CHAPITRE IL

Prineipaax exemples préliminaires de U formation des équations de diverses lignes d'après lear génération, et première ébauche de la discussion géométrique de ces équations.

16. la conception &m4amentale de la géométrie analytique , quoique directement établie dans le chapitre {décèdent , ne se>» rait pas suffisamment comprise , si , après cette indispensable expositiim générale , nous ne consacrions pas soigneusement le diapitre actuel i rendre spécialemratfamilitoe cette intime hw^ nonie mutuelle entre les lignes et les*éqaations, par une eon-» feoaUe gradation d'exemples caractéristiques. Ils seront d'ailkors choisis de manière a faire déjà connaître au lecteur les principales courbes auxquelles nous devrons ensuite appliquer kl théories essentielles de la géométrie analytique.

Ayant tout, il importe d'établir une formule élémentaire extrêmement usuelle pour détermmer la distance de deux points d'après leurs coordonnées , d'abord et surtout rectilignes , puis même aussi polaires. Une telle considération doit naturellemeid; être si fréquente dans la plupart des opérations de géométrie analytique , que , en la formulant ici isolément , on évitera «nsnite de aomlnreuses et fostidieuses répétitions incidentes.

Eiieaordewiées reeliUgqes, il suffira de mener , par le peint

]e plos bas M' {fig. 7) , une parallèle à Vsme de» x josqu'à ht rencontre N de Tordonnée du point le plus élevé M", pour concevoir aussitôt la distance cherchée d comme le troisième côté d'un triangle M' NM", dont les denx autres M' N , M'N, sont respectivement égaux aux différences, y" — y', a?" — ^', des coordonnées correspondantes, et forment un angle N sii|i{démentaire de celui des axes. Dès lors, si les axes sont rectangu* laires, ce qui est le seul cas vraiment usuel , le théorème de Pythagore fournira aussitôt cette formule : la distance de deux points équivatU à la racine quarrée de la somme des qtiarrés des différences de leurs coordwinées respectives, ou, en style algébrique,

Quand les axes sont obliques , il faut évidemment , d'après la règle trigonométrique convenaUe , ajouter sous le radical le double produit des deux différences par le cosinus de Tangle des axes, ou 2 (y"— j' ix" — x') cos 0.

Au sujet de cette formule indispensable , le lecteur devra soigneusement vérifier , mais seulement pour les axes rectangulaires , comment la loi du signe permet de condenser en une expression unique les quatre cas qui résulteraient naturellement, comme l'indique la figure, des trois autres dispositions que pourraient offrir les deux points. Puisque cette grande loi générale ne repose vraiment jusqu'ici que sur de simples vérifications spéciales , il importe de ne point les négliger dans tous les cas caractéristiques et très-usuels , quoiqu'il ne convienne pas cependant de les trop multiplier, ce qui finirait par altérer notablement Futilité réelle d'une telle règle. . En coordonnées polaires, on voit aussitôt (fig. 8) que la distance cherchée constitue le troisième côté d'un triangle, où les deux autres côtés sont naturellement les deux rayona veo* teurs u", u\ et comprennent un angle égal à la différence des

FiSMiiaiB EiAtiB, CHAjnrn» obuxièmb. M

ooordomiéQS asgiilaifes f", f' : d'<m féMdte immëdiatemeiil la fbnmile

où le sens de la sonstractibn angulaire est éyidemment indifférent, d'après la natnre des cosinus, tont comme ponr les soostraclions linéaires propres à la formulé rectiligne, quoiqne par nn autre motif analytique.

Cette double formule préliminaire étant maintenant établie, procédons d'abord k la |dns simple formation des équations , sdt rectilignes , soit polaires , qui conviennent aux deux seules I^nes déjà étudiées en géométrie élémentaire, et dont la discussiiMi devra , en conséquence , nous arrêter peu.

17. 1* ExmpLB. Équaiions de la Kgne droite. Les coordonnées rectflignes doivent être , par leur nature , éminemment favorables à la recb^che de réqaation générale de la ligne droite. Il suffit dhors d'envisager cette ligne comme le lieu des points dont les distances à deux axes fixes sont en raison constante , soit que ces distances se mesurent perpendiculaire* flwnt ou sous toute autre inclinaison commune. Une telle propriété donne aussitôt l'èquatimi rectiligne de toute droite passant à l'origine. Quand elle n'y passe pas, comme Diy (fig. 9), ipi coupe l'axe desy en B, à la distance b de l'origine, il est aisé de ramener ce cas général au précédent, en comptant les ordonnées à partir de l'horizontale BK , ce qui revient à les lostes de ft. Alors, pour un point quelconque M de

la droite, le rapp<Krt^^^ est constant. En le nonunant a, et

résolvant l'équation par rapport à y, l'équation générale de la ligne droite sera

qui coïncide évidemment avec Téquation complète du premier degré à deux variables. La cmstante a^ égale au rapport de

MQ à BQ, d^iieiidttt 4e la direetion de ta dioMe, dTafirte

Fangle a qu'elle forme avec Taxe des x. Elle sera, saittt&t le

principe foadaaieetal de la réflohrtioii des triangles , égale à la

tangente trigQQQioétvîiiae de cet ao^ , dans le cas le ploa

uaael, où les axes sont rectangdUires. Mais, s'ils sont

oUk|ttes y le aaéoie principe mdi^piera a coaune exprimant «

en général, le rapport des sinus des deox angles fonnés par la

sin 0( ' droite avec les denx axes des ar et des y, on -, — .

