CHAPITRE II

Des Voûtes.

Le nom voûte désigne , en général , une construction destinée à couvrir un espace ; elle est composée de plusieurs pièces disposées et réunies de manière à se soutenir mutuellement.

La plus simple de toutes les voûtes est celle des Égyptiens ( pl. V, fig. 9), qui est formée, dans le sens de sa largeur, par deux seules pierres qui s'appuient l'une contre l'autre, et qui formentun angle plus ou moins ouvert. On conçoit combien cette construction deviendrait coûteuse et embarrassante , pour peu que l'espace à couvrir eût de largeur. Néanmoins les anciens Romains en ont fait une application utile à la couverture de plusieurs égouts qui existent encore en très-bon état à Rome. De grandes briques , appuyées angulaircmcnt l’une contre l'autre , en forment la voûte , qui a 2 pieds à 2 pieds et demi d’ouverture: quelques-uns de ces égouts ont été récemment découverts dans l'enceinte et autour du Colisée. On pourrait encore, en des cas analogues , faire usage, avec utilité et économie, de ce mode de construction très-simple.

Si ( pl. V, fig. 11, 12) l'on donne une saillie progressive aux pierres qui composent les dernières assises des murs environnant un espace de petite étendue , l'ouverture du milieu sera diminuée, et pourra être couverte d’une pierre d’autant moins grande que la saillie sera plus forte. Quelques tombeaux antiques présentent cette disposition, qui leur donne extérieurement une forme pyramidale appropriée à cette sorte de monuments. Le mode de construction que nous venons d’indiquer est le principe d'où dérive la forme originaire des soffites (pl. VII, fig. 10, 11) qui couvrent les péristyles à colonnes isolées.

Trois pierres égales , disposées ainsi que la figure 10, pl. V, l’indique, forment une autre espèce de voûte fort simple, et chacune d'elles présente, dans le sens de sa coupe verticale , la forme d'un quadrilatère dont le côté inférieur a est moins long que le supérieur b; cette différence augmente au fur et à mesure que la voûte devient plus élevée.

Les pierres BAB qui forment la voûte se nomment voussoirs. Le voussoir A du milieu prend le nom de clef de la voûte, et les supports CC celui de pieds-droit

La clef A , soumise à l'action de sa pesanteur, presse continuellement les pierres latérales BB , et tend à les écarter avec une force proportionnelle à sa masse ; celles-ci réagissent à leur tour sur les supports CC, et s'efforcent à les renverser ou à les repousser en arrière; on appelle poussée cette pression latérale des voussoirs contre les piedsdroits.

Par la simple inspection des lignes ponctuées de la figure 10 , on distingue :

1” Que si les voussoirs BAB formaient entre eux deux angles droits dd, la poussée, c'est-à-dire la pression oblique sur les supports CC, serait nulle. Aussitôt que les voussoirs latéraux s’inclinent et forment des angles obtus avec la clef A, la poussée com-

menee. et elle augmente progressivement au fur et à mesure que les angles deviennent de plus en plus obtus , et que la voûte , en s'abaissant , s'approche de la corde I.

3 » Plus la Toûle aura d'épaisseur et de poids, plus la poussée sera forte; mais, d'un autre côté, si les voussoirs ont une épaisseur trop petite pour empêcher la rupture par leur propre poids, alors la voûte s’écroulera : il est très-important de donner aux voûtes une épaisseur suffisante, en évitant d'ailleurs le superflu. La poussée dépend donc de deux éléments principaux , savoir : de la forme plus ou moins élevée, de la voûte, et de son poids.

La résistance ou stabilité des pieds-droits CC augmente en proportion de leur poids et de la largeur de leur base, et diminue au contraire au fur et à mesure que leur hauteur augmente; car cette hauteur sert de bras de levier à la poussée, pour l'aider à culbuter les supports autour des points RR, tandis que leur masse s'y oppose avec d'autant plus de vigueur que la ligne verticale qui part du centre de gravité g, coupe la hase en un point p plus éloigné de R.

Nous venons de dire que la hauteur du mur diminue sa résistance à la poussée; mais celte hauteur ne doit être prise que depuis la naissance w de la voûte, car la partie qui la surmonte, au lieu de diminuer la stabilité des supports, l’augmente. Il est essentiel de ne pas perdre de vue cette observation. Les architectes qui construisirent la plupart des édifices gothiques, en ont bien compris l'importance, puisque très-souvent ils ont élevé des espèces d'obélisques au-dessus des supports des voûtes. Ces obélisques sont communément regardés comme des objets de pure décoration, tandis qu'en effet ils coopèrent fructueusement à la solidité.

Les principes élémentaires que nous venons d'exposer sont applicables à une voûte composée de 5, de 7 , de 9, et d’un nombre quelconque de voussoirs. Au fur et à mesure que ce nombre augmente, le demi-polygone régulier, formé par la face inférieure des voussoirs, s’approche de plus en plus du demi-cercle, avec lequel enfin il parvient & se confondre.

On distingue la partie interne ou inférieure d'une voûte, de sa partie supérieure ou externe, en nommant celle-ci extrados , et la première intrados ou douelle.

Pour construire toute espèce de voûte, il faut nécessairement former une armature en charpente, dont la partie supérieure ait la courbure que la voûte doit avoir. Cette armature se nomme cintre. On dit qu'une voûte est à plein-cintre lorsque sa courbure est celle d'une demi-circonférence : mais si elle a une courbure qui donne à la voûte une élévation plus grande, alors elle prend le nom de voûte surhaussée; et si, au contraire, celte courbure produit une hauteur moindre que celle demi-circulaire, la voûte s'appelle surbaissée. Si la voûte présentait à sa partie interne ou intrados une surface plane sans courbure, elle sc nommerait voûte plate. Ainsi les voûtes, quant à la figure que présente une coupe verticale et perpendiculaire à l'intrados , sont de quatre genres ; savoir : 1*à plein cintre. 2* surhaussées, surbaissées, 4” plates.

Ouant à la forme du développement entier des voûtes , elles se distinguent en quatre autres genres, que nous allons définir: savoir : 1" les simples, 2* les composées, 3“ les incomplètes, 4" les irrégulières.

ÈJrtmirr ®enrf.

Voûte* «impies.

Ce sont , en général , celles dont la superficie de l'intrados dérive , par supposition, du mouvement régulier de la figure du cintre qui laisserait dans l'espace les traces de son

{tassage. Ainsi, par exemple, si un cintre demi-circulaire se meut en ligne droite en s’appuyant sur deux murs parallèles , il formera une voûte demi-cylindrique , que l'on nomme voûte à betveau ; ce nom se donne aussi à une voûte elliptique ou formée par toute autre courtie qui la rende plus ou moins surhaussée, ou plus ou moins surbaissée. Si le cintre, au lieu de se mouvoir sur des murs parallèles en ligne droite, se mouvait sur deux murs circulaires ou elliptiques, ou ayant une autre courbure , mais toujours équidistants entre eux, il en résultera une voûte annulaire. Si le cintre tournait autour de son axe vertical , sans éprouver aucune autre translation, il en résulterait une espèce de calotte à base circulaire, que l'on appelle communément cul-de-four.

