PREMIÈRE PARTIE , CHAPITRE DEUXIÈME

sin(?— a)

Oatre Tinfériorité générale du système polaire sous Taspect géométrique, on voit qae réqnation de la ligne droite y est analytiquement beaucoup moins convenable, comme étant transcendante envers Tune des variables, quoique algébrique à regard de l'autre. Aussi cette équation est-elle très-peu usitée.

18. 2* KXBMPLB. Équations du cercle. La déOnition élémentaire dn cercle, comme lien des points éqnidistants d'un point fixe, fournit aussitôt son équation, soit rectiligne, soit polaire , d'après notre formule préliminaire pour la distance de d«ix points quelconques. On a ainsi, en coordonnées rectilignes , et avec des axes rectangulaires , l'équation générale

ou, en développant, ordonnant et transposant,

a et 6 désignant l'abscisse et l'ordonnée du centre, r le rayon. Le nombre de ces constantes , pareillement linéaires , conformànenl à la loi d'homogénéité , se trouve encore ici spontanément conforme au nombre de points qu'exige la détwmination d'un cercle.

Sous chacune de ces formes, et surtout sous la seconde, cette équation constitue un type extrêmement usuel pour reconnaître le cercle , dans un tel système de coordonnées , quelle que puisse être sa source géométrique , conformément à l'esprit fondamental de la géométrie analytique. On reconnaît ainsi , en sens inverse , que , afin qu'une équation représente un cercle , il ne suffit pas qu'elle soit du second degré. Il faut , en outre , ces deux ccûiditions , indispensables et suffisantes :

54 GtoVÉTRIG PtANK.

l*" qae le terme où les deax variables sont mêlées y manque; Si" que les deux autres termes du second degré y aient le même coefficient. Moyennant cette double obligation, T^quittioii, qoî ne contiendra plus que trois coefficients arbitraires, deyiendra toujours exactement assimilable an type précédent ; et le développement de cette comparaison déterminera les éléments algébriques du cercle correspondant.

Quand les axes sont obliques , la fonnule desdistances fournit aussitôt réquation plus compliquée

ou

^"+Jr'+2cos0.a2r— 2(ft+tfcos0)j/-— 2(^ï+6cosÔ)j:-f

+ (b^+a*-^ 2ab cos 0— r') = 0.

La première des deux conditions ci-dessus formulées ponr qu'une équation du second degré soit circulaire , est alors seule modifiée , sans toutefois changer de nature. Elle consiste toujours en ce que le terme en xy doit avoir un coefficient déterminé : seulement sa valeur fixe , au lieu d'être 0 , correspond maintenant , en général, au double du cosinus de l'angle des axes, quand on a préalablement ramené à l'unité le coefficient commun des deux termes en y et a:\ Suivant cette relation , pri^e en sens inverse, une équation du second degré» où les deux carrés auraient des coefficients égaux , pourrait représenter un cercle , quoique les variables n'y fussent pas séparées. Mais cela n- arriverait que pour des axes dont rinclinaison aurait un cosinus égal à la moitié du coefficient du terme où les variables sont mêlées. Sous toute autre obliquité, le lieu géométrique serait une autre courbe fermée, ultérieurement appréciée , qpî naturellement devrait ainsi comprendre le cercle comme GS^ particulier.

En revenant aux axes rectangulaires, seuls vraiment usuals» il convient de remarquer deux formes spéciales qii*y prend Té-

PRBMliRE FAIiTff • C«Amm« BCUXlilIB. ft5

fDatfon rtcUHgm da corde* QMiid le oantre tit sar Taiedes a^^ i éteftt nul, Téipiation devieiit

Si on SDppose, en oatre, qae le cercle passe à l'origine, on aora a=r, et le terme constant disparaîtra; comme cela doit avoir liea, en pareil cas» pour qne courbe quelconque, afin qne ion équation puisse être satisfaite par les coordonnées do Torigine jc =^0, y:s^O^ dont la substitution n'y laisse subsister qne le terme indépendant des deux variables. £n ayant égard à œtte nouvelle simplification, l'équation prend finalement la forme repiaïquable

dont l'inter prétation géométrique se vérifie directement , puisque Tordonoée MPifig. il) devient ainsi une moyenne propor* tionnelle ' entre Tabscisse OP et le reste AP du diamètre ir^ loivant une propriété bien connue du cercle*

Bans le cas ou le oentre serait k Torigine . a et ^ s'annule» raient A la fois , et Véquation set ait alors

conformément à l'indication immédiate de la figure. Celte dernière forme est, à tous égards, la plus convenable ordinairement , lorsqu'on a le libre cboix des axes.

