PRQUÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME

Fsnr BG. Eo outre, cette intersection n'étant pas constamment possible, ce système impose aussi, comme le précédent, des conditions restrictives , puisque le rayon variable de ce cercle doit surpasser la distance variable de son centre à cette droite. Afin de mieux apprécier Tinfluence actuelle de cette obligation générale , il faut d'abord remarquer que , d'après l'équation u=<, elle sera toujours satisfaite à droite du point F, et ne pourra jamais l'être à gaucbe de BC , ou môme du milieu A de FB, qui constituera donc la limite de notre courbe à gaucbe de F. Mais, à partir de ce point  , la parabole s'étendra indéfiniment vers la droite, en s'éloignant également de F et de BC, sans aucune discontinuité , puisque la condition de rencontre sera dès lors spontanément remplie.

D'après cette discussion préliminaire, il convient, évidem* ment, en passant à Téquatton rectiligne , de prendre la droite DL pour l'un des axes rectangulaires , en vertu de la symétrie déjà appréciée analytiquement au numéro précédent. Quant au second axe » il n'existe pas de semblable motif , et les documents les plus immédiats ne semblent d'abord indiquer aucun point de DL comme une origine spécialement susceptible de simplifier l'équation dierchée. En faisant donc ce choix, d'ailleurs peu important , d'après des considérations de moindre pends , relatives à la seule formation de cette équation , nous prendrons la droite BC elle-même pour l'axe des j^. Le passage do système primitif au système définitif devient ainsi très-facile, puisque Tune des coordonnées naturelles t est conservée , avec un simple changement de nom , et que l'autre u s'exprime aussitôt en coordonnées rectilignes , suivant la formule des distances. On obtient ainsi l'équation rectiligne

où rf désigné Vint^rvalle FD du point fixe à la droite fixe. Il

est mé de constater que la discwioii générale de fettp àpar tioD , ou la Tariat^le x ne peut jamais être n^pUive nf inférieiire

à 'd^ mais sansètreassnjettie à auconeantreconditioDy confirme

ex^ictement lesindications géométriques de Téquatioa naturelle. En outre , son degré seul suffirait , conmie au numéro précédent, pour démontrer spécialement la concaTité constance de la courbe vers son axe AL. Mais on peut aussidécider aisément cette question d'après la méthode générale déjà appliquée k Tellipse et à l'hyperbole. Car, en considérant la corde indéterminée AM, dont l'extrémité M aurait une abscisse arbitraire x\ son ordonnée KP ou z, correspondante à une abscisse quelconque X moindre que af^ se calculera facilement h l'aide des triangles semblables A KP, AMH, d'où il résultera

Or, il s'ensuit évidemment , en simplifiant le rapport , qœ y surpassera % tant que x restera Inférieur à a/, et an oontniira en sens inverse : ee qui démontre pleinement la justesse da notre figure.

Au sujet de cette équatîM , (» peut remarquer, en l'écrirant sous la forme

y = ^{a:-ld^.

que le binôme or — ^dj deyiendrait monôme si on transportait

l'ongine en A. D'après un tel choix , l'équation devient finale-

pient

y=z2dx,

qui constitue nécessairement l'état le plus convenable de l'équation de la parabole. Ce motif de préférence eût été facile à |Nrévoir, en considérant qm, l'origine A étant sur la courbe , 1'^-

PRBUËaE ?^T4E, OtAflTWB DEUXIÈME. ' fi?

mmtm J ^t perdre soq t^riR^ CQastwt , sniyant uoe r^mar^ 99e àéjk sign^léie i mais j'a| cra 4eToirf n^ur 1^ con^meogantaf écarter d'abord cefte réflexion , comme trop minatieuse ea égard à sa faible importance.

Qaokpie la loiniii générale 4e la parabolts doive iMd^ id fort analogue à eelle d^nne denii-liyperbole, je doia pourtant «Tertir ici qae Ton déconrwa bientét , entr§ Mi imx figurât, 4iB& ^USéanmsm d'aapisct trèa-appréciablea «n (ont traoi jodilâ6pi^,Biénie gracier.