Les voûtes simples {icuvent donc se classer en trois espèces : 1" voûte» à berceau , c'est-à-dire voûtes dont l’axe longitudinal est une droite , quelle que soit d’ailleurs la courbure du cintre, pourvu qu’elle soit symétrique. Les fig. 10 et 11, pl. VU, indiquent une voûte de cette espèce.

2" Voûte» annulaire» , celles dont Taxe longitudinal n’est pas droit, mais forme uu cercle, une ellipse ou une autre courbe rentrante et continue. Cette espèce de voûte est indiquée en AA, fig. 1,2, pl. VIII.

5" Voûte » à cul-de-four, c'est-à-dire à calotte et à base circulaire : celte voûte peut être à plein cintre, surhaussée ou surbaissée. Lorsqu'elle est à plein cintre , ou la nomme voûte sphérique.

4° Parmi les voûtes simples se place sussi une calotte ou cul-de-four , qui couvrirait une enceinte courbe et allongée. La courbure de cette voûte est une demi-elliptoide, engendrée par la rotation du cintre autour de son grand axe horizontal. On l’appelle voûte ellipsoïde ou ovale.

Sturitmc ©tnrr.

Vo&tei composée*.

Les voûtes composées sont, en général, celles formées par la compénétration réciproque de plusieurs portions de voûtes simples de différentes dimensions ou de différentes formes.

Le cas le plus simple qui se présente d’abord est celui d'un espace carré que l'on voudrait couvrir par une voûte formée par la compénétration de deux berceaux d’égale forme et dont la longueur serait égale à celle des murs de l’cnccintc.

Les berceaux peuvent se couper et se compénétrer de deux manières différentes : 1" en faisant correspondre chacune de leurs ouvertures sur un des murs; 2'* en superposant , au contraire, leurs côtés latéraux aux murs susdits.

Voûtes d'arête. (Pl. VIII, fig. 18 et 19.)

Dans le premier cas , la voûte composée qui en résultera , formera quatre arêtes saillantes placées suivant la direction des deux diagonales du carré, et se nommera conséquemment voûte d'arête ; telles sont la {duparl des voûtes gothiques.

Voûtes à arrs de cloître. (Pl. VIII, fig. 15, 16 et 17.)

Dans le second cas, les arêtes, au lieu délie saillantes, seront au contraire rentrantes, et la voûte prend le nom voûte à arc de cloître.

Voûtes à lunettes. (Pl. VIII, fig. 9.)

Les voûtes à berceau où les anuulaircs sont souveut coupées perpendiculairement à

leur axe longitudinal par nn certain nombre de rôtîtes à berceau de plus petites dimensions, lesquelles appuient toutes leur ouverture sur le mur qui sert de support à la grande voûtc.(Fig. 9, pl. VIH.) On donne le nom de lunettes à ces portions de petites voiHcs qui coupent la grande , et qui en sont réciproquement coupées. Il résulte de ces coupures mutuelles des arêtes dont la forme est une courbe à double courbure, que Frezier a nommée cycloimbre , et qui ne peut être tracée que sur une surface courbe semblable à celle du graud ou du petit berceau ; et cela si l'axe de la lunette est horizontal , et si la ligne du sommet de sa surface interne l’est aussi : mais si l’on incline celle ligne de manière qu’elle devienne tangente à la courbure interne de la grande voûte, les arêtes de la lunette seront formées par les côtés égaux d'un angle décrit sur la courbe de la voûte, dont le point supérieur sera plus ou moins éloigné du sommet de la grande voûte, suivant le rapport de grandeur qui passera entre celle-ci et la lunette. Les architectes de l'école française ont généralement préféré la première forme; les anciens et les grands maîtres de l’école d'Italie ont presque toujours employé la seconde , excepté dans le cas où les lunettes sont très-petites en proportion de la voûte.

La première forme produit un effet désagréable à la vue, si l’arête courbe n’est tracée avec une grande précision; elle donne à la voûte un aspect lourd, et occasionne une plus grande poussée, en augmentant le poids de la partie qui la cause.

Quelques architectes ont fait usage de deux autres méthodes qui sont encore plus défectueuses. L’une consiste à élever la ligne de naissance des lunettes autant qu’il le faut pour que la ligne de leur sommet , étant horizontale , se trouve au niveau de celui de la grande voûte , et à couper la partie inférieure de celle-ci d a-plomb sous la ligne de naissance des lunettes. Cette méthode, qui doit être proscrite en bonne architecture, a le défaut de diminuer la force de la grande voûte dans la partie coupée d’à-plomb, et de produire une arête de lunette qui forme un jarret désagréable au point où se réunit la partie d’à-plomb à la partie supérieure.

La troisième méthode , qui participe des défauts de celle-ci et de la première indiquée ci-dessus, consiste à élever d’une part la ligne de naissance des lunettes au-dessus de celle de la grande voûte, et à abaisser d’autre part leur sommet au-dessous du sien.

Voûte s à base polygone.

S’il s’agit de couvrir un plan polygone (pl. VIII, fig. 4 et 6) par une voûte, ou peut lui donner deux formes différentes. La première se nomme voûte polygone, à arêtes rentrantes , et correspond aux formes des arcs à cloître. Elle est disposée ainsi qu’il suit (pl. VIII, fig. 3, 4); à chacune des diagonales du polygone correspondent les arcs qui indiquent les arêtes rentrantes que doit avoir la voûte; deux arêtes consécutives, qui se croisent au point central, déterminent la courbure que doit avoir la surface angulaire, qui a pour base un des côtés du polygone, cl pour sommet celui de l’angle formé par l’intersection des deux arêtes. La réunion de toutes les surhees angulaires, dont le nombre doit égaler celui des côtés du polygone, forme une sorte de calotte à base polygonale, qui ne diffère d’un ctil-de-fbiir , proprement dit, que parce que celui-ci, ayant pour base une courbe circulaire ou elliptique, ne présente aucune arête, et que l’autre, au contraire, présente autant d’arêtes rentrantes que le polygone fondamental a d’angles.

La seconde espèce de voûtes polygones a les arêtes saillantes et est formée fpl. VIII, fig. 5, 6) par autant de lunettes que le polygone a de côtes. L’ouverture de chacune d’elles correspond à un des côtés; leurs arêtes sont indiquées par les arcs qui correspondent aux diagonales du polygone , et elles se croisent au sommet de la voûte.

Coupoles ou dômes.

On ne doit point confondre les voûtes à culs-de-four simples avec les coupoles (pl. VIII, fig. 7, 8); car on nomme ainsi une portion d'édifice circulaire, ou polygone voûté, ijue l'on superpose à des murs ou à des arcs disposés sur un plan carré à pans coupés : telles sont à Paris la coupole de Sainte-Geneviève et celle des Invalides. Ainsi le signe caractéristique des coupoles ou dômes est leur superposition à des supports dont le plan présente une forme d'une autre nature que la base de la coupole , tandis que les culs-de-four sont de simples voûtes , dont la base a la même forme qne le mur, à partir de ses fondements jusqu’à la naissance de la voûte.

