IV

Sur l iiitégrutioH d’une certaine classe d'équnlioiis différentielles simultanées ; par M.^Ossian Bonnet ( * ).

r 18. M. J. -A. Serrel a intégré le premier, dans le cas général, .l*équation aux différentielles partielles du premier oédre qui représente les surfaces à Mignes d’une des courbures sphériques.* Là méthode' dont ii s’est servi repose sur la détermination de quatre fonctions x, y, z, v d’une variable w renlerinant [deux constantes arbitraires et vérifiant ; i®les trois équations différentielles*^ ,, ^

. : ' ' ■ ’^dx dy dz dv . . ■ 'd,

V 2“ l’équation en termes finis ■ • ■ ’ '

où a, h, c, n, r expriment cinq''fonclions entièrement arbi- .traires de &>.

. M. Serreta d’ailleurs résolu d’une manière très-élégante ce dernier problème en s’aidant des formules relatives à la théorie des courbes gauches qui déjà avaient permis de 'traiter plusieurs questions importantes. , ■ ,

Je me propose dans cette Note de généraliser les résultats de M. Serret et de faire ■'voir que l’on peut déterminer les valeurs les plus générales des p fonctions x, y,...,'t, u, v d’une variable « qui vérifient ; ,i“ les p — i équations différentielles ' ■ ' '

' dx dy dt du dv

'X — 0 ”^ y — b' t — l U — m v — ii ''

2® l’équation en termes finis , .

où rt, b,... fl, m, n, r expriment p -t- i fonctions entièrement arbitraires de' w.

(*) Nous croyons utile de faire coniiailrc ici restonsiou remarquable que M. Ossian Bonnet a donnée h la motliodc diveloppéo dans le paragraphe précédent (L’article que nous reproduisons lejuicllement est- extrait dca CorrpUs rendus des scances de VÂeadémie tU'S SerniceSf t. ÿ- lyt .)

KOTE SUR UA THEORIE

Substituons d’abord, comme le l'ail M. Serret , aux p. '

• fonctions arbitraires a, b,..., l, m, n, d'autres fonctions '

' . ^ ^ , l,, m,, r, liées aux premières et à r par les relations ' ; • .■

I rt. , rr. i,. ' ■

y/i-t-u'-r inf 'i ^ ( J -f ...-t-H'î '‘i . ' *

■ '' ■ tim — ^ vîîii ' rf 1. *i '

-+ ...-t-mj 'V . ' ^1 « J -t- A ; . -h ml ''i , ' r •'

' Remplaçons en outre les inconnues x, y, t, u,v par Ies‘' : inconnues 7„. n, telles que J

• J - • r / 2r, iT, \ • ■

• xz=aM — : — , ^ -—n,],. •' • ,,

les équations (i) et (2) deviendront . * - ‘

'• ' (3) ■ t ~ ÉL' — dv '■

' «i/^ 6, ni, ' ■

(h) • Oi 2^1 *1- 61 -t- r. . -f- /n, «1 -4“ c,= /'i, , . . ’•

d’où l’on tire par l’élimination de ci ;

t{ I +«i + èf + -y rn])dx,:^a,(dr, —-x,da, -^.y,db, — — u,dm,),.

(i +ni M-èJ 4- m])dr, —b,(dr, — x,da,*~y,db, — ... u,dm,),

( I "4“ fl i — }— ^^.“4“ ... “4” ni^,'^diii — nti^dv, x ,dd, y \db, ... ' ii,dni,y

Les équations précédentes étant linéaires, elles pourront ' être intégrées complètement, lorsqu’on saura déterminer les •

*■ intégrales générales des équations

I' {i -\-a\-yb\-y )dx, = — a,(x,da, -\-yidb,-y ...-4- Uidm,),

( 1 n- a? -4-ù; + ...-4- m])dy„ = — b,{x,da, -^'y,db, 4- ... + u,dm,), ■ ,

( I 4-ai -4-è?-f-... 4-»î’)r/a, =t — m,{x,da, -hy,db,-ÿ^ ... ^