SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREWER

ment anx seuls coefficients» en affectant tout au plus les exposants. Ilimported'abord de concevoir abstraitement une telle îuterprétation des équations de la forme/, (j:, ^,2) = ^ (/^ («^ï^» 2))

oa, ce qui est équivalent, + {f^{pC'^y^ ^)'if*{p^tyi z)) = 0, les caractéristiques grecques ^ et x|^ désignant des fonctions entièrement arbitraires , tandis que les caractéristiques romaines/ et /, indiquent des fonctions déterminées , suivant une notation qae je maintiendrai habituellement en toute cette théorie , afin d'y mieux éclaircir le discours analytique. Or, ce qui caractérise directement toute pareille équation à trois variables , c'est la possibilité d'être réduite à deux variables seulement, d'après une transformation toujours assignable. Car, en posant /, (J^j J^> z) = < et /^ (jc, y^ z) = u, ces deux équations déterminées permettront , en chaque cas , de rapporter deux des anciennes yariables aux deux nouvelles t et u, et à la troisième d'entre ell^ , suivant des formules exactement définies ,

Bôs lors , la substitution de ces formules dans une équation particulière donnée / (j:, j^, z)=0 devra la rendre spontanément indépendante de z, si elle est vraiment susceptible de oonfcurmité avec le type proposé , qui constitue une relation , ^=7 (u) ou ^|» (^, «)= 0, entre r et u seulement. Une telle disparition de z, qui ne saurait certainement avoir lieu envers une équation prise au hasard, sera donc propre à caractériser, par un irrécusable symptôme analytique, les diverses équations spéciales que ce type peut embrasser, à l'exclusion nécessaire de toutes les autres. Ainsi, les équations qui établissent une relation arbitraire entre deux fonctions déterminées de trois variables ont, en elles-mêmes, une acception nettement appréciable , quoique plus éleudue que celle des équations ordi^

paires,

488 GÉOMÉTEIB DANS L'ESPACE.

Dans cette explication élémentaire , il importe de sentir qae tonte sa réalité analytique repose sur la coexistence de trois yariables a^u moins , et qu'elle s'effacerait nécessairement à l'égard des équations à deux variables , qui ne sauraient comporter une telle diminution de (Pluralité, tendant alors à détruil^ tonte idée de variation, en fixant la valeur de Tunique variable ainsi consetrée. Là nôtâtioU analogue etlvèrs deux variables seulement, /. (jr, ^)= t (/. {fx,y)) ou ^ (/.(j:, y) ,/.tx, y))=0, désigne 9 en effet, une équation tout aussi pleinement arbitraire que si Ton écrivait simplement ^ = ^ (jr) ou ^ (jc, y) =0. En y appliquant le symptôme précédent, on reconnaît aussitôt qu'il cesse alors d'être caractéristique, puisque cette réduction atix nouvelles variables/ et u pourrait alors s'opérer indifféremment, d'après chaque mode de transformation, en une équation quelconque entre x eiy. Ce contraste nécessaire des deux cas analytiques mérite une soigneuse appréciation, comme indiquant spontanément, d'après ce qui va suivre, Timpossibililé radicale d'étendre aux courbes le pfîdcipë de classification que nous allons appliquer aux sarfaces ; œ sorta que , si jamais le classement des lignes devient vraiment rationnel, ce sera inévitableinent d'a|N*ès une tout autre idée mëre, dont rien jusqu'ici ne saurait indiquer le germe |>ropre.

Nous pooTons maintenant constituer directement la concep* liOD fondamentale relative à la classification rationneUedes surlaoes 5 en étaUissant une exacte harmonie élémentaire entr« les deux notions générales , l'une géométrique, l'autre analytique, qui viennent d'être expliquées , de manière à montrer que ces sonveUes équations ,

/. {^, ^ »2) = y C/a [x, y, z)) OM^ (/, [x,y, z),/, (x, y, z)) = 0,

sont natureUement destinées à représenter, son de simples surfaces, mais des familles proprement dites , suiyant la défini-