CHAPITRE PREMIER

But de la cristallographie. — Lois fondamentales. — Axes cristallographiques. — Plans et axes de symétrie. — Différents systèmes cristallins. — Cristaux holoèdres et cristaux hémièdres. — Zones. — Macles.

La cristallographie a pour but Tétude des formes polyédriques plus ou moins complexes, appelées cristaux, que la matière simple ou composée est susceptible de prendre dans certaines conditions.

Le plus souvent un cristal présente, à première vue, une multilude de facettes plus ou moins régulières de forme et qui semblent réparties sur sa surface sans aucun ordre déterminé, de sorte qu'il parait impossible de se baser sur la forme cristalline pour obtenir une classification utile des espèces.

Mais, si au lieu de considérer les faces et les arêtes suivant lesquelles elles se coupent, on vient à mesurer les angles dièdres qu'elles forment deux à deux et à répéter ces mesures sur un grand nombre de cristaux, on arrivera à mettre en évidence cette loi qui domine toute la cristallographie.

CRISTALL. GÉOMÉT. 1

î TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DE CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE

Loi de la constance des angles. — Pour une même substance, chimiquement pure, les angles sous lesquels les faces se coupent sont constants.

Aucune règle ne préside en effet à la fixation des dimensions relatives des éléments faces et arêtes, Télé ment angle seul reste invariable. Cela revient à dire qu'un cristal étant placé d*une certaine façon par rapport à un système d'axes coordonnés, ses faces ne sont astreintes qu'à la condition de faire des angles déterminés avec les plans coordonnés.

En réalité cette loi, comme toutes les lois physiques d'ailleurs, ne doit être considérée que comme une loi limite, n'étant rigoureusement vérifiée que dans le cas de la pureté absolue de la substance, condition qui n'est pour ainsi dire jamais réalisée. Aussi trouve-t-on toujours, dans les mesures d'angles. de légères difi'érences qui peuvent atteindre plusieurs minutes^ et qui amènent à envisager le cristal non plus comme ua

Fig. 2.

polyèdre géométrique rigoureusement invariable de forme,. mais bien comme un individu minéral, ayant ^une vie propre et des signes distinctifs analogues à ceux qui permettent de

difTérencier les individus d*une métiie espèce dans le règne ve'gétal ou dans le règne animal.

À elle seule, cette loi suffirait pour établir une classification, si les substances cristallisaient toujours sous la même forme simple, la forme octaédrique par exemple.

On trouverait ainsi des octaèdres inscriptibles dans le cube, dans le parallélipipède droit à base carrée, dans le parallélipipède droit à base rhombe ou à base rectangle, dans le parallélipipède oblique à base rhombe ou droit à base parallélogramme, enfin dans le parallélipipède oblique quelconque.

Elle suffirait encore si le cristal ne prenait jamais qu'une forme résultant de la superposition du prisme et de Toclaèdre correspondant (forme composée de deux formes fondamentales).

Mais il n'en est point généralement ainsi, car il existe, pour chaque forme fondamentale, prismatique oq octaédrique, un plus ou moins grand nombre déformes secondaires ou dérivées, qui peuvent venir, en tout ou en partie, se greffer sur les formes fondamentales et engendrer une foule de facettes qui rendraient le cristallographe tout à fait impuissant, si HaQy n'avait découvert qu'elles sont soumises à une seconde loi aussi importante que la première.

Loi de rationalité. — Si Ton choisit pour axes coordonnés, afin d'y rapporter les faces du cristal, les trois arêtes d'un de ses angles trièdres, et que Ion considère deux de ces faces, ABC et A'B'C, elles coupent les axes à des distances a, è, c et a\ h\ c' de l'origine dont les rapports respectifs

sont des membres entiers ou fractionnaires, mais toujours

rationnels (Voir note 1).

Si la seconde face A'B'C ne rencontrait que deux des axes, oœ et oy par exemple, elle serait parallèle au troisième et aurait pour paramètres :

a' =: ma b' =znb

Si enfin elle ne rencontrait qu'un seul axe oz, elle serait parallèle au plan des deux autres et ses paramètres deviendraient:

Fig. 3.

a = txz a

// =: oz b

c = pc.