^i,b^$jiwmhE. Éqwtit^n riif ii^i 4'^n pmfU igulmmi éelmré ptirdeux h$imére$ fkmnées^ donl h eUfr-fé HçrùH vimrfimmU m carré de la distance» Si a et 6 désignent les intensitéa connues des deux lamière$i , cette définition fournit aossitôt Téqua-

^ b tion naturelle -7 r= - , entre les distances varliaUes du point

ut '

décriyant M aniç deux foyers lumineux A et B (^^.16). Il en

fésnlte u=iitf, en nommant m le rapport constant V-.. Les

conditions restrictives propres à ce système (uoy. le n* 19) assi-

gn^ati Mes limites, supérieure et inférieure , et — r~

^ • *- ■ fn — f m-{-l

d'où féaaltant ccUes de u , et çntre lesquelles toutes les yaleurs sont évidemment admissibles. Ainsi , la courbe est fermée et continue , d'ailleurs symétrique autour de AB, par la nature da système.

En prenimt e^e dioite pour axe des ^ , d'après les motifs déjà ap^ièdés , et plaçant l'origine en A , sans prétendre que celte positiOQ soit la plus propre à amplifier l'équation rectiligne^ (m trouve aussitôt

(^a—b)y^'\-[a^b)x*—''2.adx-\-ad^ = 0.

À l'imsij^ctioQ d'une telle équation » on reconnaît imffiédiatoiQent le cercle, d'après le double caractère établi au n« |^.

6S ÛÉOHémB PLANE.

En adievant de la comparer au type correspondant , on voit que le centre est sur Taxe des x, comme la symétrie Texigeait,

à une distance a= — r;lerayonr=— rj/aè. On peut dès

lors constater aisément que la plus faible des deux lumières est toujours intérieure au cercle , et la plus forte toujours extérieure. Je crois deToir fiiire \d remarquer, en s^is inverse, que deux lamiëres quelconques pourraient élre constamment placées, Tune en dedans , Tautre au dehors , d'un cerde donné au hasard, de manière k réclahrer également ; car, dé ces formules, on déduirait, réciproquement, si r était connu, d'ab(Nrd

rf= r7= r, et par suite, a:=2r\/ 7 ; ce qui permettrait,

quel que fût r, de pos^ les deux lumières conf or mémmt à la condition proposée.

Dans le cas de az=^b , les valeurs de « et de r deviendraient infinies ; ce qui, au fond, indiquerait la disconvaumce spéciale du type adopté. Si, en effet, on remonte alors à l'équation du lieu, on y voit disparaître les terines du second degré, et la ligne change réellement de nature, suivant Téquation du premier degré — »2a<2a7'4'^^=^0, ou .r= \ d, qui indique la droite CD , éqaidistante des deux lumières , comme le cas l'exigeait.

Quoique cette question nous offre un premier exemple intéressant des resscHirces générales que fournissent nécessairement les équations pour reconnaître les courbes malgré la diversité de leurs définitions, il convient pourtant de remarquer id que l'étude spédale de la définition actuelle aurait aisément p^mis de discerner la vraie nature du lieu. Car, en marquant, sur l'axe AB, les deux points F et F où il doit ooupar la coorbe cherchée , et considérant qac la propriété donnée se réduit , en écartant toute circonstance physique , à la proportionnalité

PBSIIIÈRB PAETflS, CHAPITRE OBUXIÈMS. 68

constante des distances varmUes MA et MB, on aurait les émx

MA:MB::FA:FB, MA:MB::FA:F'B,

qui, d'après un théorème conna, condaisent à envisager les deux droites MF , MF comme les bissectrices continues des deux angles supplémentaires AMB , NMB ; d'où il résulte que l'angle FMF est constamment droit, ce qui Tait aussitôt reconnaître le cercle > en indiquant d'ailleurs sa plus simple consfraction*

