SECONDA PARTIE , CHAPITRE TROISIÈME. M

sopposé YQ à trayers un certain méridien dont le pôle indiqoeniit la position de Toril, sairant le mode de projection géogra^ pldqae le plus usuel. En plaçant Torigine des coordonnées an Centre de la terre , dirigeant l'axe des z vers les pôles terres « très , Taxe des x suivant le méridien ainsi choisi, de manière fi faire passer l'ate des j^ au point de vue, les équations d'un cercle quelconque du globe , maintenant érigé en base du cône cherché , seront x*+y*+ z* = r* et z=zax+bjr+c. Celles de la génératrice étant ici x = wz et j^ = /ijs + r, la condition de rencontre deviendra finalement

Ainsi, Féquation du cône cherché sara

£*(br'^f+(c(X'-r)-^rZ'--arx'y^£'{br+€f=r\r^ax-^^

En y faisant y = 0, on en déduira Péquation de la perspective demandée

ar'+z'+2ii x-^^-z 2+-^= j ^=0.

bt+c br+c c+br

Sa composition indique aussitôt la principale propriété d'une tdle projection géograpbiqcie , où tout cercle terrestre est toujours représenté aussi par un cercle^ comme les anciens l'avaient découvert d'après la considération des sections anti-paralièies du jcône circulaire oblique*. On pourrait y constater également, mais à l'aide d'un calcul pénible dont rien ne suggérerait naUh Tellement la pensée , la remarque accessoire , d'ailleurs peu utile , sur l'aptitude de cette perspective à maintenir sans altération l'angle de deux cercles quelconques. En achevant l'appréciation spéciale de l'équation précédente , on trouvera, pour les coordonnées du centre et le rayon du cercle ainsi obtenu , les formules

é^Tc' '•=- î^qTe' »= ^c V/(^'+*' + 1) r'-c'

516 GiOSltiTRlB DANS L'CSPACB.

dont la dernière est seule usitée en géographie, et nniqiuemeat même envers les parallèles à Téquatenr ou les méridiens. Si on y fait les hypothèses z = c , y^=px y correspondantes à ces deux cas pour Féquation du plan du cercle considéré , on en déduira aisément les régies ordinaires de construction des arcs de cercle qui s'y rapportent : leurs rayons seront ainsi respectivement mesurés par la cotangente de la latitude ou par la sécante de la longitude.

La formation spéciale de l'équation d'un cône dont la directrice est donnée se simpliGe beaucoup, comme dans le chapitre précédent, quand on prend pour base la trace horizontale de la surface. Car, l'élimination des trois coordonnées variables peut al(»rs s'accomplir aisément entre les équations de la génératrice, a:— <x=<z (2—7), y—^z=zb (z—y) , et celles d'une telle directrice/ (j: , j^) =0 , 2 = 0 : il en résulte la relation générale des deux paramètres aeib^fÇx — ay , 6 — 67) = 0 ; d'où

dérive l'équation du cône cherché/^ ^""^"^^ ^~^ )=o,

ainsi déduite [l'éqnation plane de sa base par le changement de

a2 — yx 62 — yjr

j: et ^ en — — — et — --- — . En partant , par exemple , du

cercle j^' -f- •^*= ''N ^^ aurait , pour le cône circulaire ,

et , s'il est droit ,

6 et ce s'annulant alors.

Au sujet de cette application particulière , il faut ici noter la position normale de l'appréciation des courbes du second degré comme sections coniques , que nous n'avons pu traiter en géométrie plane que d'après un artifice exceptionnel. Pour établir cette notion dans son entière généralité , envers tout cône cir«*

SECONDB PAtlTlB , CHAPITRE TROISIÈME. 517

Cillaire, droit ou oblique, il siifBrait de traiter chacune des éqaations précédentes par la méthode générale que nous avons destinée à Fétude des sections planes d'une surface quelconque, et qui maintenant fournirait aussitôt une courbe du second degré. Mais on sera même entièrement dispensé de Texécutioii d'un tel calcul, si l'on se borne, à cet égard, à la proposition principale , consistant, au fond , dans la simple connaissance du degré de la section , sans s'occuper d'ailleurs de sa nature parabolique, elliptique, ou hyperbolique, assez indiquée, en chaque cas, par la situation du plan. Car, du point de vue propre à la géométrie analytique à trois dimensions, il est clair, en général, indépendamment de la méthode des sections planes, que tonte surface algébrique d'un degré quelconque ne peut être coupée par un plan que suivant une courbe du même degré , puisque cela est incontestable pour les plans parallèles aux plans coordonnés , et qui peuvent représenter , à vrai dire, des coupes quelconques, ea considérant l'équation la plus complète de chaque type , dont la composition convient spontanément à toutes les situations possibles du lieu. Suivant ce principe évident , toutes les sections planes du cône circulaire sont des courbes du second degré , par cela seul que cette surface fait partie de celles de ce degré.

Dans la théorie des cônes , comme dans celle des cylindres^ on peut, enfin , déterminer la fonction arbitraire en concevant que la surface doive être circonscrite à une surface quelconque donnée/ (x , j^ , z) = 0 , qui remplacerait la directrice correspondante. La solution s'accomplira de la même manière, en cherchant la relation des deux paramètres variables propres à la génératrice , x — a=a (z — 7) , y — 6=fr (z — 7 ) , quand celle-ci doit toucher constamment la surface proposée, sans qu'il faille ici ajouter aucune explication nouvelle à celles du chapitre précédent sur le mode de formulatioq d'un tel contact,

S18 GIBOMSTRIB DANS L*BSPi£E.

d'après les seules méthodes de la géométrie plana. Cette relation ^{a, b)=:0 étant nne fois obtenue par wi procédé qodoonqoe , on en déduira l'équation du cùne cbercbé, oomme si

la directrice était donnée , suivant le changement accoutumé

fi

de a et 6 en et*^- — . La courbe de conctact de ce cône

avec la surface sera dès lors représentée analytiquement , en' concevant simultanément leurs équations respectives. Au reste, cette courbe pourrait aussi être déterminée , indépendamment du cône , et de manière même à en faciliter la recherche^ à titre de directrice , en y voyant encore le lieu des points de la surface proposée où le plan tangent passe au sommet donné, d'où résulterait , à son égard , la seconde équation

Ce dernier problème général comporterait , envers les cônes , une application non moins naturelle que pour les cylindres, dans la détermination géométrique des ombres , quand on suppose tous les rayons lumineux émanés d'un même point; ce qui représenterait suflBsamment, en beaucoup d'occasions, le cas de la lumière artificielle. On peut aussi l'appliquer à une autre destination pratique , qui n'en changerait nullement la nature , en considérant la question des contours apparents et des perspectives , où il ne s*agit jamais que de trouver la section du plan du tableau , ou môme de la surface quelconque qui en tiendrait lieu , par le cône qui , ayant son sommet au p^t de vue , serait circonscrit au corps observé. En l'un ou Tautre cas, toute la difficulté mathématique d'une telle recherche se réduirait évidemment à la connaissance du cône circonscrit.

SEcoNDi fAtra, caupms quatbiëmb. 519