CHAPITRE IL

Théorie des surfaces eyliodriques.

153. Cette famille, la plus simple et la plus usuelle de toutes , comprend les surfaces engendrées par une droite de direction fixe , glissant sur une ligne qudconque. Les équations naturelles de cette génératrice ,x=:az'|*«»^ = ^2+^9 ^^^ donc immédiatement adaptées à la formation de Féquation collective , d'après les principes fondamentaux du cbapiU*e précédent. UsafSt, pour cela, d'y concevoir fixes les deux coefficients angulaires aetb y en supposant variables les seuls paramètres linéaires a et 6. Puisque les constantes arbitraires s'y trouvent ainsi réduites spontanément à deux , on formera Féquation de la famille en dégageant, suivant la règle , a et € en x, ^, z , afin d'indiquer, entre oes deux fonctions , une relation arbitraire , x — ^ss= ^(^ — bz) , ou ^ {x — az ^y — As)=0. Telle est donc l'équation générale des surfaces cyUndriques , ou tel est du moinà le type analytique le plus simple auquel on puisse ramener toute surface de cette sorte : car, on arncoit d'ailleurs , en principe , que , d'après l'infinie diversité que

8BC0MDB PA&TIB > CHAPITRE DBUXlàlIB. 605

comporte le couple analytique propre à la représentation de cbaque ligne dans l'espace , réqoalion collective convenable à chaque famille poorra prendre une infinité de formes distinctes quoique équivalentes , selon le mode adopté pour formuler sa génératrice. Mais toutes ces formes diverses sont toujours sus* ceptibles decoïncider finalement, par suite des transformations déjà expliquées au sujet des lignes. On choisit donc, envers chaque famille , le mode le plus simple , pourvu qu'il ait une suJDBsante généralité; il correspond au meilleur couple analytique de sa génératrice, et on l'emploie habituellement à caractériser les surfaces considérées. C'est en ce sens que nous consacrerons essentiellement le type analytique x — az=zff{y — bz) à la représentation spéciale des surfaces cylindriques.

Quand on voudra reconnaître , d'après ce type , si une surface donnée/ (^, j^, z) =0 appartient ou non à cette famille , il faudra donc , suivant la règle fondamentale du chapitre précédent, y changer a:—azeiy — bz en ^ et u, c'est-à-dire y substituer t'\-az et U'\-bz au lieu de x et^, afin de voir si le résultat y U+Az, u+bz , z)=0 peut devenir indépendant de z. Mais il importe , à ce sujet , d'apprécier ici un supplément d'explication que je n'ai pu suffisamment signaler dans la doctrine générale , parce qu'il n'aurait pas été assez nettement saisissable : il consiste en ce que cette disparition de z ne saurait jamais être entièrement spontanée ; elle supposera toujours quelques conditions relatives à la disponibilité des paramètres fixes, a et 6, de la génératrice. Aucune surface, en effet» n'est cylindrique en un sens quelconque , même le plan qui , exceptionnellement , se trouve l'être en une infinité de sens : c'est toujours une partie essentielle de la question que de déterminer la direction , habituellement unique, des génératrices de chaque cylindre. Il faut donc concevoir la disparition de z, dans l'équation finale /(^-f^^z, u+frz, z)=0, comme ne

506 GÉOM]éTHIB DANS L*ÊSPAGK.

pouyant jamais s'accomplir qn*en disposant convenaMeiMiit des constantes a et /^ , qui permettront d'abord d'y atmnter II Volonté deux des termes distipcts en z qui les contiennent : agités avoir ainsi disposé de ces paramètres , il faudra que ledits va^ leurs réelles annulent aussi le coefficient total de loot âiutre de ces termes , sans <pioi la surface n^ sera pas cylindrique. Si toutes cm conditions , au contraire , y peuvent être simultanément remplies , sa nature cylindrique sera constatée » étl'oft connaîtra la direction de ses fédératrices : il ne restera plus , pour concevoir nettement sa génération , que de lui assigner une directrice sulBsaniment simple , qui seira le plus souvent Tnne des traces de la surface sut les plans coordonnés.

Consîdjirons j par exen^ple , l'équation La substitution prescrite y fournira l'équation finale

Pour que ce résultat devienne indépendant de z , d'après certaines valeurs de d et 6 , il faut poser Sft=râ, j^kS, et a*+^*=2a+26—- 2 , leS deux termes en tz et en uz ayant dû être ici traités comme distincts , quoique contenant k même puissance de z , puisque les nouvelles variaMes < et ii «e Muraient être confondues parmi les coefficiettts , afta que afib restent vraiment constants. D'après l'accord spontané de oes trois conditions , la surface proposée est certainement cyliiidrique , et les projections de ses génératrices sont paÉ-àBèles aux bissectrices des angles X2! et YZ. Quant à la fe&Se du cylindre , on pourra choisir, par exempta , sa trace librilontale, qu'indique l'équation primitive en y faisant z=0, d'où résulte le cercle jc*+j^^= i . Au reste , on peut remarquer, en général, que, dahs là tbéôrié des sm-foces cylindriques, cette

SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXliMB. 507

trace s'obtiendra toujoars spontaném^iit , en même tçmps que la direction des génératrices , en reconnaissant la nalare de la surface : car, Véquation finale précédente , lorsque z y a dispara , représente géométriquement la trace horizontale de la surfiifie proposée , eatre les nquyelles Tariablei^ t ^i u, alor^ WQfpidérée^ , suivant leur interprétation concrète , comine le$ ixVH^donAée» do la trace horizoqtale de la gépéralrice.