Quant à l'équation polaire du cercle , elle est évidenunent ^ d'après la formale des distances ,

en nommant a et « les coordonnées , linéaire et angolaire , du centre. Le seul cas particuli^ qu'il importe d'y signaler est cdai où le cercle passe au pOle ; alors a == r, et le terme indépendant de u disparaît, ce qui doit, à priori, arriver, en pareil çasià toute açtre équation polaire , afin qae ¥=0 y satisfasset

56 GéOMÉTfttE I^LANC.

qael que soil ?. Oa peal alors abaisser toajoars d'iine unité le degré en u de cette équation , par la sappresston da faclear conunun superflu. A l'égard du cercle, si Ton fait, en outre , passar l'axe an centre , Féquation derient finalement

u=2rcos7

forme très-simple , dont la vérification géométrique peut aisément'se faire directement, en considérant que, d'après un théorème connu, le triangle OMA {fig. 12) est ainsi constamment rectangle.

19.3* EXBMPLB. ÉquatMm du lieu éTun point dont la somme au la différence des distances à deux points fixes demeure constante. Quoique cette définition comprenne deux cas distincts , leur grande analogie analytique doit ici les faire traiter simultanément, sauf la juste appréciation de leurs différences nécessaires» soit géométriques , soit algébriques.

Discutons d'abord sommairement , autant qu'il convient à la nature du système, l'équation spontanée ti±l = fn, entre les coordonnées primitives du point décrivant M par rapport aux deux pôles F et F(/ii/. 13). Il faut, avant tout , considérer que, dans un tel système, chaque solution de l'équation fournit nécessaj|9ement deux points M et M', symétriquement placés relativement à l'axe FF', d'après la double intersection des deux cercles correspondants. Ainsi, toute équation relative à ce système indiquera naturellement un lieu symétrique par rapport à cet axe. En outre, l'équation actuelle ne changeant point après l'échange mutuel des deux coordonnées , il est aisé d'en conclure que la courbe sera pareillement symétrique O) autour de la perpendiculaire Gti' menée au milieu de FF.

{*) n peut être utile, pour abréger le discours, d'avertir, dès ce moment, qu# cette symétrie d'une courbe autour d'une droite, s'exprime souvent en

PBEMIÈRE PAUTIB , GHAPIIHB DEUXIÈIIB. ST

Toute discossion relative à ce système doit être soigneusement sabordoDDée à une restriction élémentaire qui lui est (ffopre, et dont ni le système rectiligne, ni le système polaire ne sauraient nullement ofirir l'équivalent. Elle consiste évidemment en ce que toutesles solutions réelles de l'équation n'y sauraient être géométriquement représentées, puisque les deux eerdes ne se couperaient pas si leurs rayons étaient ou trop petits ou trop différents, comparativement à l'intervalle fixe de leurs centres : en le nommant d, la figure ne pourra admettre que les solutions conformes aux deux^ inégalités u -{- ^ >- ^^i u— «Cd, ce qui constituerait d'ailleurs une grave imperfection spéciale de ce système , si sa nature ne le rendait déjà radicalement impropre à une heureuse peinture des équations. L'appréciation effective de cette double restriction permanente détermine, en chaque cas , les limites finales entre lesquelles doivent être comprises les valeurs admissibles des deux coordonnées.

Après ces notions générales, que j'appliquerai désormais sans les reproduire , examinons d'abord l'équation U'{-t=m. Ici, la condition i«-f/> d, sera spontanément satisfaite, à moins que m n'eût été pris inférieur à d, ce qui constituerait une définition contradictoire. On doit donc seulementconsidérer la restriction m— l<(î , qui, en y rapportant u k t, assigne

--(1»— d) pour limite inférieure de r , et , par suite , -^ (m -f d)

pour limite supérieure de u. En vertu de la symétrie algébrique, chacune de ces limites convient aussi à l'autre coordonnée. Comtne, entre ces limites, toutes les solutions seront évidemment admissibles > la courbe sera certainement fermée et continue. Les points N et N', où elle coupera l'axe GG', et dont

nommant la droite €UM géométrique^ ou ax9 de figure^ ou même simplement axe de la courbe.