La partie cylindrique C d'une coupole (fig. 7) se nomme tambour; les parties courbes BB, qui sc trouvent comprises entre le tambour et les arcs AA qui réunissent les supports de la coupole, se nomment pendentifs.

îroisitmr fernrt.

Voûte» irrégulière».

Les voûtes irrégulières sont celles dont l'axe longitudinal est incliné ou par rapport aux faces antérieure et postérieure , ou par rapport à une ligne horizontale.

Coûtes biaises.

Une voûte (pl. IX, fig. 10) de la première espèce que nous venons de désigner, se nomme biaise. Il est évident que l'on ne doit en faire usage que quand la nécessité le requiert.

Descentes.

On nomme ainsi une voûte à berceau (pl. IX, fig. II) dont l’arc longitudinal est incliné à l’horizon : telles sont les voûtes que l'on pratique au-dessus des escaliers.

Cuuitrirme feutre.

Voûte» imparfait*» et mutilée».

Voussures et arrière-voussures.

On appelle en général voussure une surface courbe qui sert à raccorder deux ou plusieurs autres surfaces droites ou courbes.

Si une porte ou une fenêtre (pl. VIII , fig. 10 , 11 ) a une ouverture plus grande par derrière que par devant, ce que l’on désigne par le mot de embrasement ou ebransement; cl si en outre la partie supérieure de la même porte ou de la même fenélre a une forme différente à l’intérieur qu'à l'extérieur, on appelle arrière-voussure la surface BB à double courbure, qui réunit et raccorde ces deux parties. On distingue diverses espèces d'arrière-voussures, telles que l'arrière-voussure dite de Marseille . de Montpellier , celle de Saint- Antoine et plusieurs autres. Mais comme ces formes imparfaites ne se voient point dans les monuments antiques, ni dans les oeuvres célèbres des grands maîtres italiens, et que leur utilité sc borne à exercer la sagacité des amateurs de Stéréotomie, nous renvoyons les personnes qui veulent les connaître, aux ouvrages de Frezier, du père Dcrand et de Delarue.

Encorbellement.

L’encorbellement est une portion de voûte qui forme une saillie plus ou moins grande

au-delà du nu du mur, qui n'cst soutenue que par l'appareil des pierres qui la composent. On peut voir à Paris des encorbellements de ee genre au quai de la Ferraille et au quai de l'Horloge.

Trompes.

Les trompes sont une invention des temps barbares, que les stércotomes ont accueillie, parce qu'elle leur offre quelques problèmes plus ou moins compliqués à résoudre; mais les architectes qui ont du discernement et du goût les rejettent.

On donne le nom de trompe à une espèce de voûte imparfaite en saillie (pi. IX, fig. 2,3), destinée à supporter une portion du mur qui s'avance au dehors. Si cette voûte est placée dans l'angle de deux murs (fig. 3), et si le mur qu’elle suporte est droit, sa forme sera conique. La pierre du sommet de cette portion de cône se nomme trompil/on.

La forme des trompes varie suivant l'emplacement qu'elles occupent , soit sur la face d'un mur, soit dans un angle rentrant ou saillant , plus ou moins ouvert, et enfin suivant la forme de la tourelle qu'elles supportent. Quelle que soit d’ailleurs la configuration d’une trompe , il faut la regarder comme une construction irrégulière , qui ne doit être permise qu’en cas de nécessité, pour éviter des défauts plus graves , et seulement quand on ne peut les éluder par des moyens plus simples. On trouvera dans Frezicr les détails de Stéréotomie qui les concernent.

Arcs rampants.

Les arcs rampants sont des portions de voûtes à berceau fpl. IX, fig. 6) dont on se sert utilement pour former des ouvertures et des évidements sous des parties de construction en pentes, telles que des toits, des rampes d'escaliers. Dans les édifices gothiques on voit un grand nombre d'arcs rampants, qui contre-buttent les points d'appui des voûtes d’arétes : dans ce dernier cas , on les nomme aussi arcs-boutants.

Les gradins des cirques antiques étaient soutenus par des voûtes à arc rampant. On ohservc au cirque de Caracalla , à Rome , une particularité digne de remarque , c’est que la maçonnerie que supporte le dps de la voûte, pour être disposée à recevoir les gradins, est formée par des cruches de terre cuite, couchées sur le côté et enclavées l'une dans l'autre. Par ce moyen ingénieux, on est parvenu à alléger singulièrement la masse de la maçonnerie, en lui conservant le volume qu'elle doit avoir.

Chacune des diverses espèces de voûtes que nous venons de parcourir a plusieurs variétés qu'il serait trop long d'énumérer.

Voyons maintenant les divers modes de construction des voûtes en général, par rapport aux matériaux; puis nous parlerons des dimensions et des formes qui conviennent aux principales espèces.

Modes de construction des voûtes en général.

Les voûtes peuvent être construites en pierres de taille, en moellons, en briques , en poterie creuse , et en béton.

Les pierres de taille devraient être réservées pour les voûtes qui ont de grandes charges à supporter, et pour celles qui doivent éprouver des ébranlementsou bien des frottements considérables ; mais celles qui n’ont à soutenir que leur poids , qui sont à couvert et hors d'atteinte , doivent être construites avec des matériaux plus légers, moins volumineux , moins coûteux, plus faciles à préparer et à metllre en œuvre.

yoûtes en pierres détaillé.

Tous les constructeurs admettent, pour principe Général de l'appareil des voûtes, que les joints des pierres soient perpendiculaires au cintre. Ainsi, si la voûte est circulaire, ils devront tous être dirigés vers le centre du cercle.

Les façades antérieure et postérieure des voûtes, lorsqu'elles sont visibles, comme aux ponts, se nomment têtes, et quand elles sont perpendiculaires à l'axe longitudinal de la voûte, on leur donne en outre le nom d'arcs-droits.

Dans les voûtes en pierres de taille, le nombre des voussoirs reste ordinairement déterminé par l'épaisseur des bans de carrière et par la qualité des pierres que l’on doit employer.

Les voussoirs des têtes doivent être appareillés de manière qu’ils puissent se raccorder convenablement avec les assises horizontales. Celte condition s'obtient au moyen de crosscltes. On appelle ainsi les saillies horizontales AA (pl. IX, fig. 9), que font latéralement les voussoirs à la rencontre des assises , de sorte que ces mêmes saillies font partie de l’assise à laquelle chacune d'elles correspond.

Les crossettes peuvent être employées, sans inconvénient, depuis la naissance de la voûte jusqu’à une certaine hauteur; mais on doit éviter d'en faire usage dans les parties supérieures des voûtes de grandes dimensions , à cause des fractures qu’elles pourraient occasionner par l'effet du tassement, après le décintrement.

L'économie exige souvcntquc les pierres de taille soient employées seulement aux ares des têtes et à quelques autres arcs intermédiaires qui font l'office de chaînes, et que le surplus soit formé de matériaux moins volumineux et moins dispendieux : un grand nombre de ponts sont ainsi construits.

