PREMIERE PARTIE, CfaAPIThE DEUXIÈME

savons, en principe ^ qne l'é^oatite d'une ligne peot changer

par suite de son simple déplacement » sans aucune variation de

forme ou de grahâtîilr, il reste à décider si une telle diversité

algébrique ne prdUéndrait pas uniquement d'une différence

de sifuétkih OU» aités envers la courbe commune. Cette diffé-

rabce né sfttirâit porter fenr l'axe dès x, autour duquel le lieu

et, dans l«s denpt cas, pardllemeut symétrique : mais l'autre

axe ne présente point la même parité ; puisque la syniétrie qui

esisteâtiM autour de lui d'a[^rèfl la seronde équatfon est cer-

tftjâement incompatible avec la première. Il faut donc examiner

finalement si eeUe^^i ne pourrait pas perdre son terme distinct-

tif — âifx en dé|daçatit eoUveiiablemenl Twigitie le long

de FD. Un lel dépkicement équivaudra algébriquement à y

duin|er xena/ -\^hytà h désigne l'avancement indéterminé

de F(»igine actuelle D dans le sens OA\ En opérant cette

trinsformatioii , il est aisé de voir que les deux termes du pre-

nfcr degré en x' se détruiront mutuellement , pourvu qu'on

d prenne h = ; , ce qui place cette nouvelle origine à droite

oa à gttuehe de BG , sdon que n est inférieur ou supérieur à 1 > eft 0 ou <y , tottjoiffs au milieu de AA' ou de AA", L'équation ainsi modifiée

devient rigoureusement assimilable à celle du n^ 19, comme ayant évidemment la même forme , et offrant d'ailleurs une éqoi^slente généralité^ puisqu'elle contient un pareil nombre de constantes arbitrairies. On ne peut donc plus douter de l'identité des lieux, et, en achevant la confrontation algébrique f de manière à passer indifféremment d'un système de constantes à l'autre, on établira, entre ces deux définitions^ «no exacte transition iratuelle^ soit que l'on prenne

76 GÉÛMliTBIB PLAHB.

OU y en sens inverse ,

2dn ^ . 2n^d m= ^ r et a= . -.

Le mode de distinction entre Tellipse et l'I^perbole qui , aa n"" i9, consistait en m > <f on m< if , est id maintemi, sous une forme évidenmient équivalente, en supposant n <C i oun > 1.

Pour utiliser autant que possible ce rapprodiement remarquable , il convient de le poursuivre , en particulier, jusqu'à décider si le pdnt fixe de la définition actuelle coïncide avec Tun de ceux relatifs à l'ancienne. Or, il suffit , à cet effet , de les rapporter tous à une origine qui doive être nécessairement oom^ mune aux deux systèmes , telle que le centre O, où se croisent les axes géométriques du lien , droites dont l'idcsitité ne saurait être douteuse. La difficulté se réduit donc à comparer OF ou h *— «{avec { d''^ ce qui démontre pleinement la coïncidence des deux sortes de points fixes. Dès lors , la duplidté propre à celui du n^" 19 se trouve devoir aussi convenir au point actuel , et 9 par suite , à la droite correspondante ; comme l'indiquaiC d'ailleurs la symétrie du lieu autour du second axe GG' mené du centre 0.

Cet exemple de comparaison algébrique entre deux définitions a plus d'importance que celai du n^" 21 relatif au cercle, soit par la difficulté beaucoup plus grande de saisir géométriquement l'équivalence des deux générations, soit d'après la modification algébrique qu'il a fallu apporta à Tune des équations avant de les assimiler , suivant une marche qui sera bientôt systématisée.