S8 6^i0lléTt{K H'ANB.

les coordonnées seront Imites deux égales à - m, setrottTeroni

nécessairement les plas éloignés de Taxe FF'. Qaant aax points A et A', où elle rencontrera ce dernier axe , ils seront , l'un le plus près , Fautre le plus loin , de chacun des pôles F et F'. En lui attribuant , suivant une règle logique (*) qu'il importe de se rendre déjà familière , la figure la plus simple qui puisse satisfaire à Tensemble des renseignements obtenus , on aura la courbe ANA'N', sauf confirmation ou infirmation ultérieure . elle porte habituellement le nom d'ellipse.

Quanta l'équation U'-t = m^ dont le lieu se nomme hyperbole , la condition u — l<d s'y trouvera , au contraire , spontanément satisfaite, à moins de contradiction entre les données. C'est donc de la restriction u-\-t>d que proviendront ici les limites de w et de ^ , lesquelles , par conséquent , seront seu-

leraent inférieures. Leurs valeurs ^{rf— w), - (rf+w»), délep-

mineront les points A , A, où la courbe rencontrera l'axe FF, et qui seront alors placés entre les deux pôles F, F (/î^. 14 ). Au-dessus de ces limites, les deux variables pouvant croître indéfiniment et à la fois, la courbe sera nécessairement illimitée.

(*; Cette maxime, directement conforme au véritable çsprit philosophique , est fort importante pour la discussion géométrique des équations , o(i fl convient de former , aussitôt que les documents analytiques le permettent , une * première hypothèse sur la figure générale du lieu con*espondant , afin d'accélérer 9a détermination rigoureuse , eo dirigeant plus nettement les comparaisons ultérieures ; pourvu toutefois que l'on se tienne toujours dis|posé à modifier cette supposition initiale autant que le progrès de la discussion pourra Fexiger, Jusqu'à ce quMl ne reste plui aucune incortitade réelle aur la figure finale. Lors même que celle-ci devra être beaucoup plus compliquée que celle supposée d'abord , la simplicité de l'hypothèse provisoire n'en sera pas moins propre à mieux conduire l'ensemble de la discussion ; tant que les motifs de complication n'auront pas été suffisamment dévoilés, il serait peu Judicieux d'introduire uoe autre figure, dOt-elIç être accldeutellemeot plus rapprocb^e de la véritable.

PREMIÈRK PAVraS» CHAPITM DEUXIÈME. M

enUmseBt, àdroitede A et i gauche de A!. Maiselie nepoorra lias couper son second axe GGS u ne pouvant jamais deyenir égala i i eif afin que cea variables puissent conserver entre elles la différence oHistante m , il est clair aussi que le lieu ne rencontrera pas non plus les parallèles à cet axe qui s'en écarteraient trop peu, jusqu'à une distance qu'il serait superflu de fixer ici , et que l'équation rectiligne indiquera spontanément. En même temps qu'indéfinie , cette courbe sera donc discontinue , de manière à contraster totalement avec la forme proprg au premier cas.

Pour procéder maintenant à la formation de l'équation rectiligne , il snfBt évidemment d'employer nptre formule préliminaire des distances, qui remplacera aussitôt les coordonnées primitives par les coordonnées définitives, à quelques axes qu'on veuille rapporter l'une ou l'autre courbe. C'est ici le lieu de remarquer que l'ébauche de discussion qui vient de résulter de l'équation naturelle indique d'avance les axes les plus propres à simplifier l'équation cbercbée, d'après l'influence analytique de la double symétrie du lieu autour dea droites FF' et GG'. , Si, en effet, on les prend pour axes, cette propriété géométrique obligera l'équation h supporter sans altération le changement de signe de y quant à la première , ou de j? quant à la seconde : ce qui exige évidemment l'absence des puissances impaires de la variable correspondante \ tandis que , envers des axes dirigés au hasard , les exposants impairs se seraient mêlés aux pairs. On a donc déjà la certitude d'obtenir, avec de tels axes, une importante simplification de l'équation demandée. C'est , autant que possible , en vue d'une semblable réduction peru^nente que les axes doivent être , en général , choisis , et non d'aprè§ tes motifs secoudaires relatifs à l'abréviation passagère des calculs qu'exige la formation de l'éqnation -, ou , du moins , ces derniers ne doivent être pris , à cet égard , en con-

60 GÉOHÉT&IE PLANE.

sidératioa décisive que sealemmit à défaut des mtres, <pi » en effet , ne sont pas tonjoars suffisamment sensibles.