En adoptant, pour forme fondamentale, celle à laquelle appartient la face ABC, les paramètres a, b,c de'terminenl les dimensions de cette forme fondamentale ou les longueurs des axes.

D'habitude on désigne chaque axe par le paramètre qui lui correspond, en disant :

Taxe a, l'axe è, l'axe c.

D'après cela, une seule face fondamentale ne peut déterminer à la fois les trois axes qu'à la condition de les rencontrer tous les trois. Elle n'en détermine que deux si elle est

parallèle au troisième, et un seul si elle est parallèle au plan des deux autres.

Cette loi nous amène naturellement à envisager le cristal comme un polyèdre, et à le rapporter à un système d'axes convenablement choisis, afin d*en pouvoir faire une étude complète et facile.

Déterminer le système daxes qui convient à une. forme cristalline donnée devient donc le premier problème qu*ait à résoudre le cristallographe.

- Ce ctioix, en effet, ne peut être arbitraire. La loi de rationalité ne ressort clairement qu'à la condition de prendre pour axes trois arêtes du cristal, ou trois directions intimemen t liées à celles-là dans le cristal lui-môme.

Or, si nous examinons toute une série de cristaux, nous constaterons facilement qu'ils peuvent se ranger dans quatre catégories différentes :

1** Ils n'ont aucun plan de symétrie (dans l'acception géométrique de l'expression) ;

- 2° Ils en ont un ;

. 3« Ils en ont trois ;

4* Ils en ont plus de trois.

Pour les deux dernières catégories, les trois plans de symétrie ou certains de ces plans convenablement choisis se coupent suivant trois directions rectangulaires qui constituent des axes de symétrie (1), qu'on aura évidemment tout avantage à choisir comme axes coordonnés.

(1) Uu axe de symétrie est dit binaire, ternaire, quaternaire, etc., sui- Taut quUI faut faire tourner ie cristal autour de cet axe, de la moitié, du tiers, du q::art, etc., de la circonférence, pour passer d'un certain éljjisnt du cristal à Téiément semblable suivant.

Pour la deuxième catégorie, il est rationnel de choisir l'un des axes perpendiculairement à Tunique plan de symétrie, et les deux autres dans ce plan.

Quant à la première, pour laquelle il n'existe aucun axe de symétrie, le choix d'axes obliques parallèles à trois arêtes se coupant au même sommet, ou tout au moins de trois directions dépendantes de celles-là, s'impose, d'après la remarque que nous avons faite au sujet de la facilité d'application de la loi de rationalité.

Quoiqu'il en soit, les axes, dont on supposera toujours l'origine transportée au centre du cristal, se coupent, en partageant l'espace en huit trièdres tri-rectangles et égaux dans le cas d'axes rectangulaires, égaux quatre par quatre dans le cas d'un axe perpendiculaire au plan des deux autres, lesquels sont obliques, enfin symétriques deux par deux dans le cas de trois axes obliques quelconques.

Si les trois axes obliques forment en se coupant trois angles égaux, comme cela a lieu pour deux des sommets opposés d'un rhomboèdre, on obtient un système d'axes pouvant convenir à l'étude des formes qui rentrent dans cette catégorie, mais nous verrons plus tard qu'il est plus commode de rapporter le cristal à des axes différents.

En résumé, si nous considérons comme formes fondamentales celles des parallélipipèdes qu'il est possible de construire sur ces trois sortes d'axes, nous sommes amenés à rapporter les cristaux à six systèmes différents, caractérisés à la fois, et par les inclinaisons respectives des axes, et par leurs dimensions relatives.

1rs eai. — Syatème cubique 9égBiii,lelral-| Syslèmo quadrttlqus ' e Inégal.

I Troll a

I Forma cl li

a iDJgaui I

Aie* iDctlnés '

prisme droU 1 baae carréa.

[ S;al6nifl aithorhombiqus.

I Prisme droll à baae rliomba ou k b«M rectangle (suivant leaaiea l adoptas), a dièdrea égaux. — S^stâme rhomtioëdrique.