Lec^icle précédent convenant indistinctement à tous les plans menés par les deux p^nts lumineux , sans jamais changer de centre ni de rayon, il peut être utile de noter enfin que, si on demandait, en général, le lieu de tous les points de l'espace qni seraient également éclairés , on trouverait aussitôt une surfatce sphérique , ayant le même centre et le même rayon qae notre lieu plan. Dès lors, l'intersection de cette sphère par un plan quelconque, ou par toute autre surface donnée, déter'» minerait la courbe d'égale clarté sur la surface correspondante, de manière à' résoudre la question proposée dans toutes les vmétéfl qu'dk compile.

22. 6* ExurLE. Équ(Uiùn du lieu éPunpdfU imt le produit des iiskmees à dmoo pùinU fixes demeure constant. Dans le système naturel , identique à celui des n''' 19 et 21 , l'équation est ut:=m*. La nature du système indique, comme en tout autre cas , un fou symétrique autour de la droite qui joint les deux pôles A 6t B [fig, 17). En outre , l'équation ne changeant point par l'échange mutuel des variables , la courbe doit être pareillement symétrique airtonr de la perpendiculaire CD au milieu de AB. On conçoit aussi que les restrictions propres à ce système indi* quent ici un courbe fermée , en assujettissant chaque variable à deux limites déternînées, dont l'exacte appréciation ressortira

70 G^OMlSfÈte PtAniR.

toaiefoi^ beaiiccÂip plîis tiettëment éd Yè^ûAiWm m;tillghë. La forme la plus simple qui paisse correspondre à l'etiietiiMe ÛB ces premiers renseignements ofire une grossière ressemblance avec l'ellipse, au point d'avoir été même systématiquement prise pour elle dans îitie célèbre aberration astrotiomiti|tié.

En î)assant ati système reetili^ne , d'après les axe^ ÂB et GD, dont la àupérîoHtê analytique est déjà inotitèe , ott itonyé aisément^ par là formule des distâtices, l'équation

où d désigne la demi-distance des deux points fixes* Quoique

du qitatri^e degré , cette équation peut être facileinmt rélo*^ lue, et dcRine la formule

dont la discussion , plus compliquée qu'en aucun cas atatérieur^ ooBstitue lé seule difSculté et le principal intérêt d'un tel éxeiD'pie ! J'y ai d'alUeur écarté le second signe du radical partiel , comme ne pouTant jaBBais fournir d'ordonnées rédles.

Il est d'abord aisé de sentir que bu portion négati te de la fonction placée sous le radical général finira par l'emi^i'ter de i^Ius en piud sur l'autre, à partir d'oïke abscisse suffisamment grande, pour laqudle , le terme constant de cbacube d'elles deTenanl sensiblement négligeable tis^tis du terme variable, la pre^ nrière tend à varier proporttonndlement à a?' et la seconde à 3t seulement. La cDuibé est donc toujours lioruée dans le sens ho* ricontal, et par suite aussi dans le sens vertical, raccroiésement ûey étdtit subordcAâé & celui de œk Pour trOuVer la limite »->' pêrieure dé or, il fatit égaler les deux parties Opposées de la fotmule, ce qui déterminera ^ de chaque côté , l'intersection , K ou K' , de la courbe avec son axe hc»rlzon(al , d'ain-és l'équation

PBEMIÈRE PAllTtC, GBÀt^ttîtlF: t)EUXIËMR. 71

Mrfs , ei^lté éqUàtiott étant do i}aitHèâi)e degré , èa résolution féifmli, bnti^ë le couple cherché or' = it V/^+rf* ^ t^ui ne préselité âttbune diffitolté et fae comporte aucune distinction, on sM^nd couplé Ar"=±i/rf*—- m*, Ju^b*alot*s éntiêretfaettt

