CHAPITRE m

Théorie des iirficefi eonifoei.

155. Dans cette seconde famille, la génératrice est encore une ligne droite , omis assujettie à tourner autour d'un point fixe , en glissant d'ailleurs sur une courbe quelconque. Si donc

^^r- ), oubien^K , ] = 0,

612 GlîOiaiTRIE DANS L^ESPACË.

a, 6 , 7 désignent les coordonnées de ce sommet donné, les équations de cette génératrice ,

ne contenant pins que deux paramétres YariaUes, les deux coeflScients angulaires a et 6; se trouveront sponianémait adaptés à la f(»rmation immédiate de Féquation ooUectÎYe, qoi sera, par conséquent , en général , sous sa forme la plus simple,

j:— a fy — ^\ , us^.. 1 f^ — * ^ — ^

Pour employer ce type analytique à vérifier la nature conique de chaque surface particulière y ( :r, j^, z)=0, il faudrait, suivant nos règles fondamentales, remplacer jt et ^ par t-{'(A{z — ^), u+e(z— 7), afin de rendre cette équation spéciale/(/+a(s— 7), u-j-ê (3—7),»)= 0 entièrement indépendante de z , en disposant convenablement des constantes a, 6, 7, relatives au sommet du cône. Dans l'équation complète du second degré , par exemple , on aurait ainsi à annuler , comme au chapitre précédent y les termes en z% en tz , en uz et en z seul ; mais on disposerait maintenant de trois paramètres , en sorte que ces quatre conditions n'aboutiraient ici qu'à une relation unique entre les neuf coefficients indéterminés , tandis que le cas cylindrique en exigeait deux. Au reste , envers une équation quelconque , la figure cylindrique du lieu correspondant supposera toujours une condition de plus que la forme conique, puisque , en regardant le cylindre comme un cône dont le sommet s'éloigne à rinfini, il faudra joindre aux conditions coniques une relation nouvelle |Hropre à rendre infinies les coordonnées du sommet ou l'une d'elles , en annulant le dénominateur commun ou partiel.

L'opération analytique propre à vérifier si une surface donnée appartient à la famille proposée est donc ici naturelle*

SECONDE PARTIE « CHAPITRE TROISIÈME. 5l3

ment plus pénible qa'au chapitre précédent ; mais elle comporte une henreôse simplification générale, en ayant égard à un théorème important de géométrie comparée, suggéré par le type coniqae que nous venons d'établir, quand on y apprécie les modificatioDS qu'il éjnroiive en supposant l'origine des coordonnées placée an sommet du cône. Cette équation collective

devient alors - = ç|- j ou ^[-,>-j=0.Or,sous cette forme,

la vérification -proposée s'accomplirait aisément , puisqu'elle se réduirait à substituer tz et uz, au lieu de a: et ^, dans chaque équation particulière , afin d'examiner si z y disparaît spontanément. D'après ce principe, il suffit de concevoir cette substitution envers un terme quelconque Âx*»^z^, qui deviendrait ainsi A«"*ii*. s^+^+ï^ pour reconnaître aussitôt qu'une telle élimination suppose à tous les termes un même degré , estimé , suivant le mode algébrique ordinaire , parla somme des exposants des trois variables. C'est ainsi que Monge a découvert naturellement cette belle proposition générale -. toute équation homogène à trois variables représente nécessairement un cône dont le sommet est à l'origine des coordonnées ; et , réciproquement, toute surface conique est susceptible d'une équation homogène, quand on transporte l'origine des coordonnées an sommet du cône. Quoique la géométrie comparée ait été jus* qu'ici bien peu cultivée , une telle relation est très-propre à faire sentir la puissance du nouveau mode analytique sur lequel Monge a fait reposer Fétude collective des diverses familles géométriques; car cette liaison remarquable entre la forme conique de la surface et la composition homogène de l'équation, qui découle avec tant d'évidence et de simplicité de ce système d'appréciation , jn'aurait pu s'apercevmr, au contraire , de l'ancien point de vue, où les différents cônes resteraient dispersé» daD3 toui^ les degrés algébriques , que par suite d'une leste et

6Ak QiiowÈnm iurs l'mpagb*

pénible indactioa , que rien ne ccmdaisait naturellement à former avant que toateg les surfaces assujetties à une même génération eussent été anaiytiqaement envisagées sous un aspect comnum.

D'«prés cette propriété caractéristique, on pourra reomnaître aisément la nature conique de ehaque surface donnée y( j:, ^, 2) =0 ; car, si cette équation est homogène ^ la question se trouvera ainsi résolue immédiatement ; si elle ne l'est pas, il restera à déplacer Torigine de manière à là rendre telle, en y annulant tous les termes distincts dont le ^gré est inférieur au sien , par le changement accoutumé de j? , j^, s en •^+«,^+6,2+7, de manière à déterminer, dans ce dessdi», )es constantes disponibles « , $ , 7, qui indiqueront le sommet du cône. Pour l'équation gén^le du second degré , par exemple , il faudrait faire alors disparaître les trois tarmes du premier de^é et le terme constant, d*où résulterait, comme suî- Ysnt le (Hremier mode , mais bien plus simplement, une rdation nécessaire entre les neuf coefficients indéterminés , après avoir éUmiué les coordonnées du sonmet.

i56. Considérons maintenant, de même qu'envers les cjlinères , la spécification de l'équation collective des cônes, quand sa donne la directrice dé la surface. Entre les équations de cette base, /,(x,^, 2)=0,/,(x,j^, a)=0, et celles de la génévalriee, jr — «=«(« — 7),^^ — g=:6(z — 7), ilsnflSra encore d^éliminer -r , j^, z , afin (te former la condition de rencontre perpétuelle 4* ( a , 6 )=0 , d'où l'on passera aussitôt à l'équation éa côoa , en y changeant les paramètres variables aeib en

et .

la prend! ai spécialement pour exemple à ce sujet le cône qui a» rapporte à la théorie des mappemondes , quand on y cherche 1» pwipective d'un eeecle quelconque de la iqphère terrestre,