CHAPITRE IV

Théorie de la transposition des aies dans Tespaee.

141. La nature et la destination de cette dernière théorie préliminaire comportent ici les mêmes réflexions générales qu'en * géométrie plane : il n'y a maintenant de nouveau que la plus grande difficulté d'établir lés formules correspondantes et leur complication supérieure. Sans revenir expressément sur des explications que chaque lecteur étendra spontanément , il est clair qu'une telle théorie doit être aussi indispensable à l'étude générale des surfaces qu'à celle des lignes , soit pour découvrir l'identité des lieux géométriques malgré la diversité de leur représentation analytique quand là différence ne résulte que des situations respectives, soit pour simplifier autant que possible l'équation propre à chaque lieu en assignant aux axes la position la plus favorable; le premier office continue d'ailleurs à être ordinairement plus important que le second. Quant au nombre nécessaire des constantes arbitraires que doivent contenir les nouvelles formules de transposition , il devient nata-

PREMIÈRE P^JkTm9 CQ4PITEE QUATRIÈME. 471

reUemeiit plus^rand qw pQor le c^s plan : le déplacement de Torigiae , qni corresppnd toujours à la translation des lieux, introdalra trois éléments liaéaires ; le changement de direction des axes exigera, en général, la considération de six angles, puisque , dans l'espace , toute direction se détermine naturellement par deux angles; mais, si l'inclinaison des axes demeure, la même qu'auparavant, ce qui représente, en sens inverse, la rotation des liebx, ces six angles arbitraires se réduiront spon-, tanément k trois, les inclinaisons données suppléant aux trois autres. Ainsi, en principe, ces formules contiendront nécessairement six constantes arbitraires , trois linéaires et trois angulaires, lorsqu'on les emploiera à la comparaison géométrique de deu^ équations distincte^ ; elles en renfermeraient, au contraire, jusqu'à neuf, trois linéaires et six angulaires, quand on les appliquerait à la simplification algébrique de chaque équation isolée. Toutefois, même pour cette seconde destination, les con< stantes disponibles ne sont pas habituellement plus nombreuses que pour la première, parce qu'on préfère ordinairement maintenir la rectangularité des axes; quoique leur obliquité permit, $ans doute, de supprimer trois termes de pl|is, elle complique tellement l'interprétation géométrique qu'on doit ici l'éviter encore plus soigneusement qu'en géométrie plane.

En procédant, comme au n"" 30 , d'après la décomposition naturelle de la question fondamentale , considérons d'abord le simple changement d'origine. Les nouveaux axes étant parallèles aux anciens, il est clair que les deux coordonnées analogues d'un point quelconque auront entre elles une difiérence constante , égale à l'intervalle des plans fixes où elles aboutis sent respectivement , et représentant 1q déplacement d'origine correspondant. Ainsi, les formules de transposition seront encore

j:=:i'+^, J/'ssy+Ô, z=«'+c,

&72 GËOMÉTAIE DANS L'ESPAGE.

a, 6, c, désignant les anciennes coordonnées de la nouvelle origine, et se trouvant, par conséquent, affectées, en chaque cas , d'un signe indispensable, sans l'appréciation duquel ces formules manqueraient de généralité.

Le changement de direction des axes autour de la même origine, qui constitue la principale difficulté d'un tel sujet, offre ici plus d'embarras qu'en géométrie plane , où la solution Irigonométrique était presque aussi facile à instituer qu'à exécuter, tandis que maintenant elle exigerait naturellement de pénibles comparaisons entre des lignes appartenant à des plans différents. Ces obstacles sont assez graves pour susciter l'application d'un nouveau principe géométrique dû à Carnot , et qui , d'ailleurs très-utile en beaucoup d'autres recherches , dissipe heureusement toutes les complications de la question actuelle. Il consiste en ce que, si l'on projette, sur un axe quelconque, un contour rcctUigne fermé, d'ailleurs plan ou gauche, la projection de chaque côté sera toujours égale à la somme algébrique, des projections de tous les autres. Exposons d'abord l'explication générale de cette importante relation.