La nature , moitié rectiligne, moitié polaire, du système de coordonnées inhérent à cette définition , y rend le passage à l'équation polaire tout aussi facile que la formation de Téqua-

PUmiEB METIS» CHAt»ITAB DEITUÈHB. 7t

(ion rectiligne. Gomme celte équation polaire des trois sections amiqnes est utile à connaître , je crois devoir la déduire ici de l'équation naturelle tt=nr, en plaçant le pôle au point fixe F et comptant les angles à partir de FA'. L'une des coordonnées primitives u est alors conservée : quant à l'autre t , il suffit de h concevoir en DP pour reconnaître aussitôt qu'elle équivaut à d-^-uooê f; ce qui conduit finalement à l'éqaation polaire

nd

1 — n cosy

EDe indiquera un lieu illimité ou fermé , selon que la valeur

f du tt y pourra ou non devenir infinie , ce qui exige oos ?= ~ ;

hypothèse inadmissible pour n <i , mais acceptable «n tout antre cas , conformément à la distinction déjà établie.

24. 8* Exemple. Équation de la canchoïde. On appelle ainsi , depuis les Grecs, le lieu d'un point dont la distance a une droite fixe BG demeure constante, en l'estimant selon des rayons convergents vers un point fixe A {fig. 21). Son équation naturelle est donc MN ou z=c. Elle indique d'abord que la courbe est évidemment symétrique autour delà perpendiculaire KK' menée du point fixe à la droite fixe. Nous voyons ensuite que la plus courte distance MP du point décrivant M ou M' à la droite BG devra sans cesse diminuer, d'après l'invariabilité de l'bypoténuse MN, à mesure que l'angle N deviendra plus aigu , et proportionnellement à son sinus, qui équivaudrait toujours i MP si la constante c était prise pour rayon trigonométrique. Ainsi , d'one part, le maximum de MP devant se trouver en K et K' sur l'axe AO , les deux branches , supérieure et inrérieurc , de la courbe seront constamment renfermées entre les horizontales correspondantes. D'une autre part, et c'est ici la plus remarqua* Ide singularité d'une telle définition , chacune de ces branches , dans son cours horizontal indéfini , se rapprochera continuelle-

18 <|i|9I^T|ii£ wy^f-

meiild^ BC, à tel degré qa'oii voadraf maU saos pppvpjr pepefidant ratteindre j^i^ais, car MP ne saurait s'aniifilei: r4g;aare)iaement, quelque aigu que devienne Tangle N ; en sorte qiie ^G i^e pourra être censé rencontrer la (X)urbe qu'à rinfipi. C^tte noa- Telle relation géométrique , d'après laquelle la droite est or<}i-* nairement qualifiée d'asymptote de la courbe , nous fournir^ bientôt le sujet d'une importante théorie générale , cpmpci^ très-propre à mieux caractériser la forme des lignes qui en sont susceptibles. On sent, en effet, dès ce moment , que toute courbe doit finir par être convexe vers son asymptote , sans quoi elle la couperait nécessairement.

Cette discussion préliminaire indique aussitèt les aKes rei> tangulaires les plus favorables à la simplifîcatjoii d^ Téquatipa rectiligne. Un motif de symétrie, dont T^ppréciation algébrique nous est déjà familière , conduit d'abord à prendre 'AKW pour l'un des axes. Quant à l'autre , l'asymptotisme de BC ne saurait permettre aucune hésitation. Sans doute, l'influence algébrique de cette nouvelle relation géométrique n'est pi aussi facile à prévoir ni môme aussi considérable que celle de la première. Mais on conçoit pourtant, sauf à mieux préciser ultérieurement un tel aperçu, que, en prenant cette asymptote BC pour axe desx, l'équation, devant ainsi donner jr=x pour^=0, devra manquer, à cet effet, ou de tous les termes eux seul, ou, au moins, de ceux du plus haut degré,* de manière h devenir nécessairement plus simple qu'avec un axe quelconque.