îiii|)révu, et dont rappréciation indique aussitôt que la courbe ne saurait oflHr toujours la même forme suivant les diverses relations demkd. Car, si m surpasse îf, ce couple devra être rejeté comme imaginaire , et la fonction sous le radical général, ne ponratat ft'antittleir qu'une seule fois pour x positif, ror< donnée sera coiistamment t'édite dépti!^ :r =^ 0 , qui donne , en éM,y^±:\/m*^iP^ jiisqu'à la limite supérieure de ^, conformément à la figure 17. Mâis^ quand, au contraire, m eA inférieuir à d , cette fonction , s'annulant deux fois de chaque côté, ne peiit être positive que dans Tintervàlle entre ^ et ^', en mte que lé lieu, qui coupe alors qdatre fois son axe horizontal, et né f enconti'e plus son ate vertical , devient discontinn , et se compose ttéeessairement de deux ovales égales et séparées (/ff.l8),sansrienpréjugerd'ailleurssurleurformeprécfse.Entre m deux tés nettement trAtichés, ^ place naturellement rbypdttièse teéyéUnl^ M=id, qui ^ suivant uhe règle logiqUé uUiveraélla, ffiilM importante que méconnue , ne doit être conçue que d'âj^ tes détat ettrémes qu'elle doit lier, et Surtout ici d'april k fieedild ,m y supposant diminué gradtl^leihent Tetcés de d mt m ) rétartemeilt des deux ovales décroît simultanément, et, à la limite,. elles deviennent enfin contigu^ (/fgf. 19). Telles sont les trtis format distinctes qu^ comporte le lieu actUel : le ecntre O i% la eOurtie s'y trouve placé tantôt en dedans ^ tantôt en dehors , oH enfin sur sa circonf^enee.

Bras les dwx dani«rs cas , la considération du degré sniBmit à désHNiitrer spécialement que le sens de la conrbure est conforme à nos suppositions , sans lesquelles le lieu pourrait oAir pltts de itualré points en ligne droite. Mais ee motif de-

73 GÉOMÉTRIB PLAHE.

viendrait insuffisant iKNir le iM'emier cas , où le degré ne seraitpas incompatible ayec une forme inverse da quart de courbe KL. Qaoiqne l'analogie analytique doive alors nata* rellement disposer à y étendre la disposition reconnue envers les deox autres , cette présomption légitime n'y saurait di^ien-* ser d'une rigoureuse appréciation. En y appliquant la méthode générale qui nous a jusqu'ici réussi facilement, on confirmera la figure supposée, mais avec des embarras algébriques tenant à la complication de l'équation actuelle ^ et très-propres i faire déjà sentir le besoin de moyens plus perfectionnés.

Afin quer l'image de ces trois courbes soit, dès ce moment» aussi nette que possible , je crois devoir indiquer id , à leur égard , par une utile anticipation, une propriété qui en éclair-* cira beaucoup la notion , quoique la démonstration en doive être renvoyée à la géométrie à trois dimensions. Elle consiste à envisagar ces courbes comme les diverses sections planes d'un tore, surface facile à concevoir, et fréquemment employée» d'après sa génération par un cercle tournant autour d'un axe extérieur. Si le plan coupant , contenant d'abord l'axe , s'en éloigne padrallèlement , il déterminera, en premier lien, la section tracée fig. 18 , jusqu'à ce qu'il vienne à toucher la parfle intérieure du tore, ce qui donnera la courbe fig. 19, après quoi la section , devenant continue, prendra la forme indiquée fig, 17. Ces trois courbes pourront donc être oonunodément qualifiées de sectiom toriques.

â3. 7"" EXEMPLE. Équation du lieu d'un point doni les distances à un point fixe et à une droite fixe soni toujours proportionnelles. Quand le rapport constant n est l'unité , cette défi* nition coïncide avec celle do n"* âO, en sotie que la parabcde doit ici constituer un cas particulier, sur lequel il serait super* fin d'insister.