Par sa nature, il suffit de l'avoir constatée envers un simple triangle pour acquérir aussitôt le droit de l'étendre successivement à un polygone quelconque, formé d'une suite de triangles contigns , qui peuvent d'ailleurs être situés en des plans différents. Afin d'en mieux caractériser la notion, bornons-nous donc à considérer ce cas fondamental, quoique la démonstration pût directement convenir à tout contour fermé. On évitera toute obscurité, à cet égard, si l'on apprécie préalablement, en général, la double manière dont peut être comptée, d'après la loi du signe concret, la projection de chaque côté, évidemment susceptible d'inversion selon le sens dans lequel on parcourt l'une et l'autre ligne. Cette opposition de signe est fidèlement traduite par l'expression algébrique de la projection, propor-

PHEBDÈllË PAUtlE, CHAPITEE QUATRIÈME. iip73

tionnellement au cosinus de rinclinaison du côté sur l'axe : car> lesignedece cosinus change spontanément suivant celle des deux extrémités que l'on regarde comme initiale , en concevant l'autre comme finale , puisque Fangle avec l'axe, toujours compté dans le même sens, suivant le précepte trigonométrique , augmente alors de ISO"".

D'après cet éclaircissement préalable , le principe des projections linéaires ne peut offrir aucune difficulté , en considérant la succession nécessaire des projections de deux côtés consécutifs, comparées à la projection du troisième côté du triangle correspondant. La seconde projection se juxtaposera ou se superposera à la première , selon que le second côté fera^ comme le premier, un angle aigu avec l'axe , ou bien un angle obtus : or, la projection du troisième serait alors, évidemment, tantôt la somme , tantôt la difiTérence géométrique de ces deux premières projections , dont elle représentera donc toujours la somme algébrique , en ayant égard aux signes simultanés des cosinus. Même quand le second côté prend une direction perpendiculaire à l'axe , auquel cas sa projection n'altère nullement celle du premier, la relation subsistera encore , puisque le terme correspondant s'annulera spontanément. On voit que, dans un tel énoncé , il faut considérer le dernier côté comme ayant la même origine que le premier; si on l'estimait naissant de son autre extrémité , c'est-à-dire suivant le parcours naturel du circuit total , sa projection changerait de signe , et le théorème consisterait en ce que la somme des projections de tous les éléments d'un contour fermé reste constamment nulle envers un axe quelconque.

L'importance de ce principe géométrique m'engage à indiquer une autre manière générale de l'envisager, qui pourra dissiper ou prévenir, à cet égard , toute confusion. Si l'on substitue à Taxe considéré un plan qui lui soit perpendicu-

474 eÉOiiÈnm dans Wpaw.

laire , et qui d'ailleurt laisse du même cOfé toQS les points pro* posés , il est clair que la projeetion de diaqoe ligne sur Taxe primitif se tronvera représentée par Texcès de distance i ce plan d'une de ses extrémités con^parée à l'antre : la doaUe manière dMnstituer cette comparaison d'éloig^nementcorrespoi^l spontanément au double sens de la projection. Or, en parcoorant successivement tous les sommets d'un contour te^rmé , triangulaire ou polygonal , plan ou gauche , l'écartement progressif envers un tel plan , toujours augmenté algébriquement des divers écartements partiels , doit nécessairement se xe-^ trouver nul quand , après avoir parcouru le circuit entier, oq sera revenu au point de départ. De là résulte la relation proposée , d'abord sous sa seconde forme , et par suite aussi sous la première , en renversant le mode d'estimation propre an dernier côté , comparé à l'ensemble des autres.

142. Il est maintenant facile de déduire de ce principe les formules propres au changement de direction des axes , dans l'espace , autour d'une même origine , surtout en supposant les anciens axes rectangulaires^ ce qui constitue le seul cas usuel , hors duquel il serait ici superflu de statuer, quoique la marche fût essentiellement semblable. Car, envers des axes quelconques, les trois coordonnées OP', FM', N'M (fig, 83) d'un même point peuvent être regardées comme formant un quadrilatère gauche , fermé par la distance OM de ce point à l'origine , et auquel on peut appliquer le principe des projections. D'un autre côté , la projection de cette diagonale OM sur chacun des axes OX, OY, OZ, équivaut évidemment à l'ordonnée correspondante du point M. Si donc on considère le quadrilatère ainsi formé des nouvelles coordonnées a/, y, z\ et qu'on le projette successivement sur les anciens axes des x , des^, et des z , on obtiendra aussitôt les formules cherchées ,

