CHAPITRE II

Principaux procédés de notation des éléments cristallins

Il a été proposé un très grand nombre de systèmes de notation des éléments cristallins. Les seuls que nous exposerons ici, parce qu'ils sont employés par les cristallographes français d'abord, et parce qu'ils sont les plus rationnels et les plus commodes ensuite, sont les systèmes de Miller, de Weiss et de Lévy.

Les notations de Weiss et de Miller ont ceci de commun, qu'elles sont rapportées au même système d'axes, le système oœ\ oy\ oz, (chap. i, /îg. 4) et que, pour définir une certaine forme dérivée, elles utilisent des caractéristiques inverses les unes des autres et par conséquent très analogues.

L'énonciation d'une face est plus commode dans le système de Weiss que dans celui de Miller, mais le premier prend une forme plus compliquée que le second quand il s'agit de représenter le$ résultats de certains calculs.

Lévy, lui, a adopté, on ne sait trop pourquoi, des axes différents, ceux qui constituent le système ox, oy, o^(chap. i,/îg.A). Les deux axes verticaux c sont donc égaux dans les deux systèmes, mais les axes horizontaux a' et à^ de Lévy sont les diagonales du parallélogramme construit sur les axes a et 6 de Miller.

Son mode de représentation est extrêmement commode, quand on envisage toutes les facettes modifiantes comme des troncatures effectuées sur les éléments de la forme fondamentale attribuée au cristal, mais il donne moins directement que les deux autres les véritables éléments entrant dans le calcul.

En un mot, ces trois sortes de notation ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients, comme on le comprendra mieux plus tard, après Tétude des différents systèmes cristallins.

Notation de Miller, — Elle découle immédiatement de la loi de rationalité.

Parmi toutes les faces que peut présenter un cristal donné,

Miller en choisit une comme appartenant à la forme fondamentale, la face ABC par exemple, que nous supposons rencontrer les trois axes adoptés d'après les considérations exposées au chapitre I, pour cette forme cristalline. Appelons a, b, c les paramètres de cette face, paramètres qui représentent aussi les longueurs relatives des trois axes.

Toute autre face A'B'C du cristal coupera les axes à des distances a\ h\ c , qui, en vertu de la loi de rationalité, sont

Flg. 5.

liées aux premières par les relations :

h, k, l étant des nombres rationnels.

On les appelle caractéristiques ou indices de la face A'B'C.

Quand on les connaît ainsi que les axes, on en déduit donc immédiatement les paramètres a'ô'c' de la face qui se trouve ainsi complètement déterminée.

De plus, on convient de prendre comme unité de longueur chacun des trois axes a, by c, pour mesurer les paramètres correspondants (ce qui fait qu'il existe trois unités de longueur dans le cas le plus général). La face fondamentale ABC est donc représentée par le symbole :

(1 1 1) et la face dérivée A'B'C par le symbole :

ou par abréviation (^, k^ l), les nombres h, k, tétant les inverses de ceux par lesquels il faut multiplier respectivement les trois axes a, b, c, pour obtenir les paramètres a', b\ c'.

Enfm, comme une face du même genre peut exister dans chacun des autres trièdres formés dans Tespace par les prolongements des axes, on convient de superposer à la caractéristique le signe (— ) lorsque Taxe qui lui correspond est coupé dans sa partie négative.

Ainsi, le symbole d'une facette semblablement placée, par rapporta A'B'C, dans le Irièdre opposé parle sommet au sien,

sera :

Si Ton voulait représenter par un même symbole l'ensemble des 8 facettes ayant en valeur absolue les mêmes paramètres et constituant une forme octaêdrique fermée, on pourrait écrine sans la moindre ambiguïté :

{qu'on énoncerait plus et moins et non plus ou moins).

Dans le cas où la face considérée est parallèle à l'un des axes, à oz par exemple, son paramètre c' devient infini, donc en vertu de la relation :

rî'= - on doit avoir ^ =

Une semblable face s'écrira donc pour les axes positifs :

Dans le cas, enfin, où la face devient parallèle à un plan coordonné, œoy par exemple, elle Test aux deux axes contenus dans ce plan, et les indices qui leur correspondent sont nuls tous les deux ; on la notera donc :

Si la face considérée, au lieu d'appartenir à une forme dérivée, appartient à une des formes fondamentales, les indices ou l'indice fini deviennentt l'unité.

