PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME

partout <f par 90^ -f?- Enfîu, la transformation sera encore plus facfle qnant à z , à cause de la rectangularité spontanée d'une des faces dé diaque angle trièdre , le dernier coefficient étant d'aillenrs conservé. C'est ainsi que les formules de transposition prennent aisément leur forme définitive , heureusement affranchie de toute relation extérieure ,

xz=.3d (cos <p cos ^^ +sin cp sin ^^ cos 6) + +y( — cos<J)Sinl^^-sin«pcos^^ cosô) — z'sin <psin 6-f-ût

yz=^x' ( — sin 9 cos -^^cos <ï> sin ^ cos 6) +

+y (sin «p sin ^P + cos q>cos ^ cos 6) — z' cos y sin 6+6

z=a/ sin 4^ sin 6+y cos^sinô+z' cosô-i-c.

145. Nous devons, enfin, apprécier une importante modification spéciale de ces formules générales, destinée à rapporter Téquation d'une courbe plane à des axes pris dans i^on plan , de manière à permettre d'étudier désormais cette ligne d'après une équation unique, suivant le mode plan. Si les nouveaux axes des af et des y appartenaient au plan ^ supposé connu , de la courbe donnée ,X , (^ , r . ^i) = 0 ,/ (x , ^ , z) = 0 , il suffirait alors de substituer les formules précédentes dans l'une ou l'autre de ces équations, ce qui, en ce cas, serait indifférent, et d'y faire ensuite z'=0, ce qui devrait tenir lieu, d'après l'hypo thèse, de la seconde équation. Mais, on peut d'abord abréger beaucoup l'ensemble de ce calcul, en supposant z =0 avant d'accomplir la substitution , quand la courbe est réellement plane, et que son plan est préalablement déterminé, comme nous le concevons en ce moment. De plus, la disponibilité des nouveaux axes rectangulaires dans ce plan permet d'opérer une simplication encore plus importante , en plaçant leur origine sur Taxe vertical , et dirigeant l'un d'eux parallèlement à la trace horizontale du plan de la courbe , de manière à annuler, d'ane part les constantes linéaires a et b^ d'une autre çatt

482 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACË.

l'angle *}. L'ensemble de ces modifications réduit les formules primitives à celles-ci

jraj/ cos f +y rin r cos e, jrs— x' sio f -fy 006 f C06Q)

z=y iino-i>c,

qui ne contiemieât que trots données , une linéaire et deux angulaires , relatives an plan de la courbe considérée. On conçoit qu elles doivent être fort usuelles dans toute la géométrie à trois dimensions, où Tétude des surfaces exige presque foujours l'appréciation de leurs sections planes , qui ne saurait devenir sulfisamment nette qu'autant qu'on pourra l'accomplir d'après une seule équation , directement correspondante au plan de chaque courbe. Il faut d'ailleurs concevoir que, quoique la situation ainsi assignée aux nouveaux axes doive être , en général , la plus propre à faciliter , envers de telles courbes, la transition analytique de la géométrie à trois dimensions à la géométrie plane, elle pourra n'être pas toujours la plus convenable, soit géométriquement , sott analjtiquement , à l'examea spécial de chacune d'elles. Mais, Une fois que cette étude aura été ramenée au mode plan , les changements d*axes qu'elle pourrait ultérieurement exiger s'opéreront suivant lesrèglèsordinaircs de la géométrie plane, et leur considération de vieindrait entièrement étrangère à notre sujet actuel , ou il s'agissait uniquement d'instituer , le plus simplement possible , ce passage indispensable. L'utilité prononcée de ces formules spéciales m'engage à indiquer au lecteur le moyen de les établir directement , sans les déduire des formules générales de transposition. Or, en écartant le déplacement d'origine , qui n'y peut susciter aucune difficulté, leur formation immédiate est naturellement suggérée par l'analogie spontanée des deux premières avec celles qu'indique la géométrie plane pour changer la direction des ax«s rectangulaires ; car, celles-ci n'en diflërent réellement que par