PREMIËRB PA&TIB, OUPITU QVÀimiÈME.

ai cos XS+y cos Y'X+«' cos Z'X x' cos X'Y+y' cos YTT+z^ cos ZT j/ cos X'Z+y cos Y'Z +2' cos ZZ ,

en adoptant , ponr les neuf angles ainsi introduits spontanément ^ la lumineuse notation de Garnot , fondée sur la coexistence des deux lettres qui indiquent les deux côtés de chaque angle. En géométrie plane , nous avons pu perfectionner cette notation , sans la rendre moins expressive , parce que , tous les angles considérés se trouvant alors formés avec une même droite , la mention formelle de celle-ci devenait superflue , et la désignation pouvait se réduire à une seule lettre , relative an côté variable. Mais , dans Tespace , une telle abréviation ne comporterait plus assez de clarté : quant à Fusage de lettres insignifiantes , ses inconvénients géométriques surpassent beaucoup ses avantages algébriques.

L'apparente simplicité des formules précédentes tient à l'emploi d'an trop grand nombre d'angles , qui ne sauraient jamais être envisagés comme indépendants les uns des autres, même quand rinclinaison des nouveaux axes resterait arbitraire : puisque chacun de ceux-ci y a été déterminé par ses inclinaisons sur les trois axes anciens , dont deux suffisent évidemment. Ainsi Fasage de ces formules doit toujours être accompagné de la considération effective des relations nécessaires qui existent entre ces angles , et qui sont , d'après l'avant-dernier chapitre,

cos* XrS + cos' X' Y + cos' X'Z = 1 cos' Y'X -I- cos' YT -f- cos' rz = 1 cos' Z'X -I- cos' Z' Y -I- cos' Z'Z = 1 .

En outre, [quand les nouveaux axes seront pareillemen rectangulaires, la règle d'Euler fournira trois autres relations

(76 GÉOMénXB DANS L*ESPACE.

cosX'XcosY'X+co8X'YcosY'Y+cosX'Zoo8Y'Z=0 cosX'Xcos Z'X + co8X'YcosZ'Y+ cos X'Z cos Z'Z =0 C08 Y'Xcos Z^X^- cosY'Y cos Z Y +cos Y'Z cos Z'Z = 0 ,

dont la combinaison avec les précédentes permettrait de réduire les formules de transposition à ne contenir que trois angles indépendants , conformément à la nature de la question. Ces deux groupes des relations indispensables au passage habituel d'un système d'axes rectangulaires à un autre pourraient aussi prendre une forme inverse , en comparant , dans le premier, les inclinaisons simultanées de chacun des anciens axes sur les trois nouveaux , et en formulant , dans le second , la rectangularité des anciens axes entre eux, d'après ces mêmes inclinaisons.

143. On peut établir les formules précédentes , ainsi que les conditions qui s'y rapportent , suivant un autre mode général], purement analytique, qu'il importe maintenant de caractériser en considérant immédiatement le cas le plus étendu, où les axes changent à la fois d'origine et de direction. Cette marche, éminemment rationnelle, due à Lagrange, repose sur l'évidente appréciation de la nature nécessaire de telles formules, qui »^ doivent être du premier degré , sous la forme

jr==b+m'a:' + n'y +/z', z = c + ni'x' + ny +p"z'y

afin que leur substitution ne puisse pas altérer le degré de l'équation de chaque lieu , degré qui ne saurait changer avec la situation. Si on conservait^ à cet égard, quelque incertitude, il sulEuràit de considérer que ces formules sont nécessairement communesà toutes les équations possibles, en tant que relatives à chaque point isolément envisagé, à quelque lieu qu'il puisse appartenir : d'après ce motif irrécusable , la permanence effec-

PRBMIËltE PA&TIB, CHAPITIIE QUÂTRIËBIE. 477

tiye du degré envers certains lieux particuliers , dont on connaît le type analytique le plus général , convenable à toutes leurs positions quelconques , comme à l'égard du plan ou de la sphère, etc., démontrerait.complétement que les formules de transposition doivent être ainsi constituées , même quand on n'aurait constaté qu'un seul exemple semblable.

