SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER

tioo précédente. Il faut , pour cela , discuter le lieu géométrique d'une telle équation , dans la vue d'y saisir ce qu'il offre deyraiment caractéristique, abstraction faite de toute hypothèse particulière sur la nature de la fonction arbitraire f ou •^, Or, à cet effet, il suffit de remarquer que, quelle que soit cette fonction, l'équation proposée est composée de façon à rendre idéritablement constante l'une des deux fondions déterminées toutes les fois que l'autre sera supposée l'être. Si donc on conçoit le lieu quelconque de celte équation coupé par une suite de surfaces auxiliaires résultées de l'équation y, (j:,^', 2;)=a, où a désigne un paramètre arbitraire, la seconde équation des sections correspondantes sera nécessairement/, («^9^» z)=b^b étant un autre paramètre analogue, dont la relation au premier reste seulement indéterminée, tant que la fonction ^ ou ^ n'est pas déGnie. Ainsi, toutes les hypothèses relatives à cette darnière fonction auront cela de géométriquement commun que les surfaces correspondantes , malgré leurs inévitables différences , seront pourtant toujours composées des lignes représentées par les équations/, (J^, j", 2) ='»>/. i^y^i z) = 6. La nature de ces génératrices, où les constantes aei b restent seules arbitraires, est entièrement déteriâinée, ainsi que la loi de leur mouvement; la diversité réelle du lieu géométrique , d'après l'indétermination de la fonction ?, pourra toujours être réduite à n'affecter que les directrices successivement combinées avec cette commune gteératrice, puisque chaque relation des paramètres équivaudrait sans cesse à une condition de rencontre entre cette courbe mobile et chaque courbe fixe. Nous sommes donc conduits à regarder un tel type analytique comme représentant une Téritable famille de surfaces, suivant l'exacte définition préalable de ces groupes géométriques : on ne peut plus conserver aucune incertitude sur la correspondance fondamentale des deux modes d'indétermination y Tun concret, l'autre abstrait.

5Ô0 GÉOURTRiB DANS L^ESPACË.

L'analyse transceadante complète heureasement cette eo-" relation nécessaire , en permettant de remplacer ces équations directes contenant une fonction arbitraire , par des équations indirectes entre les deux dérivées partielles de la variable dépendante, où cette fonction est entièrement éliminée , et qui deviennent dès lors mieux calculables, sans qu'une telle transformation altère d'ailleurs aucunement l'interprétation géométrique. Mais , quoiqu'un tel complément général soit certainement indispensable pour bien apprécier la puissance et la fécondité de la grande élaboration de Monge , nous pouvons déjà cependant , avec la seule analyse ordinaire , constituer ici essentiellement la classification rationnelle des surfaces , de manière à retirer immédiatement , de cette intéressante étude , une importante efficacité scientifique , aussi bien qu'une haute utilité logique.

151. D'après cette nouvelle idée mère , les familles de surfaces peuvent être multipliées, d'une manière presque machinale , avec autant de facilité que les espèces de courbes en géométrie plane, en attribuant, même au hasard , diverses formes analytiques aux deux fonctions , /*. et/, , qui caractériseront , en chaque cas , le mode de génération. Quoique ces hypothèses successives puissent quelquefois coïncider géométriquement, par suite de l'infinie diversité propre à la représentation analytique d'une ligne dans l'espace , on conçoit cependant qu'elles fourniront le plus souvent des familles vraiment distinctes , dont la plupart n'auraient jamais été considérées auparavant, et auraient encore moins reçu un nom propre , qui n'a été a^ cordé jusqu'ici qu'à quelques familles usuelles. En chaque cas, la discussion générale du type analytique proposé , suivant la marche fondamentale que je viens d'établir, caractérisera tonjours, nettement , avec plus ou moins de facilité d'aillears, la famille correspondante.

SBGOMBE PAâTIE, GHAPIT&B P&EMIËH. SOI

Soît, par exemple , réqnation J^+y — z=<p(x— ^+s). Les équations de la génératrice seront donc jc -{•jr — z = a , X — y^z=b ; or, cbacone d'elles représentant nn plan de direction constante , dont la distance à l'origine reste seule arbitraire 9 il s'ensuit qne la famille proposée est engendrée par ' ane droite parallèle à la ligne flxe x-^y — z=o, j:— j^-hz=0. Ainsi , qnelle qne puisse être la fonction ^ , l'équation donnée a pour lieu géométrique une surface cylindrique ; et ces deux dernières équations , ou leur équivalent plus simple x=0, ^= z , indiquent que ce cylindre est toujours parallèle à la bissectrice de l'angle de deux des axes coordonnés.

Considérons encore l'équation un peu plus compliquée

a:-hr+2=T — ^ ,

OÙ la génératrice sera représentée par x+y-^z = a^ X'-^y=zhz, On y reconnaît aussitôt une ligne droite, mais dont la direction n'est plus invariable. En cherchant à saisir ce qoe la génératrice offire de fixe , afin d'apprécier la famille géométrique correspondante , il est aisé de découvrir que ces surfaces résultent toujours du mouvement d'une ligne droite parallèlement à up plan donné j:-f'J^-|'^=0 et lelong de la bissectrice de l'angle des deux axes horizontaux.

