EV— /- C
Fig. 19. Fig. 20.
semblables doivent se produire simultanément sur les trois arêtes aboutissant à chacun des huit angles du cube [fig, 19) :
Miller {hhk)
Weiss i^ a \ z a\ rr a ^=1 a \ a \ T a
' Lévy a^ ou b^ : b^ : b*"
2« Elle est plus grande.
On a alors: h < k ei le solide correspondant est Ticositétraèdre.
Icositétraèdre* — Ce polyèdre, qu'on appelle encore souvent trapézoèdre, est aussi un solide à vingt- quatre faces, mais qui se présentent sous forme de quadrilatères dont les côtés adjacents sont égaux deux à deux {fig. 21).
Hg. 21.
Fig. 22.
Les notations sont les mêmes que celles du trioctaèdre.
Hexoctaèdre* — Enfin la modification sur l'angle peut être inégalement inclinée sur les trois axes. Elle intercepte
donc dans ce cas trois paramètres différents :
a' = ha b' = ka «'= la
et, toujours en vertu de la symétrie, six facettes différentes, symétriques deux à deux par rapport à chaque arête, doivent simultanément se produire sur chacun des huit angles solides du cube.
SYSTÈME CUBIQUE
Ces facettes, suffisamment prolongées pour masquer la forme du cube, engendrent un polyèdre à 48 faces, Thexoctaèdre \fig. 23) :
Miller {hkt)
h<K <l Weiss
tu: rr a: -a h k l
Lévy. b^ :b^:b^
Nous avons supposé jusqu'ici que toutes les faces conformes à la loi de symétrie se développaient simultanément sur tous les éléments semblables du solide fondamental, et nous avons trouvé, par conséquent, les formes holoèdres simples possibles dans le système cubique.
Mais nous savons qu'une moitié seulement des modifications peut se produire pour engendrer une forme hémièdre.
Le système cubique présente plusieurs cas d*hémiédrie très remarquables, dont nous allons maintenant nous occuper.
Formes hémièdres. — Hémiouboctaèdre. — Ce
solide, qu'on appelle encore dodécaèdre penlagonal, provient du cube pyramide par le développement de Tune seulement des faces inclinées sur Tarète du cube ; c'est un polyèdre à douze faces pentagonales.
Le solide formé par les faces supprimées, et qui est son dodécaèdre conjugué, lui est superposable par une rotation convenable. Comme dans chacun de
Fig. 24.
ces deux solides ce sont les faces opposées par le centre et parallèles entre elles que rhémiédrie a conservées, nous avons affaire ici à un cas d'hémiédrie parallèle.
Miller i: {hkO)
Symboles
Lévy.
Tétraèdre* — Ce polyèdre, qu'on appelle aussi hémioc-
taèdrcj provient de la suppression de Tune des deux facettes opposées par le centre et tangentes sur les huit angles solides du cube. Encore ici, il existe un second tétraèdre inverse du premier et formé par les faces supprimées.
Puisque dans ces deux solides toutes les faces sont inclinées les unes sur les autres, les tétraèdres rentrent dans la catégorie des formes hémièdres inclinées {/tg. 25).
I Miller x (lli)
Symboles / ^ {
Lévy.
Hémitrioctaèdre. — C'est un solide à douze faces, provenant du trioctaèdre par le non-développement de Tun des groupes de trois facettes existant aux extrémités d'une même diagonale {fig. 26) .
Un second hémitrioctaèdre, in-
Flg. 26.
SYSTÈME CUBIQUE
verse ou conjugué du premier, se forme parle développement des faces supprimées dans le premier et lui est superposable par une rotation de 90°.
Ces deux solides offrent encore des cas d'hémiédrie à faces inclinées.
Symboles
Miller x (h h k)
Lévy
Hémi-icositétraôdre. — C'est aussi un polyèdre douze faces et dérivant de Ticositétraèdre comme le précédent dérive du trioctaèdre (/ïg. 27).
11 en existe toujours deux, conjugués Tun de l'autre , et constituant des solides hémièdres à faces inclinées.
Symboles
Miller. ...... x (h h h)]
Lévy
Hémihexoctaèdres. — L'hexoctaèdre étant formé par un nombre pair (6) de modifications sur chaque angle du cube, il s'ensuit que les deux sortes d'hémiédrie sont possibles pour ce solide.
Lorsque trois sur six des facettes existant sur chaque angle ne se développent point, on obtient un polyèdre à vingt • quatre faces parallèles trois par trois à celles qui leur sont opposées par le centre, et qui est un solide hémièdre à faces
parallèles {fig. 28).
/ Miller tt (A A
Symboles { Léw . 1 t - 4
Lorsque Tun des deux groupes de six facettes opposées par le centre disparaît entièrement, on obtient un nouveau solide à
Fig. 28.
Fig 29.
vingt-quatre faces qui, avec son conjugué, rentre dans le cas de Thémiédrie à faces inclinées [fig. 29).
Miller x (A A Q
Symboles
Lévy \h^h^¥
