SECONDE PARTIE, PRÉAMBULE

en y conservant le même degré précis de généralité; en sorte qu'elle s'y trouve pareillement établie, en principe^ envers tous les cas possibles , mais également restreinte ici , dans son application effective , aux seules équations algébriques , préalablement rendues rationnelles et entières , par suite d'une semblable influence de la faible instruction analytique exigée en ce traité.

En étendant aux surfaces la définition des diamètres, ces lieux, qui alors deviennent aussi des surfaces, pourront s'obtenir analytiquement de la même manière qu'en géométrie plane, en appliquant chacune des deux méthodes générales que nous y avons établies , avec des modifications trop évidentes pour nécessiter maintenant aucune explication. On pourrait aussi opérer une semblable extension envers la méthode supplémentaire destinée à déterminer spécialement les diamètres rectilignes, ici transformés en diamètres plans : seulement la complication supérieure des nouvelles formules de transposition entraverait beaucoup l'exécution habituelle des calculs qu'elle prescrit.

Il est encore plus facile d'étendre aux surfaces le principe analytique propre à notre théorie des centres, soit à l'égard d'une équation quelconque , soit sous la forme spéciale qui convient aux équations algébriques proprement dites. Envers celle-ci, on pourra même remarquer que , quoique la coexistence de trois variables y multiplie nécessairement les combinaisons d'exposants, les conclusions usuelles restent pourtant identiques; car, après avoir ainsi apprécié tous les cas, on reconnaîtra finalement que les différents termes continuent à changer ou non de signe, parle changement de signe simultané des trois coordonnées, selon que leur degré est impair ou pair. Le déplacement d'origine indéterminé, destiné à la détermination du centre , sera donc toujours dirigé vers la suppression

4M GÉOHÉniB DANS l'ESPACE.

des termes de deg^ré impair dans les équations de degré pair, oa réciproquement.

Sî Ton considère, enfin , notre théorie analytiqtt3 de la similitude , surtout sons sa dernière forme , on reconnaîtra directement que son extension spontanée aux surfaces n'exige aucune modification , et ne suscite d'autre difficulté nouvelle que l'inévitable complication des calculs de transposition qu'elle exige envers les cas les plus généraux, son principe restant d'ailleurs évidemment identique. Rien n'empêchera non plus l'applicationconvenable , sous les mêmes conditions fondamentales qu'en géométrie plane, de la méthode subsidiaire destinée à dispenser souvent d'une telle élaboration , et qui acqtierra ainsi un plus grand prix en suppléant à des opérations algébriques devenues plus pénibles.

148. D'après l'ensemble de cette rapide appréciation , toutes nos conceptions de géométrie générale relatives à l'analyse ordinaire concernent donc essentiellement l'étude des courbes planes , et ne présentent ensuite , à l'égard des surfaces , qu'une simple extension spontanée , dont l'accomplissement n'exige , au fond , aucun nouveau principe important qui soit vraiment propre à une telle destination : je peux assurer d'avance qu'il en est à peu près de même pour les diverses notions géométriques qui exigent l'analyse transcendante. Ainsi » en suivant ici le même plan que dans la géométrie plane, sa seconde partie semble d'abord s'effacer naturellement , ou ne devoir consister qu'en une sorte d'imitation facile. En outre , les explications fondamentales que nous avons établies sur la discussion. géométrique des équations à trois variables paraissent également tendre à faire spontanément disparaître la troisième partie de ce système didactique , puisqu'elles ramènent , en général , la discussion des surfaces à l'examen de leurs diverses sections planes, sauf les embarras supérieurs que suscite alors

SECOrofi PAETIfi, P&ÉAaiÉVLË. 401

la eoaeeirtration finalo des résultats obtenus. Quel peut donc être iei Tobjet propre de notre étude générale des surfaces*, d'où semblent écartés d'avance les deux ordres essentiels de difficultés analytiques envers la double relation élémentaire entre l'abstrait et le concret?

Pour apprécier convenablement le caractère , éminemment nouveau ^ de l'élaboration fondamentale qui nous reste à accomplir, il faut concevoir, dans le système total des spéculations géométriques ^ deux points de vue également universels, qoi sont profondément distincts, quoique intimement liés, Fun abstrait , l'autre comparatif. Sous le premier aspect , essentiellement propre à la géométrie plane , il s'agit d'instituer les moyens analytiques d'étudier les propriétés générales des formes quelconques : c'est ce que nous avons fait , d'abord envers les lignes , et par «uite quant aux surfaces ^ pour les conceptions suffisamment accessibles à l'analyse ordinaire , et auxquelles il resterait seulement à joindre les théories plus profondes qui exigent l'analyse transcendante. Au contraire , le second point de vue , où l'on apprécie l'application collective de ces diverses méthodes abstraites aux différentes figures géométriques afin de les classer conformément à l'ensemble de leurs affinités réelles , est jusqu'ici resté presqu'entièrement étranger à la géométrie plane , comme je l'ai plusieurs fois indiqué , surtout au début de sa troisième partie. C'est à la géométrie à trois dimensions qu'il appartenait nécessairement de constituer le nouvel aspect fondamental de la science géométrique , ultérieurement susceptible , sans doute , d'être convenablement étendu à la géométrie plane , où il laisse aujourd'hui , à beaucoup d'égards , une immense lacune. L'étude des courbes , plus simple et plus directe , devait essentiellement fonder, sous la grande impulsion cartésienne^ la géométrie générale proprement dite , par les travaux graduels des suc-

(.92 GÉOMÉTftlE BANS L'BSPACB.

cesseurs de Descartes pendant les deux derniers siëdes. Mais , la géométrie comparée , non moins indispensable , et d'ailleurs plus féconde , quoiqu'elle ne pût surgir qu'après , n'a oommencé à se caractériser que dans l'étude , plus yaste et plus variée , des surfaces , d'après l'éminente conception fondamentale de Monge sur leur classification rationnelle , dont l'analogue n'existe encore aucunement en géométrie plane. Notre travail actuel est donc destiné surtout à établir convenablement , autant que le comporte la seule analyse ordinaire , cet(e nouvelle idée mère , qui constitue , à mes yeux , le plus grand pas qu'ait pu faire le système des conceptions géométriques depuis Descartes et Leibnitz , et dont le seul Lagrange , parmi les contemporains de Monge , avait dignement soupçonné la haute portée philosophique , essentiellement méconnue de presque tous les géomètres ultérieurs , devenus de plus en plus insensibles au perfectionnement direct de l'ensemble des pensées mathématiques , par suite de l'empirisme croissant que détermine natarellement le morcellement exagéré delà culture scientifique.

Cette indispensable étude , principal aliment , à la fois scientifique et logique , que la géométrie analytique à trois dimensions puisse spécialement offrir aujourd'hui aux bons esprits , ramènera à de véritables r^lcs , soit fa formation , soit la discussion , des équations de surfaces , du moins pour toutes les familles dont l'équation collective a pu être complètement obtenue jusqu'ici. Les applications naturelles que j'aurai lieu d'y expliquer permettront d'ailleurs à cette élaboration finale de remplir accessoirement un oflBce correspondant à celui de notre quatrième partie de la géométrie plane , en faisant suffisamment connaître les principales propriétés caractéristiques des diverses surfaces du second degré , dont toute appréciation plas particulière serait ici superflue et ne tendrait réelleœoot quà détourner l'attention de notre objet essentiel,

SECONDE PARTIE, CHAPITBB PfiEMIEB. i^H