La diflBculté étant alors réduite à déterminer les coefiScients ocmstants des expressions précédentes, on y parvient aisément, suivant la marche ordinaire , par l'examen direct de quelques cas particuliers sufSsamment connus. Quant aux termes indépendants dea/j y, z\ et qui, d'après la loi d'homogénéilé, doivent géométriquement être linéaires, ils constituent évidemment les valeurs de j: , j^, z , pour x'= 0, y= 0 , z'= 0 ; et par conséquent, ils désignent nécessairement les anciennes coordonnées de la nouvelle origine, comme on l'avait autrement trouvé ci-dessus. D'ailleurs, leur mode d'association analytique à l'ensemble des autres termes indique clairement que la variation totale résultée des changements simultanés d'origine et de direction , est la somme des variations partielles dues à chaque sorte de transposition successive. On peut donc , pour déterminer les coefiScients des termes variables, simpIiGer les formules en y concevant la fusion des termes indépendants dans le premier membre , sans diminuer nullement la généralité de cette opération , envers des constantes dont la loi d'homogénéité annonce déjà la nature purement angulaire. Cela posé , les trois coefiScients de x', par exemple , s'obtiendront aisément, d'après une hypothèse propre à réduire les seconds membres hm^m\m'\ c'est-à-dire , en faisanty=0, z'=0 et x^= i. Ainsi , ces trois constantes équivalent aux coordonnées anciennes d'un point pris sur l'axe des a:\ à la distance 1 de la

commune origine. Or, si Von considère, d'une part, que ces

coordonnées peuvent être regardées comme les projections de

VIS GKOUfrimiE DANS L*BSPÂGB.

cette distance sur les anciens axes , et d'une autre part , que ces projections sont mesurées par les cosinus des angles correspondants y on reconnaîtra finalement que m, m' ei m'\ désignent respectivement les cosinus des angles de Taxe des x\ avec les trois axes des x, des x ^^ ^^ ^' ^^^ ^^^ semblable détermination eny^^ les coeflBcients dey et de z\ on achèyerait de reproduire exactemrat les formules fondamentales do n* précédent.

Quant aux six relations nécessaires des neuf constantes angulaires, elles résulteraient simultanément de ce que la fonction j:'+.)^*"*"2* ^^*^ rester inyariable en changeant le système des axes rectangulaires, comme exprimant diversement la distance d'un même point quelconque à la conunune origine. Or , si on développe cette condition j:'+y*+z'=r j/^+y+z", d'après les formules précédentes , on trouvera aussitôt les deux groupes de relations diercbés ,

Lorsque les nouveaux axes sont obliques , le second groupe est modifié, conformément à la formule correspondante des distances C^) a:'Hy'+z''H-2^ycosX'Y'+2^VcosX'Z'+V^'cosY'Z't il est digne de remarque que cette modification reproduit spon-

(♦) Au sujet de cette formule des distances , dans l'espace, en coordonnées obliques , il convient de noter la facilité de formation qu'y offrirait le principe des projections, en considérant d'abord la relation résultée du triangle analogue à celui que nous avons considéré envers des axes rectangulaires. On aurait ainsi, en premier lieu, â^ = {z'' — «')« + d^-{-2 («" — z') d cos a , d désignant la distance des projections horizontales correspondantes , et a son inclinaison sur Taxe des z. La formule plane déjà établie donnerait ensuite cP=: cy'' — y)* + la/'—a/)*-\-2{y"—y') (a?''— a;')cosYX, Quant au dernier terme 2{z"—z')dcm, il suffit alors d'y envisager le facteur dcosa comme mesurant la projection de d sur l'axe vertical: car, en la comparant à celles des horizontales y"— y' et ^' — ^» le principe des projections permettra aussitôt de la remplacer par (y"— y'jcos Y2;+(a?''— «?') cosXZ , ce qui achève d*établir la formule chercii^.

