PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÂHE

sobstitae de pareils rapports aux trois cosinus considérés dans la relation cos^X+cos^Y+cos^'Zssl, elle conduira à reconnaître que le carré de toute aire plane équivaut toujours à la somme des carrés de ses projections simultanées sur trois plans rectangulaires ; en sorte que , d'après nos explications antérieores , cette proposition remarquable constitue , au fond , une simple conséquence indirecte du grand théorème de Pythagore.

Quant à l'angle d'une droite ,X3=:mz4-a>J'='*24-6, avec * un plan , z=ax'\'by-\'C , il serait encore plus facile de le ramener aussi à celui de deux droites , soit en comparant la droite donnée à sa projection sur ce plan, soit, ce qui sera analytiquement bien plus commode , en substituant également au plan sa normale a:= — az^y= — bz, pourvu qu'on prît ensuite le complément de l'inclinaison obtenue. La formule fondamentale du chapitre précédent conduirait ainsi à

1 — ma-^nb

sinV=

On y vérifie aussitôt la condition ci-dessus trouvée pour le paralléhsme entre la droite et le plan : quant au cas de rectangularité y la relation se décomposerait spontanément en deux antres , suivant un mode algébrique déjà expliqué.

Enfin, le dernier élément indispensable à la théorie analytique du plan consiste à déterminer l'intersection de deux plans d'après leurs équations. Cette question est aussitôt résolue que posée , puisque la droite cherchée se trouve analytiquement exprimée par la coexistence de ces deux équations, suivant les explications fondamentales de l'avant-dernier chapitre. Si, d'ailleurs, de ce premier couple analytique, on veut passer , comme il con- ^ndra ordinairement , au couple final des plans projetants , celte transforniMion n'offrir^ aucune difficulté propre à la re-

46& GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAC«.

cherche actaelle, et s'accomplira régalièrement, en chaque cas, d'après la double élimination prescrite , qu'il serait inutile id de formuler d'avance.

Il ne sera pas plus difficile de déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan , en combinant leurs trois équations simultanées pour obtenir les trois coordonnées du point commun.

Ces deux questions se résolvent évidemment, en ce cas, selon le môme mode analytique qu'envers toute autre sorte de lieux géométriques , surfaces ou lignes.

140. Parmi les nombreuses recherches composées qui, dans la théorie analytique du plan , peuvent résulter de la combinaison dp ces trois problèmes indispensables , il faut ici , comme envers là ligne droite, distinguer surtout, soit à titre de type, soit en vertu de son utilité réelle , la détermination de la distance/? d'un point (j:', y, z')àun plan(z=aj:+6x4-c). D'après les équations de la perpendiculaire correspondante ,

on peut calculer les coordonnées de son pied; mais, comme la longueur cherchée dépend seulement de la différence de ces coordonnées à celles du point donné, on abrégera sensiblement l'opération algébrique en écrivant d'abord Téquation du plan sous la formez — z'=a(j: — jc')-f ^(^— y)+</, d désignant provisoirement le polynôme connu ^zj;'-j-^y +c — z'. On trouvera ainsi la formule très-usuelle

assez simple pour être aisément retenue , et dont le souvenir se liera d'ailleurs profondément à celui de la formule analogue en géométrie plane , qui en constitue naturellement une simpk modification spéciale. Il serait facile de l'obtenir trigonométri-

PREinÈRE PARtlE , CHAPITRE TROISIÈME. iip69

qaement de la même manière qae celle-ci y à Faide da triangle rectangle formé par le prolongement de la verticale da point donné jusqu'au plan donné. On y remarque , comme dans le cas plan, qu'elle est rationnellement composée en fonction des coordonnées du point. Au reste , la rationalité de cette formule et l'irrationalité de celle du chapitre précédent pour la ligne droite étaient susceptibles de prévision géométrique , en considérant, de part et d'autre, le lieu naturel des points équidistants, dont l'éqnation doit être évidemment du premier degré à l'égard du plan et du second envers la ligne droite.

La formule précédente fournirait commodément Téquation du plan bissecteur de Fangle de deux plans donnés , en y voyant le lieu des points équidistants de ceux-ci ; ce qui , en quelques occasions utiles , éviterait de longs circuits algébriques.

On peut ausisi l'appliquer heureusement , en un cas plus important , pour obtenir l'expression de la moindre distance de deux droites données , abstraction faite des points correspondants, comme je l'ai annoncé à la fin du chapitre précédent, n suffit , en efiTet , de substituer à cette distance celle , évidemment» * équivalente , d'un point arbitraire de Tune des droites au plan qui lui serait mené parallèlement par l'autre. En utilisant convenablement ce qu'un tel calcul renferme de facultatif, on trou-

vera sans peine la formule finale — .

Sa composition satisfait aussitôt à l'évidente condition de s'annuler spontanément quand les deux droites se rencontrent : je laisse au lecteur le soin d'y apprécier le cas exceptionnel du parallélisme, où elle semble d'abord devenir indéterminée.

Toute autre explication spéciale serait ici superflue envers les questions composées relatives à la théorie analytique du plan , et qui , essentiellement inapplicables , ne peuvent offrir d'utilité didactique qu'à titre de simples exercices , dont Teffi-

470 GÉOKéTHIE DANS L'BSPAGE.

cacité résulte sartoot de leur spontanéité. J'engage ienkuient le lecteur à chercher ainsi , d'après les coordonnées de quatre points quelconques de l'espace, soit le volume du tétraèdre correspondant , soit les rayons des deux sphères qui lui seraient inscrite et circonscrite : sans même adiever ces lalMMrieiix calculs , leur institution nette exercera utUement à la combinaison familiéare des trois éléments essentiels de la théorie préliminaire que nous venons d'établir.