D'après ce choix des axes, le passage de l'équation naturelle à l'équation rectiligne résulte aussitôt de la comparaisop des triangles AON et MPN, qui conduit, en nommant d la distance AQ , seconde donnée de la définition , à l'équation

que la suppression du radical élèverait au quatrième degré. On

PEBIUÈRE |li«TIS| (;941>ITR^ DEUXIÈMB. 79

«MfW, 9^011 nfi$ dm))l6s pi^vifiioBS, x n'y eii^e point à de^ fmm$am Jniwifffi m iéparé de^. Ea y ^égtg^nt -^9 sons k

on retrouve immédiatement les limites verticales de la courbe, son cours horizontal indéflni, et son asymptotisme envers Taxe 4es j;. Le seul document nouveau que nous offre cette équation résulte de ce que la valeur de jt, déjà annulée pour j^ = ±c, peut l'être aussi pour^= d^ quel que soit c; ce qui indique le point A comme appartenant au lieu. Dans la figure actuelle, où d surpasse c, ce point se trouve isolé du reste de la courbe, puisque les valeurs de y intermédiaires entre c et ^ ne sont pas admissibles : c'est un accident géomé* trique qui n'a réellement d'étrange que sa nouveauté, et qui pcat d'ailleurs être aisément conçu, soit algébriquement, soit même graphiquement. Quand, au contraire, d est inférieur à c^ ces ordonnées de c à ^ donnent des abscisses réelles, d'abord croissantes, puis décroissantes, en tant que nulles aux deux extrémités de cet intervalle : la partie supérieure de la courbe est donc modifiée, et prend alors la forme indiquée pg, 22 j l'autre partie n'éprouvant d'ailleurs aucun grave changement. Enfin , si £? = c , cette portion fermée additionnelle AHKH', après un rétrécissement continu , s'efifocera totalement, conformément à la fig. 23. C'est ainsi que l'équation rectiligne dévoile spontanément une distinction nécessaire, que la définition primitive était peu propre à indiquer. 11 existe donc, en réalité , trois sortes de conchoïdes, comme trois sortes de sections toriques et de sections coniques.

Quoique cette équation dût susciter beaucoup d'embarras algébriques à la seule méthode générale que nous connaissions déjà pour déterminer analy tiquement le sens de la courbure ,

80 GÉoMÉtRiB nÈjm.

le lecteur pourra constater aisément ^ à cet égard , r^cactîtade des suppositions ici figurées, d'après une suffisante oondrintifloa de la définition , et surtout de l'asymptotisme qui en dérive , avec la considération du degré obtenu : il sera même facile de déterminer spécialement , en chacun des trois cas , la vraie direction de la tangente en K , ainsi qu'en K'; ce qui achèTcra de dissiper^ à cet égard , toute incertitude.

25. 9* sxBHPLE. Éguation du lieu du sommet d'un angle invariable dont chaque côté passe toujours par un poini fixe. L'équation naturelle est ici ? — a)* = ^, entre les inclinaisons variables des deux côtés de l'angle donné p sur la droite qui joint les deux points fixes A et B{fig.2^). Elle indique aussitôt un lieu limité, puisque, les deux coordonnées angulaires ne pouvant ainsi devenir jamais égales , les deux droites mobiles ne seront^ en aucun cas, parallèles, et par suite le point décrivant M ne pourra point s'éloigner indéfiniment de AB. La courbe doit d'ailleurs être symétrique autour de la perpendiculaire GK menée au milieu de ÀB ; car, Téquation ne change pas en substituant à chaque inclinaison le supplément de l'autre, de manière à passer de M en M'. L'équation étant satisfaite par 4^=0 et ?= i', le lieu passe en  , et pareillement en B : il est aisé de sentir que cette valeur de ? y marque la direction de la tangente correspondante ; puisque l'angle MAX tend vers cette limite i^ , à mesure que le point M se rapproche indéfiniment du point A, conformément à la définition générale des tangentes.