L'équation spontanée u :=znt^ entre les distances varia*»

PRBXliBRB PAHTOS» CHAPlTRie DBUXIÈlfB. 73

bks MF et MQ (/{j^. âO)» indifiifini d'aixitfd , oomme an n» 90 , fu la nalore da système » un liea toujours symétrique autour de la perpendieulaire FD Kenée du point fixe F à la drdte tze BC. Pour atoir conTenablement égard aux oonditk»s resirictites, eonsidwons A*iboid les valeurs de i supérieures kd, ipH4»rrespondent à des parallèles tèUes que MM' à droite de F :atos leur distance au centre F des cardes de eoustruetkm étamti — d, la condition d'intersections — d < u, déjà in&tkicteKient satisfaite , quelque grand que soit /, si le rapport donné n est égal à Funité, le sara, à plus forte raison ,

pour n > 1. Mais, si » est inférieur à i , cette inégalité assi-

d' gnera , au contraire , à / une limite supérieure t^ , qui marquera, sur Taxe du lieu^ le point A' le plus éloigné de F et de BG. Dans ce cas, la courbe sera donc limitée à droite de F. Entre ce point et BC , la distance de la parallèle au t^ntre

devient d — I, et la condition de rencontre, d — t <^ u , in«-

d dique pour t une limite inférieure r>-r- , évidemment commune à toutes les hypothèses , et qui déterminera en A l'intersection nécessaire du lieu proposé , quelle qu'en soit la forme , avec son axe naturel FD. Enfin, de l'autre c6té de BC, la courbe, qui ne pourrait y pénétrer si n était égal à 1 , en sera encore pins évidemment exclue pour /» < 1 ; mais elle pourra' ij étendre , et même indéfiniment , dans le cas de n >> 1 , qui » jusqu'alors confondu avec celui de la parabole , commence ainsi à s'en distinguer nettement. Afin dé mieux apprécier cette diversité , considérons une de ces dernières parallèles NN' : sa distance au centre des cercles sera exprimée par s -f if , et la condition d'intersection /-f-^ < u imposera, k ce genre de

d valeurs de s , la limite inférieure -—- , eorrespondante à une

seconde rmoontre A" du Heu avec son axe , et à partir de

lactUGlte tft amrbe , iaterrompue entre A et A" y ft'eingMta h ri&fliKi;

D'âpréft Tensemble de cette disrassiètt pfèliiiiiteiref la d6ft* nithm aetdelto comprend donc, cevnme k précéditete, trois courbes nettemâit distinctes : d'abord , ponr n a» i , la parabole, limitée à gauche de F et illimitée à droite; ensnite, pour n <C 1 ^ une courbe fermée et contiboe» cemÉiençaiit en A et fluissant en A' $ enfin , pour n > 4, une eomrbe iUimi^ imiée et discontinue', dont les deux parties s'étendront iBdéfinî- . ment , Tune à droite de A , l'autre à gaucbe de A".

Le passage à Téquaticm . rectiUgne ne présente pas plus de. difficulté ici Qu'au n*" 20. En adoptant, par les mêmes motifs» les mêmes axés FD et BG, on aura Téqoation

j^V+ (i — n})x* — fàdx + d* = 0.

Sa discussion ne ferait que confirmer la distinction ei^dessos établie. Mais , eh écartant le cAs de n = 1 , déjà exaniiné , soii appréciation peut nous Offrir un nouvel intérêt, comme exemple très-remarquable de reconnaissance analytique d'une courbe. En eÔet, onlre que les cas de » < î et « > 1 nous ont indiqué dés âgùlrés générales évideaiment analogues à celles des Courbes dé ihêmé degré considérées au n"" 19 sous les noms d'ellipse et d'hyperbole , la compai^aison algébrique des équations correspondantes vient constater l'équivalence fondaiiientale des définitions qui les ont fournies , thalgré leur graiide diversité géométrique. Car, Inéquation trouvée au ri* 19 étant écrite sous la forme

sa confrontation avec la précédente montre qu'elles ne diffèrent esseiilieUemeht que |)ar la présence dans cellé-ci d'un tëm&é du premier degré en jc qui man^e à l'autre. Or, comme nous