8in(ft— «)

Le lecteur devra se rendre extrémemenl fiumlière » par im exercice fréquent et varié, la signification géométrique dia toutes les #ireonslances algébfiqiies propres i oette éQuatioa fondamentale 9 qui représentera socoessivenieiit toutes les droites du plan, en y attribuant aux constantes arbitiaifftis a et 6 les valeurs conv^aïaUes. D'abord , h aonibray nmlie^ ment accidentel, de ces constantes correspond géométrique^ ment an nombre de points par où doit passer «ne droite que son cours entier soit déterminé. Ensuite» la loi de V généité indiqaerait seule , iodépendimBient de la figmre ^ qae la constante b doit être linéaire et a angulaire O*

Réciproquement, si l'on examine, en cooréonnéas red»-' lignes , abalractîûD Mte des notions précédmleB , le Men

(*> Si a était tuvisagé oonmc UnéoÉP»! «a taai qi^^tme tasgrole togimoiBé* trique Test en effet , Téquatiou ne serait plus homogène ; mais cela proviendrait éviaaaiaieBt cTaTOir pris pour uaité le rayoa trigonomiitrfQiis. Il faudrait alors rétablir l'homogénéité , en écrivant , suivant la règle «

On doit donc préférer habituellement de eoncevoir a comme une simple fonction abstraite deranglea;.c*est pourquoi je lui ai, depuis longtemps , appliqué ht dénomination caractérlsUque de eoe/IMêni angulaire , qal com« meiKe malnteaaol 4 Uaveak spaataoémout d'un usas^ universel.

FKEmÈBB Pijcni» mâjmBM decxiémb. Kl

géomiétrifto do rdfuidiaii générale dâ premier degré à deux Tariables , on eo fera aisément surgir la ligne droite. En y dégageant y, sous la forme y ^ Oâ? «j- b, cette éqnation indique d'abord , par sa composition , une ligne illimitée à Aroite et à gatiehe , eontinne , et d'nne seule branche ; puisque tuntd valeur, positive ou négative , de la variable indépeiH dânte x fournit constamment une valeur réelle, finie, et unique, pour la variable dépendante y. Mais ces caractères, évidemment trc^ vagues , ne sauraient constater soflSsamment la nature rectiligne C) àa lieu. On dissipe rationnellement toute incertttude à cet égard en concevant Téquation sous la

forme ^ = a, qui indique les ordonnées, préalablement

diminuées de b, par le transport de Taxe OX en BK, comme proportionnelles aux absciasea : ce qui caractérise aussitôt la ligne droite. La constante b étant la valeur de y pour â? == 0 , représente donc nécessairement la distance de l'origine au point ou la droite rencontre l'axe vertical. Quant à la constante a , éfideumaent angulaire, elle détermine aussitôt l'aigle du lieu avec l'axe hoi^izontal , suivant la loi tang a = a , si les axes sont rectangulaires: en les supposant obliques, on aurait

— :-— -. = a , d'où , en dégageant trigonométriquement

sin (ô — a)

Tangle « d'après la formule qui développe sin (d — a) , il est

Mb*.

(*) Quand a et 6 sont spécifiés en nombres, cette appréciation finale ressortirait matériellement de la construction correcte d'un grand nombre de soiu* tîQQs parlkuliërefl exactement évaluées : les commençants ne doivent pas dédai* gner , soit pour la ligne droite y soit pour le cercle , ou même pour quelques , autres cas bien choisis, Tusage provisoire de ces vérifications grossières , qui , iDfelgré leur évidente insuffisance mathématique , ont Theureux privilège de mieux fiimiliariser d'abord avec le sentiment élémentaire de rharmoaie fonda-* mentale entre les lignes et les équations , ainsi réduit à une simple intuition piiysique, constituant le plus haut degré possible de clarté«

52 ÙÉQimÈiBSE 9LA3XB. ^

aisé de déduire la loi , pliu générale, mais plos eomplkpiée,

âsinO

qai comprend la précédente , lorsqu'on y fait 0 = W*.

Si maintenant on demande l'équation générale de la ligne droite en coordonnées polaires, il est facile de sentir que la nature de ce second système est presque aussi faY(Nrable à une telle recherche que celle du premier. Car, on aurait aussitôt Téquation évidente 7 = « , pour une droite qui passerait aa pôle. Or, quand elle en passe à une distance d sur Faxe Of (fig. 10), le caractère géométrique est toujours le môme , c'està-dire que la corde tirée d'un point quelconque M du lieu au point donné D , où ce lieu coupe Taxe , forme ici avec cet axe un angle constant a, tandis qu'elle aurait, en toute autre ligne, une inclinaison variable. Seulement cette définition se formule alors plus péniblement que dans le premier cas. Mais on l'exprime aisément d'après le principe de la résolution des triangles, qui traduit immédiatement cette propriété par Féquation

polaire

^sina

tt =

sin («p — a) '

Elle contient, comme Féquation rectiligne, deux constantes arbitraires , à raison du nombre de points qu'exige la détermination de la ligne ; on sent que cette circonstance analytique se reproduirait nécessairement en tout autre système de coordonnées. Ces deux constantes sont encore ici, l'une linéaire, Fautre angulaire ; parce que Fidée générale d'une ligne droite comprend , par sa nature , à la fois une idée de distance et une idée de direction. Quelquefois, à la constante linéaire d , on substitue la plus courte distance i? de la droite au pôle; ce qui donne à Féquation la forme , un peu plus simple ,