Les nervures qui forment la carcasse des voûtes gothiques, sont en pierre de taille; mais les intervalles qu’elles laissent entre elles sout remplis d'une maçonnerie extrêmement légère, qui ne sert que de remplissage.

Les anciens appareillaient les voûtes en pierres de taille avec un soin extrême. Les joints étant parfaitement dressés, ils pouvaient poser les voussoirs sans mortier ni cales ; les surfaces en contact coïncidaient exactement, et les lignes de ces joints étaient à peine visibles. Cela ne leur suffisait point ; ils voulaient, en outre, que les voussoirs fussent tellement reliés les uns avec les autres, qu'ils ne formassent, pour ainsi dire, qu’une seule masse. Quelquefois ils scellaient dans les joints des goujons en fer, ou des os, comme on le voit indiqué pl. IX , fig. 25; ou bien (fig. 26) ils creusaient des cavités hémisphériques pour insérer entre ces joints des cailloux arrondis. Souvent (fig. 27) ils formaient sur une des faces latérales de chaque voussoir, un tenon t saillant, et sur l'autre, une mortaise ou cavité de même forme, de sorte que le tenon de ce voussoir entrait dans la cavité de celui contre lequel il s'appuyait.

Les voussoirs des arcades du Colisée, à Rome, ont les tenons et les mortaises dont nous venons de parler. Lorsque la voûte avait une certaine longueur, tous les voussoirs d’un même rang étaient réunis par des crampons.

Ainsi, par ces moyens, la poussée des voûtes était prcsqu'entlèrement supprimée. On remarque dans les constructions arabes que, pour obtenir le même but, les joints des voussoirs sont dentelés.

Si l'on compare les voûtes antiques construites comme noua l’avons indiqué, avec celles que l'on érige maintenant, surtout à Paris, on est frappé de l'imperfection de ces dernières , et l'on ne peut s'empêcher de les désapprouver hautement.

Voici le mode de construction dont ou fait ordinairement usage à Paris.

Premièrement , les faces latérales de» vouloirs, luiu d'étre dressées arec la perfection antique, ne sont le plus souvent qu'ébauchées.

Secondement, les voussoirs sont ajustés cl mis en place à l'aide de cales que Ton introduit dans les joints, et qui sont plus ou moins grosses, selon le défaut des pierres. On remplit ensuite les joints avec du mortier ou du plâtre clair ; à cet effet, on garnit ces joints, toutau tour, de filasse, dans laquelle on pratique ensuite quelques trous, pour faire écouler l'eau surabondante , au fur et à mesure que l'on fait entrer de nouveau mortier par le haut.

On voit évidemment que le mortier opposant moins de résistance à la pression que les cales de bois, tout l'effort de la poussée se reporte sur celles-ci ; et les voussoirs, au lieu de se toucher sur toute l'étendue des joints, comme dans la méthode antique, se trouvent séparés par quelques petits morceaux de bois : ainsi, 1a pression étant concentrée , exerce un violent effort, capable quelquefois d'occasionner la rupture des voussoirs, surtout s’ils avaient quelques défectuosités internes.

l'oùtet en moellons et en brigues.

Les voûtes en moellons et en briques sont plus économiques, plus faciles à construire, el plus légères que celles en pierres de taille.

Les voûtes de celle espèce qui ont été construites avec du mortier de parfaite qualité cl en quantité suffisante , jouissent de la propriété précieuse de former une seule masse cohérente lorsque le mortier a pris consistance, el alors de n’exercer aucune poussée sur les supports , mais seulement des pressions verticales.

Mais pour obtenir cet effet, il faut que la voûte soit consciencieusement et soigneusement construite ; c’est-à-dire , il faut : 1" Que les moellons soient bien ébousinés et bien dressés au marteau. 2“ Avant de les mettre en œuvre, ainsi que les briques , on doit indispensablement les tremper dans un baquet d'eau : cette condition est essentielle pour que le mortier puisse adhérer fortement à leurs surfaces. 3 • Le mortier ne doit point être épargné; il faut que toutes les surfaces des moellons el des briques en soient enveloppées. 4° Lorsqu'on les met en place , on doit les frapper avec le marteau pour les bien faire joindre. 5° A l'extrados, on doit avoir soin de bien garnir les joints avec des éclats de pierre. Dans quelques pays , on se sert pour cela d'une espèce de pierre qui se débile comme l’ardoise. 6° Les moellons ou les briques doivent être placés en liaison ; on observe dans les voûtes antiques en briques , lesquelles étaient composées ordinairement de deux rangs superposés , que les deux rangs sont , de distance en distance , reliés par des briques dont la hauteur est double des autres. 7* Il faut faire eutrer la clef de la voûte avec une force modérée. Quelques constructeurs prescrivent, pour les voûtes en briques, de placer à sec celles qui avoisinent cette clef. En tout cas , il faut éviter de la frapper à coups de masse , comme le font quelques maçons, ou de la trop forcer avec des coins , de peur que cet effort violent n’ébranle la voûte et ne produise quelque écartement dans les murs encore frais.

Ces précautions coopéreront à donner à U voûte l'homogénéité requise pour éviter la poussée ; mais on les rendrait insuffisantes si Ton ôtait les cintres de la voûte avant que le mortier n’eût acquis la consistance qu’il doit avoir pour quelle n’éprouve pas lin tassement nuisible par l'effet du décintrcmeut.

Les expériences de M. Rondelet lui ont fait connaître qu'au bout de six mois le mortier peut unir les briques avec assci de force pour supprimer entièrement les efforts de la poussée. Mais au bout de deux mois , dans la bonne saison , le mortier d’une voûte en

moellons ou en briques a déjà acquis assez de consistance pour que l'on puisse opérer le décintre ment.

Les voûtes très-surbaissées pour les apporte menls, peuvent être faites avec promptitude et économie, en briques ou en poteries creuses. Celles en briques se forment de deux manières différentes : 1" par deux assises posées à plat et en liaison, en se servant de plâtre ou de mortier hydraulique qui ait la propriété de faire prise promptement et d'adhérer aux briques avec beaucoup de force; on nomme voûtes à ta manière do Roussillon, celles ainsi construites (pl.IX, fig. 12); 2" par une seule assise de briques posées de champ , comme on le voit fig. 4 .

Lorsqu'on construit ces sortes de voûtes, au lieu d'élablir un cintre général qui recouvre entièrement la pièce que l'on veut voûter, on se sert, par économie, d'une partie de cintre en planches, long environ de 3 pieds: il repose sur des sablières de niveau, appuyées aux murs et soutenues par des poteaux à la hauteur des naissances, et par d’autres au milieu, solidement arrêtés , pour faire glisser dessus la partie du cintre, après avoir achevé la portion de voûte correspondante. Il faut observer que ces cintres mobiles ne peuvent être mis en usage que pour les voûtes à berceau.

La solidité de ces sortes de voûtes très-légères dépend de la grande force d'adhérence qui unit tellement le plâtre ou le mortier aux briques, qu'elles ne forment qu'un seul corps, qui n'exerce aucune poussée.