ISjatime monoeti nique.

Prisme drollï base parallélogramma ou monobJique k base rhomba (aulvant les aiea adoptéa).

/ SjStAme trlctiaique.

' Prisme doublement oblique k facei ', parallélogrammes.

[ ladgaux, Irols angles J

Si nous considérons l'une quelconque de ces formes fondamentales, par exemple celle du prisme triclinique et son centre 0, on voit facilement <\a'iï est indifférent de choisir comme ases coordonnés fioit les parallèles ox, oy, os aux trois arêtes, soit les droites oai', o^, oz dont les deux premières sont contenues dans ses plans diagonaux, puisque ces directions sont dépendantes les unes des autres.

Connaissant les paramètres d'une face rapportée à l'u facile de calculer ceux qui lui conviennent par rapport à l'autre système.

Il eftLété bon, néanmoins, que tous les cristallographes s'entendissent pour adopter les mêmes axes, ce qui n'a pas eu

des systèmes d'axes, il serait

lieu malheureusement. Nous verrons en effet, en étudiant les diverses notations proposées pour les éléments des cristaux, que certains d'entre eux ont adopté le système oo?, oy, oz tandis que d'autres ont préféré le système oa?, 01/, oz (1).

L'inconvénient n'est évidemment que tout à fait relatif pour celui qui a l'habitude du calcul cristallographique , mais il n'en est plus de même pour les débutants, chez lesquels ces transformations fastidieuses finissent par faire perdre de vue le but principal.

Éléments semblables. — Les éléments semblables d'une forme fondamentale se définissent de la façon suivante.

Deux arêtes sont semblables lorsqu'elles ont même longueur et qu'elles correspondent à des dièdres égaux.

Deux faces sont semblables lorsqu'elles sont superposables.

Deux dièdres sont semblables lorsqu'ils sont égaux et compris entre faces égales.

Deux angles solides sont semblables lorsqu'ils sont égaux ou symétriques.

(1) II ne faut pas confondre les axes cristallographiques avec les axes optiques d*ua cristal. Au point de vue optique, les cristaux se subdivisent en trois catégories.

Ceux qui sont isotropes dans toutes les directions, ceux qui sont isotropes dans une direction unique, et enfin ceux qui le sont dans deux directions différentes.

Les premiers appartiennent au système cubique et se comportent par rapport à un rayon polarisé comme le ferait une substance non cristallisée.

Les seconds appartiennent aux systèmes quadratique et rbomboédrique et leur direction d'isolropie détermine celle de Taxe optique unique qui se confond avec Taxe oz.

Les troisièmes rentrent dans les systèmes monoclinique, trlclinique et ortborhombique ; leurs deux directions d'isotropie déterminent leurs deus axes optiques, lesquels se trouvent dans le plan de symétrie des grandes 'diagonales pour le système ortborhombique et dans le plan de symétrie unique pour le système monoclinique.

BUT DE Lk CRISTALLOGRAPHIE d

Or, si Ton lient compte des systèmes d'axes adoptés, on voit facilement qu'on ne peut rencontrer d'éléments semblables que dans les trièdres égaux ou symétriques formés dans l'espace par les axes et leurs prolongements.

. Cette remarque nous permet d'énoncer sous deux formes différentes une nouvelle loi, conforme d'ailleurs aux faits observés.

Loi de symétrie. — En vertu de la symétrie, toute face d'un cristal qui se présente d'une façon quelconque dans l'un des trièdres de l'espace, se présente également et de la même façon, soit dans le même trièdre s'il y a lieu, soit dans tous ceux des sept autres trièdres qui lui sont égaux ou sy métriqu es.

Ou encore : toute facette qui coupe d'une certaine façon un élément quelconque de la forme fondamentale d'un cristal, se trouve reproduite symétriquement soit sur le même élément s'il y a lieu, soit sur tous les autres éléments du cristal semblables au premier.

Il s'ensuit que plus un cristal est dissymétrique et moins le nombre de facettes obéissant à la loi de symétrie est considérable ; ainsi, dans le système triclinique, où les trièdres opposés sont les seuls à être constitués par des éléments égaux, Tes facettes modifiantes ne peuvent exister que par groupes de deux.

