelles, nous remplacerons v, par e, \/ — i. Les équations (10) et ( 1 1) deviennent alors.

(is) a:,cosa + riCOse 4-Z1COS7 = l'v, + u',

dx, dy, __ dzi dv, COSa ~ COS 6 ~ COS7 /'

On peut regarder o. S, 7 comme les angles que fait avec les axes la tangente d’une courbe arbitraire; nous désignerons parÇ, w, ï; )., p, v les angles formés avec les mêmes axes par le^ rayon de courbure et par l’axe du plan osculateur de celte courbe arbitraire ; par dt l’angle de deux tangentes infiniment voisines, et par dn l’angle de deux plans osculaleurs infiniment voisins.

■ Cela posé, pour intégrer les équations (1 3), nous poserons

(i4) j;,cos> 4- j^cosf* -H ZiCOSï = U.

Différenliant trois fois celte équation et ayant égard aux équa-

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; nES MGNES ET DES SCRFACES COURBES. 3l3

tioos { I a ) ei { 1 3 ), ainsi qu’aux formules des n”‘ 12 el suivants, ' il vient

^ -r, cosÇ + jicosu -H z,cosï = -r-j

dr,''

, r. Il' i dri/d^U " ' '

dr> étant prise pour la différentielle constante. Posons, pour . abréger,

(' \dndV<lr,/d'V I dV (dr,\'/d'V dü

si l’on tire de l’équation (i 6) la valeur de pour la porter dans l’équation (.17 ), on obtiendra •

r- Désignant par ç(n)une fonction arbitraire, nous poserons

(19) ^ . . ‘ u' = — V J ^{<f)dri,

et, en faisant ‘ , ” ' ■ '

„ - U = Ul-f-ç(«), ' . . ;

réquation (18 ) se réduit à '' ^

(20) ' ' ff(üi) = 0. ‘ J ' ’ ■

Cette équation devient intégrable, si on la multiplie par le fac-

\ ///3TJ V \ ** " « ,

xeüV 2 ( -^-r obtient* en intégrant,

■ Nous pouvons supposer la constante nulle, car il suffit pour notre objet que l’expression de U, renferme deux constantes ^ arbitraires; alors si l’on désigné par A une constante arbitraire,

' par ». une valeur initiale quelconque de », par e la base des .

, 3l4 ’ îîOTE SKB la THEORIE .

logarithmes népériens, et que l’on pose

U, = Ae

l’cqualion ( 21) devient

rfll, Uî-I-I rfr,

Désignons par,-{i(>t) une foncti<în arbitraire, pai;’^'{ «lia dé- ^ -

rivée de cette fonction, et déterminons /' par l’équation ■ , * ^ ,

' : Vt--‘ ■ :■ \

posons aussi

Uj = Yi — î" '{'(lî)» ■- ■■

réqualion (s(x)devieni

U,-- = ov-vrt-

Cette équation (24) est 'linéaire, et l’on en tire immédiate- '

, ment . . %),v . ’ ,'f . , ■ •

B étant une constante arbh^arre,» ' ' * ./ •

’ ' On obtiendra donc ainsi sans difficulté une valeur do U ren- • fermant deux constantes arbitraires A et B; la valeur de ü étant connue, l’équation (16) donnera e, et Ton aura ensuite Xi, J,, Z, au moyen des équations (12), (14 ) et (i5). , '

Si l’on pose , * - ^ ^

■ , COSX COSp Cf)Sv y

‘ - . ' ■ , ^ . . i.', . ' , 'Digjfizfid by. GnbgU

ir '1 -