Le mortier. 1 ait avec de la bonne chaux hydraulique naturelle ou artificielle, suivant les méthodes de M. Vient, doit être préféré au plâtre; car, premièrement, le plâtre se décomposant et perdant toute sa force à l'humidité , les voûtes maçonnées en plâtre ne peuvent être employées convenablement que pour les endroits secs et à l'abri des intempéries de l'air. Deuxièmement, on sait que le plâtre a la propriété de se gonfler en séchant , et d’ailleurs les voûtes très-surbaissées en briques et plâtre ne réussissent qu’autant que le plâtre est bon ; mais plus il a de qualité et plus l'action produite par son gonflement est grande et son effet dangereux , ce qui oblige d’y employer beaucoup de fer, pour empêcher l'écartement des murs qui servent de supports à la voûte.

On emploie quelquefois des voûtes en briques analogues aux précédentes, pour former le comble d'une maison sans charpente , comme la fig. 4 l’indique.

Voûtes en poterie creuse.

La construction des voûtes très-surbaissées en briques offre quelques difficultés. On substitue souvent aux briques des poteries creuses qui donnent plus d'épaisseur aux voûtes sans augmenter leur poids. Celte méthode a été anciennement employée en Italie et l’est encore en Asie.

Dans l'église de Saint-Vital, à Ravenne, édifice du sixième siècle, on remarque une coupole octogone dont le diamètre a 52 pieds: elle est formée de petits tuyaux qui s'emmanchent les uns dans les autres (pi. IX , fig. 19, 21) , et qui sont disposés en spirale an lieu de l’être par rangs concentriques. Cette voûte qui est en plein cintre, a les reins garnis jusqu'à environ 36 degrés ou les J de sa hauteur d’une maçonnerie faite avec des vases en terre cuite (fig. 20). La partie de la voûte au-dessus est formée par le bas de trois épaisseurs de tuyaux, et de deux par le haut.

On trouve dans le Voyage en Syrie de M. Volncy, la description des voûtes et des toits, que les habitants de ce pays construisent en briques creuses.

« Le ciment dont ilsse servent doit être celui des Grecs et des Romains. Pour le bien composer , ils observent de n'employer la chaux que bouillante ; ils y mêlent un tiers de

sable et un autre tiers de rendre et de briques pilées : arec ce composé ils font des pnits, des citernes et des voûtes impénétrables. J’en ai vu, en Palestine, une espèce singulière qui mérite d'étre citée. Cette voûte est formée de cylindres de briques de 8 à 10 pouces de longueur. Ces cylindres sontereux et peuvent avoir 2 pouces de diamètre à l’intérieur; leur forme est légèrement conique. Pour former la voûte, on les range à cûté les un* des autres, mettant le bout fermé en dehors; on les joint avec du plâtre de Jérusalem ou de Kablon , et quatre ouvriers achèvent la voûte d’une chambre en un jour. Les premières pluies ont coutume de la'pénétrcr; mais on passe sur le drtme une couche à l’huile; et la voûte devient imperméable. On ferme les bouches de l'intérieur avec une couche de plâtre, et l’on a un toit durable et très-léger. Dans toute la Syrie , l’on fait avec ces cylindres les bordures des terrasses, afin d’empêcher les femmes, qui s’y tiennent pour laver et sécher le linge , d'être vues. »

On a donné aux voussoirs creux en poterie diverses dimensions et diverses formes, suivant la nature des voûtes pour la formation desquelles ils devaient servir; les uns sont à bases carrées, et ont à leurs faces latérales des sillons , des renfoncements et des trous , pour que le mortier ou le plâtre s’y attache mieux ; d'autres sont carrés par le haut et ronds par le bas.

En se servant de ces voussoirs, et les soutenant à l'aide de tirants de fer en tous sens, on forme des voûtes entièrement plates. Dans ce cas, les armatures de fer qui soutiennent les voussoirs devant être cachées dans leur épaisseur, les voussoirs ont une entaille, comme la fig. 30, pl. IX, l’indique. Les voûtes plates doivent toujours avoir pins d’épaisseur que celles qui sont cintrées. Comme les voussoirs creux ne peuvent se tailler, il est presque toujours nécessaire de former la clef avec des briques ordinaires , de même que les angles des voûtes d'aréte , ou un arc de cloître.

Poules en béton.

Les voûtes antiques dont on admire la conservation dans les monuments de Rome, sont construites, la plupart, en maçonnerie de béton, entremêlée de chaînes en briques; les voûtes du Colisée, des Thermes, celles des temples de la Paix, de Minerra-Mcdica , de Vénus et Rome , étaient ainsi construites. On remarque au Colisée et aux thermes de Caracalia des voûtes en béton, dont l’intrados est formé par des assises de grandes briques carrées posées à plat.

Les anciens employaient dans la construction de leurs voûtes les mêmes précautions dont ils firent usage dans celle des murs, pour prévenir les désunions dans la masse, que des tassements irréguliers auraient pu produire avant que le béton eût acquis une consistance suffisante. Ces précautions consistaient : 1* à former de distance en distance, le long de la voûte , des arcs en briques ou en pierres qui remplissent le même objet que les chaînes dans les murs ; 2" à massiver le béton au fur et à mesure qu’on le déposait sur le cintre ; 3“ à ne pas opérer le décintrement avant que le béton ne se fût endurci suffisamment.

Les voûtes en béton sont les meilleures que l'on puisse employer pour les grands édifices, tels que les églises , les salles de grandes dimensions. Elles présentent des avantages qui les rendent incontestablement préférables à celles en pierres de taille. Les anciens Romains, qui savaient si bien concilier la solidité avec l'économie, et obtenir, par des moyens simples, faciles et expéditifs, des constructions d’une grandeur et d’une magnificence admirables , ont constamment fait usage du béton pour former les voûtes des temples, des grands salons (qu'ils nommaient hexedrœ amplistitnœ), des cirques, des amphithéâtres.

La voûte sphérique du Panthéon, à Rome, qui a 133 pieds romains de diamètre, la voûte à arêtes de Yhe.rcdra amptiasima des thermes de Dioclétien, qui a 74 pieds de diamètre, sont en béton, et leur conservation est aussi parfaite que lorsqu'elles furent érigées. La voûte à berceau de la grande nef de Saint-Pierre de Rome est également en béton , et elle a 83 pieds romains de diamètre et 111 de hauteur. i

Les voûtes en béton (1) s'exécutent avec une fticililé extrême, quelle que soient ienr forme et leurs dimensions. U suffit de déposer le béton sur le cintre . couvert de planches , qui sert de moule à la voûte; de massiver ce béton , et de former, de distance en dislance . des chaînes en briques ou en pierres. On forme avec des morceaux de planches, en saillie sur le cintre, toutes les parties qui doivent être renfoncées dans la voûte, tciies que les caissons et les autres compartiments. De celle mauière, les anciens ont pu, sans augmenter la dépense de construction, orner leurs voûtes avec magnificence , comme on le voit au Panthéon il Rome, au temple de la Paix, à celai de Vénus et Rome , dans l'église antique de San-Bernardo , qui était un des ca/idarii des thermes de Dioclétien.