En exécutant, envers ces axes FF' et GG' {fig. 13 et 14) , diaprés la formule des distances , le passage des coordonnées primitives aux coordonnées déGnitives, on obtient Téquation rectiiigoe

qui, par la suppression des radicaux, suivant le mode ordinaire , sans aucun vain artifice algâ>riquè , devient enfin

Les deux courbes y paraissent confondues , puisque la dispa* rition des radicaux semble avoir ôté toute trace de la distinction des deux cas. Mais , au fond , malgré leur inévitable analogie analytique, la diflërence des deux définitions est tout aussi marquée dans cette équation rectiligne que dans l'équation naturelle. Car nous avons déjà reconnu que, pour Féllipse, m " surpasse nécessairement d, tandis que l'inverse a lieu pour l'byperbole. Ainsi , le coefficient de x'^ passe du positif au négatif, en substituant la seconde définition à la première. Il est aisé de reconnaître qu'un tel changement , parfaitement semblable à celui qu'éprouve alors l'équation naturelle, représente fidèlement le contraste géométrique des deux courbes.

En eflet, s'il s'agit de l'ellipse , on aura ainsi

Or, le facteur constant sous le radical étant positif ,j^ ne sera

réel qu'autant que le facteur variable conservera ce même si-

gne , ce qui exige que x ne surpasse pas ~ m , à droite on à

PAHTB» caHuuratiB BBiniJaiE. 61

gàaciie; ensorteqaelaooorbe^ithorizoïilaleiiieiitooi^^ tre ce et DIX (fig. 13). Gomme y varie d'ailleurs ea sens inrenede jT, ileit dairque les points M , N' où la ooorbe coa* pera l'axe des j^ sermt les plos ékûgnés de l'axe des a;, à la

hantenr ^K m*— ^jP. L'ellipse sera donc renfermée dans le rectangle GDiyC, et da reste continue entre ces limites , puisque les râleurs de^ et de x pourront diminuer autant qu'on voudra. Dans le cas de l'hyperbole, il conviendra d'écrire

afin que le facteur constant soit positif, ce qui, obligeant

l'autre à l'être aussi , assignera à a? la limite inférieure --^m,

sans aucune limite supérieure : y o-oitra dés lors avec x. Ainsi , h courbe , disccmtinue ratre les verticales CD, CD' {/î^. 14 ) , so'a d'ailleurs indéBnie au delà de chacune d'elles , dans le sens des deux axes à la fois.

On voit comment l'équation rectiligne confirme et p^ec* tienne les indications déjà fournies par l'équation naturelle sur la figure générale de ces deux courbes. Mais elle est surtout propre à compléter une telle détermination , en dissipant l'in* certitude qui nous reste encore au sujet du sens effectif de la courbure. Rien jusqu'ici ne décide, en effet , si les quatre parties égales dont l'ellipse est composée sont , suivant notre hypothèse, concaves vers l'axe dés ar, ou convexes, ou même tortueuses. Les documents déjà recueillis pourraient convenir également à ces diverses figures , et pareillement pour Thy* perbole. A la vérité, une considération préjudicielle tirée du degré de l'équation rectiligne trancherait spécialement cette difficnlté , en indiquant que le lieu actuel ne saurait être coupé

Il «toHÉniR nâii&

en plti9 de den poitito par aocane droite t car, l'évnlkNidete ligne droite étant toujonra du (minier degré, sa combinaison avec cdle d'une coorbe quelconque fournira néeetfaireaienl ^ en général, pour le§ absdsiee det poinU communs , une équation de même degré que celle-ci ; ce qui indiquera une limite supérieure, mais souvent trop grande, comme on le reconnaîtra bientôt, du nombre dlntersections. Une telle notk>a dissiperait ici toute incertitude , en excluant évidemment toute autre figure que celle déjà siqiposée. Mais il serait peu oonforme à Fesprit éminemment général de la géométrie analytique , d'éluder ainsi la difficulté actuelle d'après une considération spéciale, qui deviendrait presque toujours insuflisante envers d'autres courbes , quoiqu'il convienne , au reste , de Tatiliser dans les cas qui le comportent. Nous devons donc , pour caractériser déjà la discussion géométrique des équations, écarter ce document accidentel , et décider la question proposée par une méthode plus ou moins applicable à une courbe quel** conque , malgré qu'eUe ne poisse guère être maintenant aussi simple que les moyens ultérieurement résultés d'une étude plus approfondie.