' Plus la symétrie augmente et plus augmente en même temps le nombre de ces facettes ; il devient maximum dans le système cubique.

Formes holoèdres. — On appelle forme holoèdre celle qui est limitée par l'ensemble de toutes les facettes répondant dans un système donné à la loi de symétrie.

10 TRAITÉ Él^MENTÂIRE DE CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE

Une forme holoèdre peut donc ne pas fermer complètement une portion de l'espace, puisque dans le sixième système, par exemple, un ensemble de deux faces seulement constitue une forme holoèdre.

Le même genre de forme serait constitué dans le cinquième système par quatre faces se coupant parallèlement à une même direction.

Pour ces deux systèmes, la forme choisie comme fonda- * mentale, qu'elle soit paraJlélipipédique ou octae'drique, est donc composée de plusieurs formes holoèdres.

Pour les systèmes plus symétriques au contraire, et en particulier pour le système cubique, il existe des formes holoèdres composées d'un beaucoup plus grand nombre de facettes que les formes fondamentales.

Formes hèmièdres. — Dans un certain nombre de cristaux naturels, on observe une dérogation à la loi de symétrie.

Elle consiste en ce que la moitié seulement des facettes modiQantes devant se produire sur les éléments semblables d'une forme fondamentale peut seule se développer. Deux cas sont à considérer :

1** Le nombre des modifications sur chaque élément semblable de la forme fondamentale est impair.

L'hémiédrie consiste alors dans la suppression de la totalité des modifications dans l'un des deux trièdres de l'espace opposés par le centre (Hémimorphisme).

2^ Le nombre des modifications est pair.

L'hémiédrie peut être de même nature que la précédente, ou provenir de la suppression, sur chaque élément, de la moitié des faces modifiantes.

Dans tous les cas, la forme conservée et la forme supprimée constituent deux polyèdres, qu'on appelle polyèdres conjugués.

Lorsque, dans les deux polyèdres conjugués, les faces opposées parle centre sont parallèles deux à deux, et qu'on peut superposer les deux solides par une rotation convenable, Thémiédrie est dite parallèle.

Lorsqu'au contraire les mêmes faces sont inclinées, les solides restant néanmoins superposables, l'hémiédrie est dite inclinée.

Enfin, lorsque les deux sortes d'hémiédrie sont réunies sur un même cristal, de façon que, quoiqu'on fasse, la superposition ne puisse avoir lieu, l'hémiédrie s'appelle hémiédrie pla^ gièdre.

Dans ce cas, les deux solides conjugués sont symétriques l'un de l'autre par rapport à un plan ; autrement dit l'un est l'image virtuelle de l'autre dans un miroir plan.

Zones. — On dit que plusieurs faces d'un cristal sont en zone, lorsqu'elles se coupent deux à deux suivant des droites parallèles ; il faut donc au moins trois faces, répondant à cette condition, pour que le cristal renferme une zone.

L'axe de toute zone passe nécessairement par le centre du cristal. On verra, au chapitre Mesure des angles dièdres des cristaux, qu'on peut facilement reconnaître une zone à l'aide du goniomètre.

Dans tout parallélipipède il existe trois zones dont les axes sont parallèles aux arêtes du solide.

Macles. — On appelle macle une forme cristalline plus ou

1â TRAITÉ ÉLÉM£?lTAm£ DE CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE

moins complexe, présentant souvent des angles rentrants, ce qui est Tindice que la macle ne doit pas être considérée comme un cristal unique, mais bien comme le résultat du groupement de deux ou plusieurs cristaux.

La macle n'est pourtant point un simple accident de cristallisation, elle obéit à une loi de formation déterminée.

Il existe deux espèces de macles : les macles par juxtaposition et les macles par pénétration.

Dans le premier cas, les cristaux sont soudés par deux de leurs faces conformes à la loi de rationalité. : Dans le second, leurs masses se pénètrent étroitement de façon à n*en faire qu'une seule, et il n'existe plus entre les deux cristaux de face de séparation déterminable.