Si l'on compare cette méthode si peu coûteuse . si facile, si expéditive, avec celle des voûtes en pierres de taille usitée à Paris , i on est étonné que des architectes de mérite, qui ont étudié les monuments antiques, aient pu l’adopter, malgré ses imperfection» évidentes.

La taille exacte des voussoirs en pierre qui forment les voûtes modernes, exige de» soins et des précautions qui ne sont pas sans difficultés, et le travail en est aussi long que coûteux. Le mouvement de ces lourdes masses est pénible, et ne peut s'effectuer qu’à l aide d’échafaudages volumineux et de machines. La mise en œuvre demande des ouvriers exercés et intelligents , et présente de graves inconvénients, si l’on fait usage de cales. Les caissons cl autres compartiments devant être sculptés sur place, deviennent três-dispendieux , et n'ont presque jamais ces renfoncements bien prononcés qui donnent tant de majesté aux compartiments antiques. Les pierres acquièrent, avec le temps, des teintes différentes qui produisent un effet désagréable. Ces sortes de voûtes ne se prêtent point aux peintures à fresque, qui enrichissent d’une manière si brillante les édifices italiens.

Les voûles en pierres de taille présentent d'autres inconvénients, par rapport à la solidité. Leur poids , bien plus grand que celui des voûtes en béton ou en briques, rend la poussée plus forte, et exige des supports d'autant plus volumineux que le peu de mortier placé dans les joints ne produit pas une adhérence aussi complète comme dans les voûtes composées de petites masses conglomérées par le mortier qui les enveloppe de tonte part.

On peut objecter que des constructions qui réussiraient bien dans des pays chauds Cl secs , peuvent ne pas convenir à des climats humides et plus froids; niais cette objection s’évanouit à la vue des monuments antiques encore existants. Il résulte que les Romains ont employé avec succès ce même genre de construction dans les pays septentrionaux comme dans les pays méridionaux; on trouve des restes de monuments antiques aussi bien conservés dans des lieux exposés à de très-grandes variations de température causées par les pluies , les vents , les brouillards qui y régnent pendant la plus grande partie de l'année comme en Italie, où l’air est plus pur plus sec et plus égal. La bru-

(1) Le lecteur doit se rappeler ce que nous arons dit, liv. I , chap. S, que le béton n'esl autre chose qu'une espèce de pierre factice fermée par un amas de cailloutages et de pierrailles entremêlés d’une abondante quantité de mortier qui réunit en une seule masse tous ces petits fragments et en forme un foui donL la ténacité et la dureté égale celles des pin rcs naturelles , cl qui a la propriété d'être impénétrable à l'eau , et celle de passer promptement de l’étal mou à une consistance très-dure.

itietise Angleterre conserve encore la muraille des piolet, qui la sépare de PÉeossc, et que Sévère fit construire; on v admire encore un amphithéâtre , dès vcstlgos de bains, dès reste imposants de voies onliques , oh le bélon fut employé. La France conserve des restes de maçonneries antiques en béton, que leur parfaite conservation rend admirables j il suffit de citer la belle salle des thermes de Julien, il Parts. La voûte de cette Satte à été pendant plusieurs siècles exposée à découvert II l’action immédiate de l'humidité; néanmoins elle est parvenue intacte jusqu'à nous, pour témoigner que l'on peut, à Paris; aussi bien qu’à Rome, former économiquement de solides constructions avec de trèspetiis matériaux , sans prodiguer inutilement les pierres de taille. Il suffit que l’on sache employer du bon mortier , et qu'on mette en usage les méthodes utiles de M. Vieat , qué nous avons indiquées dans le chapitre 2 du premier livre.

! ■ • i ■ De ta pointée de» coûtes.

Il est évident que si une voûte était formée d’un seul bloc , comme b voûte monolithe du tombeau de Théodoric, à Kavcune, elle il' exercerait aucune poussée, et ne produis rail qu’une simple pression verticale sur les supports , qui , dans ce cas , n'auraient strictement bcsoiu que d'une dimeusiou suffisante pour ne pas éclater sous la charge de ce fardeau. Il est également évident que si un support se trouve soumis à l’action de doux ou dq plusieurs poussées égales et diamétralement opposées, ces poussées se détruiront réciproquement, et le support ne sera soumis qu'à l’action verticale du poids des porliouq de voûte qui lui correspondent : aussi voyons-nous , dans quelques églises gothiques, des piliers extrêmement grêles soutenir les portions des voûtes où les poussées se çoutrebalaneent; ces piliers, qui excitent l'étonnement du vulgaire, n'ont, d'après ce que nous venons de dire, rien de surprenant.

Une voûte sera d'autant mieux faite que sa masse aura plus de cohérence et de continuité. .Nous avons vu (page 99} qu’uuc voûte en moellons ou en briques , formée avec une abondante quantité de bon mortier, acquérait ordinairement, au bout de six mois, mie telle consistance, qu’elle uc formait plus qu'une seule pièce exempte de poussée. Cet effet est encore plus prompt et plus certain pour les voûtes en béton. Les voûtes en pierre de taille ne peuvent acquérir , à l'aide du mortier, une aussi grande adhérence et continuité dans toute leur masse ; mais les anciens v suppléaient pqr des crampons et, par des tenons, ainsi que nous l'avons indiqué précédemment.

Quoique l'action du mortier ait intimement réuni toutes les parties d'une voûte , clic sera néanmoins sujette à des ruptures si les supports fléchissent inégalement, soit 'par défaut de consistance du sol, soit par le tassement que la compression de la maçonnerie; fraîche produit ; et , dans ce cas, la poussée aura lieu et elle tendra à renverser les supports qui n'auraient point les dimensions suffisantes. Voilà pourquoi il importe essentiellement de consolider avec le plus grand soin le sol qui doit recevoir les supports d'une voûte, et de ne pas la construire avant que le tassement de ces supports ne soit effectué et que la maçonnerie ait acquis une consistance suffisante pour en empêcher la continuation. Bélidor et plusieurs autres auteurs rapportent que des voûtes se sont écroulées parce quu les pieds-droits n’avaieut point été assez solidement fondés , ou bien parce que leur maçonnerie n’avait point été assez soignée. La coupole de Saiute-Gcncvicve a failli s'écrouler par le défaut qu'avaient les assises de pierres des piliers, de ne pas se loucher dans toute l’étendue des lits, mais seulement vers les bords des joints. Ce défaut de juxta-position fit éetaler les pierres parallèlement à leur parement, et eût occasionné la ruine de ce beau monument, si M. Rondelet ne fut parvenu, par une opération aussi savante que hardie, à soutenir la coupole et à refaire les piliers.

Il était essentiel de connaître les points où une voûte peut éprouver des ruptures par suite du défaut de stabilité de ces pieds-droits. De la Mire (1) a reconnu que les voûtes en plein cintre se rompent vers le milieu de la demi-voûte , c'est-à-dire à 45 degrés audessus de la naissance de la voûte, et que, pour les voûtes surbaissées au tiers et formées de trois arcs de 60 degrés chacun , le point de rupture a lieu à la jonction des ares.