Afin de transformer ces considérations géométriques parement relatives à la forme en de simfdes considérations de grandeur, seules directement accessiUes aux œmparaisonft analytiques, il faut ici, comme i tout autre égard, faire iuter-* venir les considérations de position, toujours naturellement destinées à ménager de telles transitions. Il suffit de remarquer» en effet, que, si le quart d'ellipse AMN (/îgr. 13) est concave vers l'origine , il sera placé au-dessus de sa corde AN , tandis que, s'il doit être convexe, il se trouvara, au contraire, audessous ; et enfin, altermlivement d'un c6té et de l'autre, en cas de sinuosité. Or , cette distinction du dessus au dessous devient aisément réductible à de simples idées de grandeur , en compa-

PBBMiÈu PàMtmf dUMrii dbuxièmb. tt

Rint, à «bsdsse égale , Tordoimée Mip ou j^ de la courbe avec Tordoonée KP oa z 4e la corde $ la questioa proposée reviendra fiDalemeot à discerner laquelle de ces deux variables surpasse raâlfe. Bu edMlant m d'ifria les deux IriangieB semblables APK et AON, OQ IrouTe

«fou

Il sidGit de décoiqposcr -^ —«a?' en {{nh^jc) (irtp^je)^ pour

constater aussitôt que y surpasse z dans toute l'étendue de la comparaison proposée. La courbe est donc certainement con- GODcave vers ses axes.

Envers lliyperbole , cette méthode a besoin d'une importante modification , qui en complique nécessairement Tusd^e , puisqu'une corde unique semble ne pouvoir plus suflire à l'appré- (Mon du quart de courbe , alors indéfini « Mais on surmonte kmjours cette nouvelle difficulté en attrftuant à la corde AH {ftg. 14) une extrémité indéterminée H , dont l'abscisse af doit H»ter arbitraire , ce qui ne fera que surcharger l'expression de Fordonnée auxiliaire SP ou Jir; U comparaison, d'aillenra restreinte à une abscisse ji moindre que x\ décidera la question tout aussi sûrement, quoique plus péniblement, que dans la prenûer cas , la corde AH ponvant ainsi, d'après l'indétcarminatiott de af^ représenter à la fois toutes les cordes possibles me* nées de A. La similitude des triangles AKP,AHQ assigne à z ta fermée

d'où

Or, » simpIiOaiit ce rapport autant qae ponriUe, od recon^naîtra facitement qae y surpasse z tant qae x reste moindre qoe afj tandis qae ce serait l'inverse pour x>x\ ce qui oonstitue une donble confirmation décisive da sens d'abord supposé a la Goorbare de Tbyperbole.

A regard d'ane courbe qaelconqae, fermée ou indéfinie , la méthode précédente pourra toujours , sous l'un ou l'autre de ses deux modes, dissiper irrévocablement une pareille incertitude. Mais > quoique le principe en soit , sans doute, pleine^ ment général, l'exécution en devient souvent imiH*aticable envers les équations un peu compliquées ; ce qui fera bientôt sentir le prix des procédés plus perfectionnés que nous trouverons ensuite. On ne doit pas mpins hautement apprécier déjà cette remarquable transformation d'une question de forme en une pure question de grandeur.

20. 4® EXEMPLE. ÉqtMtion du lieu d^un paifU toujourséquidis-' tant d'un point fixe et d'une droite fixe. Cette courbe, appdée parabole y compose, avec les deux précédentes , le genre de figures si célèbre, depuis les Grecs, sous le nom de eecOong coniques , et qui constituera , dans la dernière partie de noire étude , la principale spécialisation des théories générales de la géométrie plane.

L'équation naturelle, moitié polaire, moitié rectiligne, est ici u = ty entre les distances variables du point décrivant au p6Ie F et à l'axe BG (fig. 15). D'après la nature d'un tel système, où chaque point est déterminé par la rencontre d'un cerde ayant toujours son centre en F avec une droite MM' toujours parallèle à BG, toute équation y représentera nécessairement un lieu symétrique autour de la perpendiculaire DL menée de