Une face quelconque de forme fondamentale ne peut donc, dans le système de Miller, renfermer d'autres indices que 1 ou 0.

Ainsi le symbole (101) représente une face octaédrique fondamentale parallèle à Taxe oy et coupant ox à gauche et oz au-dessus du point 0.

Notation de Weiss. — Les axes étant les mêmes que ceux de Miller, Weiss représente la même face dérivée A'B'C que nous supposons d'abord rencontrer les trois axes, par le symbole:

ma ; nb : pc

qu'on énonce : ma est à nb est à pc, les relations ma = a\ nb = b\ pc = c' étant d'ailleurs satisfaites.

Il s'ensuit évidemment que les caractéristiques m, n,pde Weiss sont les inverses de celles de Miller.

Si la face dérivée est parallèle à l'un des axes, à oz par exemple, son symbole devient :

ma : 7ib : oc c

Si elle est parallèle à Tun des plans coordonnés, au plan œoy par exemple, il sera :

oc a : oc b : pc

D'habitude on ramène à l'unité la caractéristique de la face qui correspond à Taxe b.

Son symbole général devient donc :

— aibi-czzi-raibi-rc 71 n h l

ËnOn, pour distinguer les faces d'après le trièdre de l'espace qui les contient, Weiss convient d'accentuer l'axe correspondant à un paramètre négatif.

CRISTALL. GÉOMÉT. 2

Ainsi le symbole :

mcC : nb' : pc

désigne une face inclinée sur les trois axes et coupant oz dans^ sa partie positive, mais ox et oy dans leur partie négative.

Toute face appartenant à la forme fondamentale est donc représentée par un symbole contenant les trois axes a, ô, c avec des coefficients égaux soit à 1, soit à oc, tandis qu'une face secondaire ou dérivée renferme forcément dans son symbole des indices entiers ou fractionnaires, mais rationnels y différents de ceux-là.

En résumé, et pour mieux faire comprendre la signification

Fig. 6.

des caractéristiques de Weiss et de Miller, nous citerons le cas du soufre cristallisé naturellement. Ces cristaux affectent une forme octaédrique dérivant du système orthorhombique, mais il eêt rare que celle forme soit complète ; le plus souvent

ils sont formés par la superposition de plusieurs octaèdres plus ou moins surbaissés, pour lesquels le rapport des axes n*est pas le même, mais satisfait à la loi de rationalité. ^ On peut dire, dès lors, que le symbole :

représente tous les cristaux possibles du soufre naturel, tandis que le symbole :

ma : nb : pc

ne représente que l'un des octaèdres particuliers de cette substance.

Notation de Léyy. — Cette notation, dont Tavantage incontestable est de représenter les formas avec une grande netteté, repose sur le principe de la dérivation rationnelle des faces, conséquence de Tarchilecture moléculaire de Tédifice cristallisé (voir note 1).

Lévy considère toutes les formes que peut affecter le cristal comme provenant de troncatures effectuées soit sur les angles solides, soit sur les arêtes du parallélipipède fondamental.

Pour représenter simplement ces différentes troncatures, il convient de désigner les trois sortes de faces qui peuvent exister dans ce solide, au cas le plus général, par les trois lettres :

Le prisme triclinique a donc deux faces p, deux faces m et deux faces t, tandis que le cube dont toutes les faceçsont semblables a six faces p.

Les angles solides diiïéienls sont désignés par les quatre Toyelles a,e,i,Oy qui suffisent dans tous les cas.

Dans le prisme triclinique, l'emploi des quatre lettres est nécessaire, puisqu'il y existe quatre sortes d'angles, tandis que la lettre a suffit pour les huit angles du cube qui sont tous semblables.

Enfîn les arêtes sont représentées par les six consonnes hyCyd^f^g.h^ nécessaires dans le cas le plus général du prisme triclinique qui a six sortes d'arêtes, tandis que le cube, renfermant douze arêtes toutes semblables entre elles, n'a besoin que de la lettre b.

Les éléments d'un solide fondamental exigent donc, pour les noter, d'autant moins de caractères différents que la

symétrie du solide est plus parfaite.

Les faces secondaires ou dérivées sont noi ées comme nous allons maintenant l'indiquer.

Considérons par exemple le cas du prisme triclinique, et plaçons ce solide de façon qu'une des arêtes latérales soit en avant

Les axes de Lévy sont dès lors constitués par les deux arêtes horizontales et la demi-artte verticale aboutissant au sommet é?.