Examinons, en dernier lieu, l'équation 2 = 7 (jr^) , relative à une famille qui n'a pas été signalée. Sa génératrice aura pour équations z = a, xy=ib ; ce qui annonce une hyperbole dont le cmtre parcourt l'axe vertical , tandis que ses asymptotes demeurent parallèles aux axes horizontaux , son sommet se mouvant d'ailleurs arbitrairement dans le plan bissecteur de deux des plans coordonnés.

Je ne saurais trop recommander au lecteur la multiplication spontanée de ces nouveaux exercices de géométrie analytique ,

502 GÉOBIÉTEIB DANS L'BSPAGB.

les plus propres de tons à faire profondément sentir là relation nécessaire de l'abstrait an concret , qai s*y trouve natordlament plus vaste et en même temps plus condensée qâ'en auccm autre genre de discussion géométrique des équations. Sans jamais dépasser, envers les deux fonctions caractéristiques, dés formes suffisamment simples , comme l'exige là difficalté snpérieure de telles appréciations , dont le résultat Aftat manquerait autrement de la netteté convenable à leur destinatiob logique y il sera facile de varier assee les famflles correqwidantes pour acquérir bientôt un sentiment ùsud de la eoneei^tion fondamentale de Monge.

152. Ce grand principe prescrit directement la mur^hit générale suivant laquelle on doit toujours procéder à la formation de l'équation collective propre ^ l'ensemble de chaque famille, quand elle sera géométriquement définie. Il suffira d'élaborer analy tiquement cette définition , de manière à obtenir les équations de la génératrice avec deux constantes artiitrâires seulement. Une telle réduction sera nécessairem^dt toujours possible , en ayant égard à toutes les circonstances caractéristiques , si ce groupe naturel est convenablement Institué , c'est-à-dire , s'il a le juste degré d'extension qui correspond à une famille proprement dite. D'après cette condition préalatde, l'équation collective de la famille se formera toujours en résolvant ces deux équations de la génératrice rdativement aux deux paramètres , ainsi rapportés aux coordonnées variables, afin d'indiquer entre ces dcUx fonctions une relation totalement arbitraire.

Quand l'ensemble des conditions proposées laissera pins de deux paramètres arbitraires dans les équations générales de la génératrice, ce symptôme analytique indiquera sans équivoque que le groupe considéré est trop vague pour Pétat présent de la géométrie comparée , et comprend rèellëâient âne infitiilê de

SE€ONDB MRTIE, CHAPITRE PREMIER. SOS

familles de surfaces. Lorsque, an contraire, ces équations pourront être amenées à ne plus contenir qu'un seul paramètre variable , il est évident que le lieu géométrique , cessant de constituer une véritable fanaille, se réduira à une espèce déterminée, dont l'équation se formerait en éliminant, entre ces deux équations , cet unique paramètre , do manière à ne laisser rien d'in* décis dans la composition analytique, sauf les valeurs des coefficients.

Pour déterminer, en sens inverse, si une surface particulière donnée appartient ou non à une famille donnée, les règles générales prescrites au n° 150 permettront toujours de le décider, en les appliquant de façon à reconnaître si l'équation spéciale proposée peut ou non rentrer abstraitement dans le type analytique correspondant. Telle (âst, à œt égard, la seule question judicieuse qui puisse être réellement posée. Car, demandera quelle femHle appartient chaque surface particqli^re, comtitue évideanuent uR problèfl^e trop indéterminé , pui^pe la rn^me rarfaee peut être raogée parmi une infinUé ée f^ifj^i» diffé- MBtes^ d'après les divers modes de génération dont elle est toujotm susceptible ; quoique éoii èlnde spéciale ffiism eni^ûCe exiger, entre ces divers poials do vue géomMriqiies^ lyp d^pix «iniifae ^ qui d'aitteurs varier^ suivaot la nature des neç^ei^s poèrMiivies. On doit regarder tonie surf^ice ^xyiiBae p^vaçt être mgendFée su ecessivemeoi par ehaisùne d^s Ut9^ s^'i^^ y peut tfàeer . Mai» cette inévitabiie iadéteirmiQ^tipa n'a^i^^ pu}lement le réalité fondamentale do notre QPOfceptipi^ géométri- (fue sur les iarailles de surfaces , toujooirs eara0lér|sées par }a natate de la génératrice et la loi de son |l]iOllv^fO0Qt ; car , si €haqH0 svrfaee peut oontenir une ii^iûté 4o oourjbo^ 4i#tiiictps, 11 mi existe eneore davantage qui n'y peuvent jamaia tftre situées s le durcie est, par exemple , la seule courhe pl^ne qu'on pirièse décrire sâr une «pbère.

5M GÉOlDiTaiE DAirs L*nPA(X.

Après avoir établi , dans c^ premier chapitre , toutes les notions essentielles relatives an classement rationnel , à la fois analytique et géométrique , des surfaces quelconques , il nous resteà mieux caractériser ces principes généraux par leur application spéciale à l'étude successive des principales familles qui ont été jusqu'ici régulièrement introduites en géométrie comparée.