Des observations postérieures ont confirmé ces résultats. Perronet a cherché , par des expériences faites en grand sur les arches des ponts de logent et de Neuilly, la position du point de rupture. Il fit tracer des lignes de repère sur les têtes des voûtes , et il observa au pont de logent une inflexion qui indiqua que le point de rupture devait se rapporter vers le tiers de la demi-voûte ; et , au pont de Neuilly, les joints des voussoirs se sont ouverts entre le vingt-sixième et le trenle-uoiéme, c'est-à-dire un peu au-dessous de la demi- voûte.

M. Boistard a fait des expériences en grand i>our reconnaître comment s’opère la rupture des voûtes , et elles lui ont indiqué que , dans le cas où cette rupture s'effectue, la partie supérieure de la voûte , au lien de glisser d’une seule pièce sur les deux joints delà rupture, se divise en deux parties qui se séparent à la clef et aux reins; les deux autres parties de la voûte sont repoussées en dehors, et sollicitées à tourner à l'extrados sur leur arête inférieure. Dans ce phénomène de rupture, chaque portion de voûte tend à tourner sur celles des arêtes des voussoirs qui se resserrent parce mouvement, à l'extrados de la voûte pour le joint de rupture qui se manifeste à la clef et aux naissances, et à l’intrados pour celui qui a lieu aux reins de la voûte.

Puisque, comme l’expérience le démontre, les voûtes se fendent vers le milieu des reins, il est convenable, pour s’opposer à cet effet nuisible, de renforcer la voûte dans cet endroit, c’est-à-dire de garnir le dessus en maçonnerie jusque vers la muitié de sa hauteur.

Quelques constructeurs, au lieu de faire une maçonnerie continue sur le dos de la voûte, forment (pl. IX, fig. 5) des petits murs d'éperon espacés entre eux du tiers de la largueur de la voûte, et dont l'épaisseur est environ la dixième partie de l'intervalle qui les sépare. Les espaces entre les petits murs peuvent être remplis de gravois secs , recouverts d'une couche de plâtre ou de mortier.

Il est un autre moyen qui évite une trop grande charge pour remplir les reins, mais qui est plus dispendieux ; il consiste à former de fausses lunettes au-dessus de l'extrados.

Il est essentiel que la voûte ait une épaisseur suffisante, qui doit d'ailleurs varier suivant la destination de la voûte. Ainsi, celle qui doit supporter des fardeaux et éprouver des ébranlements fréquents, comme, par exemple, l'arche d'un pont, aura une épaisseur plus grande que les voûtes destinées à former le sol des différents étages d’un édifice , et celles-ci seroüt plus épaisses que celles qui n’ont rien à supporter, comme les voûtes d’église; enfin, parmi ces dernières, celles qui sont à couvert sous les toits de charpente u’ont pas besoin de tant d’épaisseur que celles qui eu doivent tenir lieu.

L’épaisseur des voûtes des ponts antiques varie entre le dixième et le douzième du diamètre de l’arche. Léon - Baptiste Alberti prescrit qu'elle ne soit pas moindre d’un quinzième.

On lit dans le Programme du Cours de Construction de M. Sganzin ce qui suit :

(t) Mémoires de l’Académie des Sciences , année 1713.

«L’expérience, confirmée par le succès, a consacré, dans les Ponts et Chaussées, une méthode pratique pour déterminer l'épaisseur des grandes voûtes à leur clef.

«On prend le ré de l'ouverture de l'arche, auquel on ajoute une constante d’un pied. On retranche ensuite du total le rh de l’ouverlurc, le reste est l'épaisseur cherchée.»

Quant aux voûtes qui n'ont point déchargé à supporter, voici ce que M. Rondelet prescrit :

« Jai trouvé { dit-il J, comme M. Couplet, que la moindre épaisseur qu'on puisse donner à un arc extradossé d'égale épaisseur, pour qu'd se soutienne, ne devrait pas être plus petite que la cinquantième partie du rayon.

«Cependant, comme les pierres et les briques qu’on emploie à la construction des voûtes ne sont jamais aussi parfaites que le suppose la théorie, on peut réduire la moindre épaisseur pour les voûtes en berceau , depuis 9 pieds jusqu’à 15 pieds de rayon; à 4 pouces, soit qu'on les forme d’un rang de briques posées de champ, soit qu'elles soient composées de deux rangs à plat, comme dans les voûtes à la manière de Rossilon; et de 5 pouces pour les voûtes en pierres tendres comme celles de Sainte-Geneviève , en augmentant celte épaisseur depuis le milieu de la clef jusqu'à l'endroit où leur extrados se détache des murs ou pieds-droits qui la soutiennent.

« Mais si les reins sont garnis jusqu'à la hauteur où se ferait la désunion en cas de rupture, on trouve que, pour l'arc gothique, cette épaisseur pourrait n'étre que de ^ du rayon pour la voûte en plein cintre, ré-

« Pour les voûtes surbaissées formées d’un seul arc de cercle , on prendra , pour la moindre épaisseur, la cinquième partie de la corde de l'arc compris entre le sommet de la voûte et le point de rupture. Ce dernier moyen est applicable aux voûtes gothiques et à toutes sortes de voûtes en berceau. Au résultat que donne cette opération, on ajoutera ttx de la corde susdite.

« Pour les voûtes maçonnées en mortier, on ajoutera ré > et ré P° ur ce Nes exécutées en pierres de taille tendre, qui n'ont pas de charge à porter. Cette épaisseur ira en augmentant à partir du milieu de la clef, jusqu'au point où la voûte se détache des reins, où elle aura une fois et demie celle trouvée pour le milieu de la clef. C'est ainsi qu'ont été réglées les épaisseurs de toutes les voûtes en berceau de Sainte-Geneviève, exécutées en pierres de Conflans.

«Les voûtes d'arête, d’arc de cloître, et les voûtes sphériques de même diamètre que les voûtes en berceau , peuveut avoir moins d'épaisseur ; ainsi l'on peut sc dispenser de rien ajouter à l'opération pour les profils qui leur correspondent.

La voûte en berceau de l'église de Saint-Pierre de Rome a 82 pieds romains de diamètre, et son épaisseur à la clef est de 3 pieds et demi, c'est-à-dire un vingtquatrième de son diamètre.

Plusieurs églises gothiques, dont la voûte a 44 ou 45 pieds de diamètre, nont que 5 à 6 pouces de grosseur à la clef.

La grande voûte du portail de Sainte-Geneviève a 58 pieds de diamètre , et n a que 8 pouces à la clef, c’est-à-dire ré du diamètre ; mais elle a le double à l'endroit où elle se détache dn mur intérieur des pieds-droits.

Plusieurs géomètres distingués se sont occupés de la théorie des voûtes; De la Hire, Couplet, Gautier, Dérand, Torija, Coulomb, Bossut, Lorgna , Salimbeni , Mascheroni, Boistard et Gaulhey, ont donné des formules et des méthodes plus ou moins exactes, plus ou moins compliquées; mais malheureusement la plupart de ces formules ne peuvent être mises en usage, ou parce qu’elles renferment des quantités transcendantes qui rendent le calcul numérique impraticable, ou bien parce quelles reposent sur des

suppositions trop douteuses, si elles ne sOnt inexactes. De toutes les méthodes, celle de De la IIirc est la plus généralement adoptée, quoiqu’elle ne soit point exèmpte de fausses suppositions. Mais comme elles sont toutes favorables à la plus grande solidité, et comme les formules sont simples et d’une facile application, on leur a donné la pré-' ferenée : d’aillenrs, l’expérience a prouvé qu’on pouvait sans crainte sc servir des résiliais qu'on en déduit.