Comme ces arêtes sont différentes, nous les notons ô, c, d.

Fig. 7.

PROCÉDÉS DE NOTATION DES ÉLÉMENTS CRISTALLINS 2t

^ Or. toutes les facettes qui constituent la forme extérieure du cristal rentrent dans Tune des trois catégories suivantes ; elles coupent les trois axes, elles n'en coupent que deux, enfin elles n'en coupent qu'un seul.

Lévy envisage une facette coupant 1 *s trois axes comme une troncature produite sur l'angle solide du prisme, et une facette n'en coupant que deux, soit comme un cas particulier du précédent, soit comme une troncature edecluée sur Tarête parallèle à Taxe non rencontré.

Quant aux faces rentrant dans la troisième catégorie, il n*y a pas lieu de s'en occuper ici, puisqu'elles appartiennent aux formes fondamentiles elles-mêmes.

Les troncatures d'angles peuvent être de trois sortes :

1° Elles coupent les trois axes à des distances qui leur sont proportionnelles comme la face eio^y elles appartiennent alors à une forme fondamentale. Lévy appelle uns telle face une face tangente sur l'angle ^, et la note a' ou encore è*c*o?*, ce dernier symbole voulant dire que les trois arêtes ô, c, rf, sont rencontrées à des distances proportionnelles aux axes qui sont d'ailleurs pris pour unité?.

On peut encore dire que les trois arêtes portent en expor gants lescaract 'ristiques de la modification.

2° Elles sont inclinées sur l'un des axes seulement, l'axe oz par exemple.

Les deux faces eio et eio[ répondent à ce cas ; pour la première, le paramètre vertical est plus petit que Taxe correspondant: il est plus grand pour la seconde.

Elles seront notées a^, z étant, suivant le cas, le rapport, plus petit ou plus grand que 1, entre l'axe vertical du cristal

et le paramètre correspondant de la facette.

Elles seraient encore parfaitement déterminées par le symbole

3" Elles sont inclinées sur les trois axes à la fois.

Soit donc une facette interceptant sur les axes de Lévy les trois paramètres a?, y et z.

On emploiera uniquement dans ce cas la notation à trois caractères qui évite toute ambiguité :

Si Ton a par exemple a? = -» y = -? z = -> le symbole

deviendra : 6^, c', dP,

Les troncatures d'arêtes sont elles-mêmes de ^eux sortes.

1° Elles coupent les deux autres arêtes à des dislances proportionnelles aux axes qu'elles déterminent.

Lévy les appelle alors modifications tangentes sur Taréte, et si nous considérons en particulier l'arête c, les représente par l'un ou l'autre des symboles :

c* vX h^^d^.

Ce dernier symbole permet d'envisager aussi la modification comme une troncature de l'angle a dont l'un des paramètred serait infini.

2* Elles coupent les deux autres arêtes à des distances quelconques.

On les appelle alors môdificaticns inclinées sur l'arête o,

et elles se notent (1) :

qX

l'exposant os exprimant le rapport plus grand, plus petit ou égalai, entre le paramètre horizontal et le paramètre vertical.

Ou encore :

Dans les systèmes plus symétriques que le système triclinique, les notations se simplifient évidemment et elle deviennent particulièrement commodes dans les systèmes rhomboédrique et cnhique^ qui présentent un grand nombre de formes différentes.

Remarque. — Les différentes notations que nous venons de passer en revue se rapportent toutes aux formes holoèdres.

Pour représenter les formes hémièdres, Miller a adopté les deux lettres grecques tt et x.

La première désigne les formes de Thémiédrie parallèle, la seconde les formes de Thémiédrie inclinée :

Enfin une forme renfermant les deux sortes d*hémiédrie, c'est-à-dire une forme plagièdre, serait représentée par le symbole :

TTX {hKl)

Lévy, lui, représente les différentes sortes d'hémiédrie par

le coefficient r placé devant le symbole convenant à la forme

holoèdre correspondante.

(1) Il peut y avoir ambiguïté lorsque la modification se produit sur une •arête yerticale b par exemple, le symbole b^ n'indique pas en effet le sens de l'Inclinaison de la facette. On convient alors de placer l'exposant x à droite de la lettre b lorsque la facette sMncline vers la face droite, et à gauche (^6) lorsqu'elle sMncline vers la face gauche.