PHEMIÈRB PARTIBi GHAPITAE QUATRIÈME. 479

fAAâlIlefit le théorème d'Eoler cmX'Y'^mn-^-m'nl^mf'nl^ dès lorg conçu d'ane manière purement analytique.

144. Pour compléter la théorie de la transposition des axes, il nous reste maintenant à considérer une indispensable transformation angulaire, destinée à dispenser de toute relation étrangère aux formules fondamentales , en rapportant tous leurs coefficients primitifs à trois angles seulement , dès lors pleinement indépendants. Sans doute, une telle réduction fi'eiigerait ici aucune appréciation nouvelle , si on prenait ces trots angles parmi les neuf déjà introduits , et entre lesquels DOnis atons établi six équations supplémentaires , qui permettraient d'exprimer les uns d'après les autres. Mais, àVinspection de ces relations, on voit que les six expressions finales qu'elles fourniraient se trouveraient trop compliquées pour une destination aussi usuelle , à cause des dénominateurs , et surtout des radicaux , dont elles seraient surchargées. Si donc , on devait conserver les angles primitifs , il serait encore préférable de les garder tous > en se résignant à prendre chaque fois en considération effective ces six conditions nécessaires , plutôt que d'altérer autant la simplicité des formules générales en les y insérant ainsi d'avance implicitement. Telle est la seule marche qu'il faudrait habituellement suivre , quelque pénible qu'elle soit réellement, sans l'heureuse idée d'Ëuler qui, étendant à la géométrie abstraite un usage depuis longtemps familier en astrcmomie, a irrévocablement dissipé cette fâchedse alternative 6n choisissant trois nouveaux angles auxquels tous les précédents peuvent se rapporter selon des formules très-simples, dont l'introduction dispense désormais, à cet égard, de toute équation accessoire.

Ge mode consiste à déterminer la situation du nouveau système rectangulaire envers l'ancien en considérant d'abord Fangte f formé avec Taxe primitif des x par l'intersection des

&80 GÉOMÉTRIE DANS L'SSPACE.

deux jdads j// et xy , ensuite l'inclinaison matuelle] 6 de ces plans, et enfin Tangle ^ de leur intersection avec le nouvel ax6 des X. Un tel procédé ne constitue , au fond, qu'une imitation judicieuse de l'usage universel des astronomes qui , depuis Hipparque, caractérisent la situation relative des diverses orbites planétaires 9 d'après la direction de leur trace sur le plan de l'écliptique, leur obliquité par rapport à celui-ci, et F inclmaisoa de leur axe sur la ligne des nœuds. Quoi qu'il en soit de l'originalité d'un tel système angulaire, on ne peut méconnaître sa pleine eflBcacité analytique , puisque la formule fondamentale de la résolution des angles trièdres ou des triangles sphériqaes,

cosa=cos6cos c-|-sin6 sinccosA,.

suffira toujours directement pour y exprimer très^simplenient les huit angles primitifs, le neuvième ZZ' étant ici seul conservé , sous le nouveau nom de 6 , comme égal à Finclinaison mutuelle des deux plans xy et xy. Tout se réduit, en effet, envers chacun de ces angles , à considérer l'angle trièdre dont il forme une face, et dont l'arête opposée est toujours l'intersection auxiliaire OT (fiq. 82) de ces deux plans. Ainsi , pour transformer cos X'X, premier coefficient de la formule de or, on aura, dans l'angle trièdre X'XT,

cos X'X=cos ? cos >|»+sin 7 sin {» cos 0;

on calculera dç même cos Y'X d'après l'angle trièdre T^XT, et on pourait même le déduire du précédent , par le chargement de ^l' en 90*'-|->|/ : quant à cos Z'X, l'angle trièdre correspondant Z'XT aura une face rectangulaire ZT , ce qui simplifiera la formule de transformation, en la réduisant au second terme, qui donnera cos Z'X = sin 7 cos (QO'' + 6) = — sin ? sin 0. Les trois coefficients propres à la formule de^ se trouveront comme les précédents, et pourront d'ailleurs en dériver , si on y remplace