De la Ilirc suppose que les voûtes dont les pieds-droits n’ont pas une épaisseur suffisante pour résister à ht poussée, se fendent vers le milieu des reins; Il considère la partie du sommet qui forme la moitié de la voûte comme un coin qui tend, par son poids, à écarter les deux antres partie? , qu'il regarde comme tellement adhérentes aux [lieds-droits, qa’ellcs ne font avec eux qu’un seul et même corps jusque sur leur fondement.

Il remarque ensuite que, dans cette supposition, la Toûte ne peut se fendre, que le coin ne descende de quelque chose , et qu’il n’agisse pour faire écarter les pieds-droits par le dessus ; et supposant encore qu’il ne se fait aucun frottement sur le lit des votissoirs, sur lesquels lo coin tend à glisser. Il déduit des principes de la Mécanique, l’épaisseur que l’on doit donner aux pieds-droits des voûtes, pour résister i leur poussée. ,

Soit (pl. VIII, flg. 12) une voûte en plein cintre, terhilnée en plalc-tortne , dont il s'agisse de déterminer l’épaisseur du pied-droit. Après avoir décrit un arc concentrique qui passe par le milieu de l'épaisseur de la def, tt élevé les perpendiculaires I.O, DF, aux rayons AL, AD qui vont au milieu des reins de la voûte, les points D et L seront considérés comme les centres d’impression sur lesquels le coin agit également île part et d'autre, suivant les directions DF, LO : ainsi il suffira d'avoir égard à la moitié du coin , depuis le point D jusqu'au sommet de la voûte, puisque l'on appliquera les mêmes raisonnements à l'aulre moitié. Supposant ensuite la pesanteur des pieds-droits jointe à la première partie de là voûte réunie à leur centre de gravité en M, la ipicstion est réduite à trouver le bras FIG d’un levier recourbé HGE, à l’une des extrémités duquel serait le [>oid> H, égal h la pesanteur du pied-droit XV, et à Faatrc extrémité E, «ne puissance qui tirerait obliquement le levier, et qui serait égale à i cITort que fait le coin pour écarter le pied-droit XV.

Or, il est démontré en Mécanique que l’effort que fait le coin au point D, est à la puissance qui lé chasse ( qui est ici sa pesanteur, que l'on peut exprimer par son profil UVQL), comme AD est h AR; ainsi cet effort, ou la puissance agissante, sera no(. x An al

— — -g-s — ii Si Ton nomme 2 rrn la superficie du coin, et que l’on fasse AR — '2a, AD

= 6, G* = h, GV = d, ZC = c, et XG = y, on aura d'abord la puissance agissante

, . 2 /Mn />nn Jj

égales ^ — -

Considérant ensuite que les triangles A KD, D»E, EFG, sont semblables, et que l’on a D» == Zo *= o 4- y = Es, on aura GE <= G* — E * — h — c— - y; et faisant h — cp=* / J on aura GE — f — y. On a aussi, à cause des triangles semblables , AD : AK = GE : • of — oy

GF , par conséquent b ■. a— (f y) : GF , et GF — — j— qui sera le bras de levier

de ia puissance agissante.

— , qui est la formule dont on se sert pour trouver les pieds-droits des voilles.

On remarque des inexactitudes dans les hypothèses qui ont servi de base à la solution de De la Dire : mais toutes, comme nous l'avons déjà dit , sont en faveur de la solidité ; c'est-à-dire que toutes tendent à donner une pins forte valeur à la quantité qui exprime l’épaisseur du pied-droit.

1" De la Ilirc suppose que, lorsque le coin qui forme la partie supérieure de la voûte glisse contre les voussoirs, il ne se fait point de frottement, comme si leurs surfaces étaient exactement polies, tandis que ces surfaces sont entièrement raboteuses, et qu'elles sont en outre liées par le mortier, ce qui augmente beaucoup leur adhérence.

2* Il suppose que les ruptures des voûtes se font au milieu de leurs reins; et on peut démontrer que lorsqu'elles se fondent en cet endroit , elles poussent davantage que si elles se fussent rompues partout ailleurs ; c'est donc le cas le plus désavantageux qui puisse arriver dans leur rupture.

3* Dans le calcul , on a supposé que le centre d'impression se trouve sur le milieu de la longueur des voussoirs; mais pour peu que la partie supérieure descende, toute l’impression se fait sur l'aréte du voussoir, qui reste joint aux pieds-drdits : alors le levier de la puissance agissante sera moins grand.

D'autre part , on doit faire attention que lorsque l’on place le point d’appui G (fig. 12) à l'extrémité de l'épaisseur du mur , on suppose que le terrain des fondations est incompressible; et, comme il ne l'est pas ordinairement, 'il ne serait point étohnant que quelques voûtes renversassent leurs pieds-droits , quoique leur épaisseur fût conforme aux calculs ; voilà pourquoi il faut donner, autant que l'on peut, beaucoup d'empâtement, c’est-à-dire une large base j aux pieds-droits des voûtes que l'on veut établir sur un terrain ordinaire.

Les résultats que donne la théorie de De la Hire ne doivent être considérés que comme des approximations qui assignent aux piedsnlroiU uno épaisseur plus forte que celle qui serait exigée par le simple équilibre.

M. Sganzin a inséré dans son Programme du Cours de Construction, des tables, que M. Chezy a calculées d’après la théorie de De la Hirb. « Ces tables , dit M. Sganzin , ont servi avec succès à déterminer les dimensions des piles formant culées de la plupart des grands ponts dernièrement construits. Une longue expérience, ajoute-t-il, et des succès constants, établissent la confiance que l'on doit avoir dans ces tables, dont l'usage est assez géaéral dans le service des ponts et chaussées. Quoique la formule qui leur sert de base ne soit point fondée sur des principes rigoureux, on n'hésite cependant pas à les proposer avec la confiance qu'elles paraissent mériter, et que (a solidité et ta beauté d'ensemble des constructions auxquelles elles ont servi, justifient pleinement. »

Les tables ci-jointes sont un extrait de celles de M. Chezy. La première sert pour les voûtes à berceau et à plein cintre; la seconde pour celles surbaissées.

On doit observer que ceS tables ayant été calculées pour des arches de ponts, on a donné aux voûtes une épaisseur à la clef plus furie que celle qu'exigent les voûtes des édifices couverts; d'où il résulte que le poids et la poussée étant plus forts, l'épaisseur des pieds-droits l'est également : ainsi l’on pourra se dispenser d’ajouter à celle épaisseur un surplus, comme on ic fait ordinairement aux piles des ponts, qu'on augmente de 6 pouces pour les arches de 36 pieds d’ouverture, et d'un pied ou de 18 pouces pour les plus grandes.