Pour passer à l'équation rectiligne, d'après les axes AB ot G£ , spontanément indiqués par cette discussion préalable , il convint de mettre d'abord l'équation naturelle sous la forme trigonométrique, surtout en y prenant les tangentes des deux membres y ce qui donne

lang? — tang^!' __ l4-tang<}>taDg'> "~

FRBMlâ&B PARTIE» CHAPITIE BEUXlÈUli;. 81

tfe tes , le» trimgtes rectangles MAP el M^P coaduisent ai^

sèment à exprînoier ces deux tangentes par et , ,, dAè*

âgnant la demi-distance des deux points fixes A et B , et m la

tangente de l'angle donné v. On obtient ainsi l'équation recti*

ligne

OÙ Von reconnaît aussitôt^ conformément à Pindication géométrique, un cercle dont le centre est sur l'axe des ^, en un point C tel que l'angle AGO y soit égal à l'angle donné, le rayon étant d'ffllleurs égal à GA.

26. 10* EXEMPLE. Équation de la ciss&ide. On nomme ainsi, depuis les Grecs , une courbe dérivée du cercle en y tirant , d'un point fixe A (fig, 25) de la circonférence, une sécante quelconque , prolongée jusqu'à sa rencontre en G avec la tangente opposée BK, et portant, sur cette sécante, à partir de ce point fixe , une distance AM constamment égale à sa partie extérieure W, comprise entre la tangente et le cercle. L'équation naturelle est donc AM = GN, entre ces deux longueurs variables. Elle indique d'abord un lieu évidemment symétrique autour de AB. Déplus, la courbe commence en A, où sa tangente est nécessairement AB^ limite irrécusable de la direction MA, à mesure que le point décrivant M se rapprocherait de A. Intérieure d'abord au cercle donné, elle le coupera vis-à-vis son centre, en D et D', et s^en dégagera ensuite de plus en plus, quand Tangle variable MAB surpassera 45^. Mais, en s'éloignant du cercle , elle s'approchera continuellement de la tangente B£, d'après l'équation MG = AN, qui indique la distance oblique MG , et à plus forte raison la distance perpendiculaire MH , comme pouvant diminuer autant qu'on voudra , sans pourtant devenir jamais rigoureusement jiulle. La droite BK ^t A)nc une asymptote de la courbe , qui d'ailleurs ne saurait

S2 GEOVBTIUJG: PLANSf

la d^Kisser. Cette discussion eo»4iiit évidaament I la tmm tracée sur la Ggiire , sauf les chances accoutumées de sinuosité entre le pôle A'et l'asymptote BK.

Le passage de l'équation naturelle à Téquation rectiligne présente, dans cet exemple , une circonstance nouvelle, qu'il importe de remarquer, d'après l'utilité notable qu'on y trouvera à introduire, comme intermédiaire , l'équation polaire autour du point A , qui résulte presque immédiatement de la première, et qui conduit également à la seconde. D'abord , l'aue des coordonnées naturelles MA , est précisément le rayon vecteur u du point M ; quant à l'autre , MG , elle constitue , rdativement à l'angle c^, une sorte de ligne trigouométriqne inusitée , égale à l'excès de sa sécante AG sur son cosintt& AN , ea égard à l'apgle droit ANB, et en prenant AB pour rayon tri* gonométrique.On forme ainsi l'équation polaire

u= 2rcosv=2r i,

cos<p oos^

où r désigne le rayon du cercle donné. Dès lors le passage à l'équation rectiligne se fera sans difficulté, d'après le triangle rectangle AMP, relativement aux axes, déjà motivés, AB et AY. Cette équation sera finalement

Il est aisé d'y retrouver les indications géométriques déjà obtenues. Quant au sens de la courbure , encore indécis pour les parties moyennes, le degré seul de l'équation confirmerait sufsamment notre hypothèse , en indiquant l'absence de toute in* flexion , afin que la courbe ne puisse jamais offrir plus de trois points en ligne droite. Mais , d'ailleurs , on peut ici appliquer aisément la méthode générale employée jusqu'à présent, en considérant la corde indéterminée AM', dont l'extrémité a aœ