Tom tes calculs aiwi prescrits pouvant également s'accomTplir si les coefficients de réquatioii donnée étaient indéternhite, pourvu que les exposants ne te fussent p^ , cette méitode s6Fdt susceptible de dévoiler sous quelles condition? analytiques la surface correspondante deviendrait cjflindriquQ. Quand le dévoloppenient de Véquation finale

aurait déterminé aeib d'après deux des termes en z , il faudrait que leurs valeurs , d'ailleurs réelles , annulassent chacun des autres , d'où résulteraient autant de relations nécessaires et suffisantes pour rendre cylindrique le lieu proposé. Dans Téqnation générale du second degré , par exemple ,

Ax«+By*4-C2'+Day^4-Ej:z+Fyz+Gx+H^+K2=:l,

on trouverait ainsi , après un calcul un peu long mais facile , deux relations entre les neuf coefficients , puisque les termes distincts en zs'y trouveraient au nombre èèq/aaife^ eoûtenaiit l'un z%un autre tz^ un troisième uz^ et un dernier z seulement.

154. Il faut maintenant considérer, envers les surfaces cylindriques , la question générale qui consiste à déterminer la fonction arbitraire propre à l'équation collective de chaque famille d'après les équations de la directrice.

Gomme cette fonction indiqué ici la relation , d'abord iddéterminée , entre les paramètres variables a et 6 de la généra-

606 eÉOKÉrtm dans l'bspàgx.

trice , or == as-f (X et y^ibz-^^y tout se rédoit à déooavrir leur liaison d'après la condition de rencontre perpétuelle de cette génératrice avec la directrice donnée ,

Or, cette condition se formulera , suivant la marche ordinaire , par l'élimination des trois coordonnées x^y^z^ entre ces deux couples simultanés. Une fois obtenue , la relation des paramètres ^p (a, €) s: 0 fournira aisément l'équation de la surface, en les y remplaçant par x — az et ^ — bz.

On peut donner à ce calcul une forme technique très-simple, qu'a convient d'indiquer ici , quand on a pris spécialement potur base du cylindre proposé sa trace hori2ontale,y(j:,^)=0, z=0 Car, l'élimination préparatoire s'accomplit alors sans qu'il faille spécifier la fonction /, rdative à l'équation plane de cette courbe, et la relation des paramètres linéaires devient /(a, 6) = 0, d'où résulte, à l'égard du cylindre cherché, l'équation /(Jc — ax^ y — 6z)=rO. Ainsi , on passera analytiquement d'une telle base au cylindre correspondant, en se bornant à y changer x en x — az et y en y — hz ; ce qui permet de composer très-facilement des équations cylindriques , d'après les diverses courbes planes, algébriques ou transcendantes. En partant» par exemple » des équations

r'+J^='^, ^•=/iijc, xy=:p\ ^=c', j^=sinx, etc. on formerait aussitôt les équations

{y — ^z)'+ {x — az)'=f r', [y — hzY=.m{x — az) , {x — az) (y — bz)^p^^ y — bz==c''^*, y — bz=ssin(x — az), etc.

pour les cylindres circulaire, parabolique, hyperbolique, logarithmique , trochoîdique , etc.

Nous devons , enfin considérer aussi la détermination de la fonction arbitraire, de manière à spécifier l'équation du

SECONDE PAATIB, CHAPtTEB DEUXIÈME. ^

qrlindre , quand cette surface , au lieu de passer par une courbe donnée , doit être circonscrite à une surface qodconque donnée^ (j:, ^, js) = 0. La difficulté consiste encore à découyrir la relation des paramétres variables a et 6 qui rendra la génératrice, j:=tfjs-j-a, ^=6js+6, tangente à une telle surface dans chacune de ses positions : on convertira ensuite cette liaison en équation du cylindre , en y changeant , comme ci-dessus, a et 6 en x — az et^ — hz. Or, pour formuler ce contact , d'après les seules règles de la géométrie plane , il suffit de le réduire à celui de la droite considérée avec la section de la surface par l'un quelconque des plans qui la contiennent. Si l'on choisit , à ce titre , l'un de ses plans projetants y =6^4-6 , la génératrice sera suffisamment constituée tangente à la courbe correspondante , en établissant la même relation entre leurs projections respectives sur le second plan vertical. Tout se réduit donc à exprimer, dans ce dernier plan , suivant l'un ou l'autre des deux modes généraux prescrits à ce sujet en géométrie plane y que la droite x=ajs-|-a touche la courbe /(x, hz-\-^ y ^) =0 9 d'où résultera la relation des paramètres |(a, 6)=0, et, par suite, l'équation du cylindre cherché >!♦ {x — az, y — 6j?) = 0.

En employant le principe des racines égales pour formuler ce contact plan , ce qui d'ailleurs n'est pas toujours préférable , comme on sait , on serait donc amené à chercher la condition d'égalité entre deux racines deréquation/(a^+a, 6jr-f-6,^)=o. Sous cette dernière forme , la méthode pourrait être directement conçue , indépendamment des considérations précédentes , puisqu'une telle équation , immédiatement appréciée , tend à déterminer Fintersection de la génératrice avec la surface donnée , en sorte que , à ce titre , deux de ses racines doivent coïncider en cas de contact.

Ge problème général comporte spontanément une application