CHAPITRE PREMIER

Motions fondamentales sur la classification rationnelle des surfaces.

149. L'étude générale des surfaces étant natarellement plus difficile que celle des lignes , on peut s'étonner d'abord que leur classification rationnelle soit pourtant beaucoup plus ayancée , à tel point que la géométrie comparée n'est même dogmatiquement ébauchée jusqu'ici qu'à leur égard , comme nous l'avons souvent recoqnu en géométrie plane. Mais une appréciation plus approfondie doit entièrement dissiper ce qu'un tel contraste logique semble offrir de paradoxal , en faisant sentir que, par suite de la multiplicité plus étendue et de la variété plus prononcée inhérente à leur complication supérieure, la comparaison universelle des surfaces donne lieu nécessairement à des caractères plus tranchés et à des rapprochements mieux appréciables que ne saurait le permettre celle des lignes. Une pareille opposition fondamentale se manifeste , en vertu de semblables motifs élémentaires , dans la plus éminente partie de la philosophie naturelle proprement dite , d'où dérivent spontanément les vrais principes de la théorie générale des classifications quelconques , c'est-à-dire dans l'étude des corps vivants , entre le règne animal et le règne végétal : car, le classement des organismes animaux a toujours été beaucoup plus satisfaisant que celui des végétaux , précisément parce que les premiers , étant plus compliqués , et , dès lors , plus multipliés et plus variés ^ ils comportent des comparaisons plus décisives. Quelque singulier que puisse d'abord sembler ici un

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tel rapprochement philosophique à certains esprits mal préparés, ce n'est pas sans dessein que j'indique en passant la relation naturelle de ces deux cas scienti&ques , dont l'inévitable affinité logique a certainement influé sur le peu de progrés qu'a faits jusqu'à présent la géométrie comparée , depuis sa fondation , plutôt instinctive que systématique, par la grande conception de Monge , encore si imparfaitement appréciée : on conçoit ainsi , en effet , que cette sorte de stagnation doit tenir surtout à la vicieuse éducation des géomètres actuels » qui , d'après un empirique morcellement, restent ordinairement trop étrangers aux études les plus propres à développer, à cet égard , des dispositions vraiment rationnelles.

En opposant directement la notion générale des surfaces à celle des lignes , il est aisé de saisir le motif fondamental de la facilité spéciale que présente nécessairement la première sorte de lieux géométriques à l'établissement d'une classification satisfaisante. Car, les surfaces sont engendrées par le mouvement des lignes , tandis que celles-ci résultent du mouvement d'un simple point. Or, un point n'ayant aucune forme appréciable , les divers lieux qu'il produit ne peuvent différer que suivant la loi de ce mouvement , sans laisser' d'accès à aucun attribut caractéristique , qui puisse permettre d'instituer à la fois des 'distinctions tranchées et des rapprochements généraux, double condition indispensable à tout classement régulier. Les surfaces, au contraire , se rapprochent et se distinguent spontanément d'après la nature de leurs génératrices ; puisque la même ligne , mue diversement , peut engendrer une infinité de surfaces différentes , dont les propriétés respectives seront néanmoins essentiellement analogues, en vertu d'une telle communauté d'origine , de manière à constituer aussitôt des groupes vraiment naturels , d'ailleurs plus ou moins étendus. Aussi , en aucun temps , la classification empirique des lieux

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algâbriqaes suivant les degrés de leurs équations n'a-l-elle pu aqaérir envers les surfaces autant de consistance provisoire qu'à regard des courbes : tout en l'employant , les géomètres , même avant Monge , devaient être conduits , par un instinct confus, à sentir son incompatibilité radicale avec le principe évident qui prescrivait de classer les surfaces selon leur mode de génération , de façon à réunir en un même groupe toutes les surfaces cylindriques , en un autre toutes les surfaces coniques , etc 9 sans considérer les diversités de degrés , ou en ne leur accordant qu'une attention très- secondaire.

150. Pour établir convenablement , d'après ce principe , la conception fondamentale de Monge sur la classification rationnelle des surfaces , il faut en apprécier d'abord la nature géométrique, ensuite l'expression analytique, et enfin constituer l'harmonie nécessaire de ces deux ordres généraux de notions élémentaires.

Sous le premier aspect^ nous devons ici nous bornera carac tériser rigoureusement l'idée de famille^ seule pensée hiérar chique qui soit encore suffisamment élaborée en géométrie comparée. Deux surfaces ne sauraient appartenir à une même famille géométrique qu'autant qu'elles sont engendrées par une même ligne : mais cette indispensable condition est bien ]oin de suffire ; elle donnerait une notion beaucoup trop étendue de ce premier groupe naturel. Une même génératrice , en effet , peut convenir à une infinité de familles de surfaces différentes y comme on le voit , par exemple y même envers la ligne droite, d'où résultent indifféremment la famille des cylindres , celles des cônes , celle des conoïdes , etc. , et une multitude d'antres qu'on ne saurait confondre entre elles , malgré les relations spontanées qui doivent y résulter de cette source commune : une ligne plus compliquée , telle que le cerclé , admettant encore plus de variété , doit , à plus forte

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raison , comporter la même remarque. Pour que la famille géométrique soit suffisamment définie , il faut n'y comprendre que des surfaces résultées d'une même génératrice mue suivant la même loi , en laissant seulement indéterminée la directrice qui doit achever de spécifier le lieu produit , en sorte que la diversité de celle-ci constitue réellement Tunique différence es* sentielle de ces surfaces , dont les équations pourront cependant , à ce titre , offrir successivement tous les degrés algébriques , ou même contenir toutes les fonctions transcendantes. Telle est la juste extension des seuls groupes naturels envers lesquels les conditions fondamentales de la géométrie comparée puissent aujourd'hui être regardées comme suffisamment remplies.

Si cette notion devait rester purement géométrique , elle serait essentiellement dépourvue d'efficacité, puisque les études quelconques de géométrie générale ne sont vraiment susceptibles d'un progrès décisif et soutenu qu'autant qu'elles peuvent se subordonner à des conceptions analytiques, ainsi que nous l'avons pleinement reconnu , en géométrie plane , à l'égard même de recherches beaucoup plus simples. Aussi est-ce surtout dans la découverte du nouveau genre d'équations pi:opre à représenter, non plus des surfaces particulières , mais des familles ainsi définies , qu'a dû consister l'émineut mérite de Télaboration fondamentale de Monge , avant laquelle les géomètres avaient dû s'élever quelquefois à une pensée tellement naturelle , sans pouvoir lui donner aucune suite importante, faute d'en avoir conçu la représentation analytique.

Cette indispensable représentation repose sur la considération habituelle d'une nouvelle sorte d'équations à trois variables , contenant une fonction arbitraire , mais dont le sens est néanmoins nettement appréciable, quoique plus étendu que celui des équations ordinaires, où l'indétermination se réduit commune-