DES LIGNES ET DK* SURFACES COURBES

^ - * # * ^ .vm

ôn pourra exprimer iinmédialemenl les angles À, fi, *>; Ç, «, . -

a, 6, 7; >1 et t en fonction du paramètre t et de la fonction ar- ‘ j

bitraire/(<); si l'on met ensuite 4>(/) et 'F(f)au lieu de 7<>i) et •

'H»), et que l’on désigne enfin la quantité r par F(/), toutes les v .■? quantités qui figurent dans nos équations pourront s’exprimer ' ' •’ii facilement au moyen du paramètre / et des quatre fonctionsarbitraires/(/), F(<), <i)(/)'F{/j. Le problème que nous nous étions

I. - distingue essentiellement du caà général; je veux parler du , ^

L'. ■ r=o. En^hangeant l en /y — i j les équations fi^etfa).

.. deviennent

■ - -Li ;

— p(x^éi~q\y— 6j.-f- (a- — e) = ^

eh élinlinant /, il vient ' ,

* ‘ ■ ' . / - if’î ^

- IC' — — «)]’-(- iî(x— a) — >.v*î

et pour obtenir une sqrface réelle, il faut que l’on ait -

X — a p^z r) zt^o, (y -^h)-^q[z

Si doncMdésignel’expressionfa:'— è)’-lr(i —

o)=o. ■,vÆ:|

dM

on aura — o, et notre surface, qui est alors représentée

fie.

'S i';EV JK*Î

par les équations • • ^ 4

ill O',. ~~yT ■'\n

' sera l’enveloppe d’une sphère mobile et variable de grandeur.

• Les lignes de courbure sphériques sont ici des circonférences. . f Si le cas de r = o échappe à notre analyse, les surfaces à 'X? .lignes de courbure .circulaires n’en sont pas moins données ‘

par notre méthode générale. Ces surfaces correspondent effectivement à l’intégrale complète de l’cquaiion (2) qui nous a

servi de point de départ; je dois môme ajouter que c’est par la -

considération à priori des surlaces à lignes de courbure circu- 'laires que j’ai: été conduit à nniégrale-complète dont il s’agit. . * ^ ''.jj

‘ 3lC ^OTE SI;R I.A THÉORIE ' '

■ . ' Yi Sur les surfaces dont les lignes de l’une des courbures

f- sont planes. Au moyen de la transformation dite par rayons vecteurs réciproques, on passe immédiatement des surfaces /

„ dont les lignes de l’une des courbur.es sont sphériques aux

surfaces dont les lignes de l’une des courbures sont planes (*).' ' ' i

' La recherche de ces dernières surfaces, déjà faite par M. Ossian

• Bonnet, est donc comprise implicitement dans ce qui précède; »

' mais il n’est pas sans'intérêt de remarquer que cette recherche'; i

, ■ se ramène immédiatement à'I’intégration des équations {i3) . '

du n° 16. Effectivement, .r, r, 2 désignant des coordonnées ,

* 'rectangulaires, «, 6, 7, u, / des fonctions d’un paramètre r', si . .1 l’on pose dz=pdx qdy, l’équatiôn différentielle des surfaces dont il s’agit sera le résultat de l’élimination du para: . . .

mètre / entre les équations , ' è

(1) ■ ' • JCCOSa -h^'COSê 4- 2C0S7 • ■. ■ •

(2) ---/ICOSa — ÇCOSe -t-'COSy = /vT+'pM^. ' ' '

Soient Xi, yt, z,, v, quatre fonctions inconnues, de t, assu- >

jelties à vérifier les équations . - - ' . ■ \

(3) a;, C0Sa-l-7iC0sS-t-z,C0S7=:/«',-h«, ,' ■

dx, dy, dz, dv, - , • .

cos a cos ê COS 7

cl posons, • - ■ , . ■■ •' ■ *■ ■ ,■

l’équation V = O satisfera à l’équation (2), et elle en sera une . intégrale complète si les.valeurs de Xi,y, ,z,,v, tirées des équations (3) et (4) renferment dans leurs expressions deux con- • ' stantes arbitraires. Le problème est donc ramené à l’intégration des équations (4)i intégration qui se trouve effectuée dans. le numéro précédent. ‘ ■

(*) Il suflU effectivement de supposer que les sphères qui conliennent les li(;nc8 do courbure p.issent lonics par iin mémo point; et de prendre ce poîtil pour conlre de Iransforination. . . ,

DES UO.N'ES ET DES SElU- AfES EOERBES.. - Jî 1 7