PRÉAMBULE

147. Toutes les théories générales qae nous avons établies dans la seconde partie de la géométrie plane, s'étendent naturellement à la géométrie à trois dimensions, soit pour leà surfaces, soit pour les lignes, sans exiger ici aucune nouvelle explication fondamentale. Le régime didactique ordinaire oppose seul de véritables obstacles à cette extension spontanée , en dissimulant la généralité intrinsèque des principales conceptions de la géométrie analytique, sous leur vicieuse adhérence à quelques cas spéciaux. Mais , ces divers principes ayant été , dans ce traité , conçus et exposés d'une manière pleinement générale, tout lecteur qui les aura suffisamment compris pourra, de lui-même, les appliquer, sans aucune difficulté sérieuse, à cette nouvelle destination, en y opérant, d'ailleurs, quand il le faudra, les modifications convenables. Cette facile élaboration spontanée, qui constitue l'un des avantages essentiels de la marche que j'ai établie , me permettra ici d'abréger beaucoup l'étude analytique des surfaces, en la réduisant surtout aQ:K seules conceptions qui lui sont vraiment propres, et

486 OliOMÉTAIB DÂlfS L*EflPACB.

qui n'ont aucun analogue en géomélrîe plane : en même temps ces notions supérieures, trop souvent inaperçues jusqu'à présent au milieu d'une foule de détails superflus ou déplacés, seront ainsi plus nettement saisies et plus complètement appréciées. Je vais donc me bornet* maintenant, quant aux difiërcntes théories déjà traitées en géométrie plane, à quelques rapides indications caractéristiques, destinées, soit à faciliter, à leur égard, le travail personnel du lecteur, soit à j signaler quelques modifications dont nous aurons lieu ensuite de considérer l'application usuelle.

La première d'entre elles, relative au nombre de points déterminant s'étend directement aux surfaces , aussi bien dans sa méthode subsidiaire que dans ses principes fondamentaux , sans exiger aucun autre amendement que celui natarellement relatif au nouveau nombre des coordonnées , et qai prescrira de compter désormais chaque point singalier comme équivalent, pour la détermination d'une surface quelconque, non plus à deux points ordinaires^ mais à trois. Envers les lignes i la modification est plus profonde et plus délicate , à cause de la dualité actuelle de leur expression analytique, dont l'influence, quoique toujours facile à prévoir, a été , sous ce rapport , mal appréciée quelquefois. Nous avons eu déjà l'occasion de la caractériwser pour la ligne droite, de manière à indiquer nettement sa tendance générale. Il faut surtout y remarquer que le nombre de points déterminant, à l'égard d'une courbe quelconque , est alors la moitié de celui des constantes arbitraires ou des coeflScients indéterminés propres au couple analytique le plus simple et le plus général dont elle soit susceptible , puisque chaque passage fournit maintenant deux relations au lieu d'une seule. Ce nombre total de constantes ou de coeflScients doit donc être toujours pair , et il y aurait un contre-sens grossier à le supposer jamais impair : s'il se pré-

SBCOKDB PAATIfi, PAéAMfiULE. hSt

sentait d^abord comme tel , ce serait un motif sni&sant d*assarer , ou que les équations n'ont pas toute la généralité convenable , ou qu'elles contiennent quelque paramètre superflu. Par exemple, en concevant le cercle d'après la rencontre d'une sphère et d'un plan, ce qui constitue, dans Teâpâce, son meilleur mode d'expression analytique, ses équations semblent être

mais, puisqu'elles renferment sept constantes arbitraires, l'une d'elles est certainement inutile t eu effet, quoique le plan doive être unique, la sphère ne Test pas, et pourrait varier sans faire dmnger le cercle -, il faut donc restreindre aisez cette surface pour qu'elle devienne aussi déterminée qtie l'autre. On y par^ vient commodément en assujettissant son centre à faire partie du plan codsidéré ; en sorte que les équations du cercle prennent finalement la forme pleinement convenable

qdl offre d'ailleurs accessoirement l'avantage géométrique dé ne contenir que des constantes directement relatives à la courbe propol^éé. Un tel éclaircissement sur ce cas usuel indique asse2 cotntnentil faudrait procéder envers tout autre.

Nette théorie des tangentes aux courbes planes conduit aisément à former l'équation du plan tangent à une surface quelconque , en concevant ce plan comme le lieu naturel de toutes lés tangentes aux diverses sections planes de la surface autour du point considéré. Or, cette tiotîon géométrique , familière en géométrie descriptive, peut être fondée, indépendamment de toute analyse, sur la considération directe de la normale , immédiatement caractérisée par sa propriété de minimum. l)ès lors, la formation de l'équation du plan tangent ne peut offrir aucune difficulté , puisqu'elle se réduit aussitôt à exprimer

hSS GÉOMÉTRIB DANS L^ESPACE.

qu'il contieat deux droites , préalablement obtenues comme tangentes à deux courbes convenablement choisies sur la surface proposée/ (x, ^, 2)=0. Les coupes les plds favorables résul* teront des plans ^==r, , x= x, , menés, du point de contact donné (:r„ ^,, z.), parallèlement à deux des plans coordonnés leurs équations propres seront, respectivement,/ (x, y,^z) = 0, /• (x, , j^, z) = 0 ; elles découleront de celle de la surface , en y supposant constants^ ou x. Ainsi, les équaticms des tangentes correspondantes deviendront, d'après notre règle fondamentale,

ri f ^

Pour que ces droites soient contenues dans le plan cherché s— z, = a (x— j:,)+6 (^—.^,), ses ooeflBcients angulaires a et ô

A fr

devront être respectivement égaux aux fractions — -jr^et — -r^. L'équation du plan tangent sera donc finalement

On en déduira facilement les équations de la tangente à une courbe quelconque, analytiquement représentée, de la manière la plusgénérale, par le couple <p (x,^, z) =0, ^ (j:,^, z) =0, en concevant géométriquement cette tangente comme Tintersection des plans tangents menés, du point considéré, aux deux surfaces correspondantes. Si Ton employait le système des cylindres projetants, on ramènerait plus directement la question à la géoméirie plane, puisque les projections de la tangente cherchée devraient toucher les projections respectives de la courbe : mais, au fond , ce mode de rédaction ne constituerait encore qu'un cas particulier delà notion précédente. D'après l'ensemble de cette appréciation, on voit que notre méthode fondamentale des tangentes s'étend spontanément à la géométrie a trois dimensions , soit pour les surfaces, soit pour les ligues, et