CHAPITRE IV

Théorie des surfaces de révolation.

157. Le titre habituel des surfaces qui composent cette troisième famille , et le nom de corps ronds qui en offrirait l'équivalent plus rapide , se rapportent à leur principale propriété pratique , consistant en ce que chacune d'elles peut résulter de la rotation d'une certaine ligne autour d'un axe fixe aoqoel elle est invariablement liée. Mais, quelle que soit, dans les arts géométriques , la hante importance d'un tel caractère, qui permet souvent, envers ces surfaces , un mode de constructioo Irès^facHe , il présente , sous l'aspect théorique , le grave meoQvéïiient de ne pas appeler directement Fattention sur la véritable génératrice propre à cette famille : car, le méridien de obaifae surface de révolution , variable d'uB corps rond à l'amre, s'en constitue, an fond, que la directrice. Suivant nos principes fondamentaux de géométrie comparée, la génératrice devant toujours être commune à toutes les surhices d'une même famille , cette propriété usu^e ne sautait fonrair fa dé- GaUioB rationnelle de ce nouveau groupe naturel , où le carde est réeUement la seule ligne uBiformément reproduite , oonama y résultant des coupes perpendiculaires à l'axe, queUe que pnissa éire la figure des méridiens.

D'après cette indispensable rectification prélinHnair6, les surfaces considérées ici sont donc engendrées par un eetcie dont le centre parcourt -une droite fixe, tandis que son plan reste constamment perpendictdaire à eettè droite , son rayon

590 GÉOMÉTBIB DAMS l'BSPACS.

variant d'ailleurs suivant nneloi qnélconqae , qoe d^rminera, en chaqae cas, la ligne immobile sor laquelle le cercle devra glisser. La propriété générale ci-dessus remarquée , et d'où dérive le nom usité , résulte directement d'une telle génération. Car, si, dans une surface ainsi produite, on considère une section plane suivant Taxe, les rayons correspondants aux diverses parties de l'axe y auront toujours envers celles-ci la même relation, quelle que puisse être la direction de cette coupe i en sorte que tous ces méridiens seront nécessairement superposables. Sous un aspect plus étendu , par quelque surface auxiliaire , plane ou courbe , qu'on ait d'abord coupé un corps rond , la section ne changera jamais quand la surface d'où elle résulte ne fera que tourner autour de Taxe proposé ; puisque toutes les parties du cercle générateur, outre leur identité propre , sont d'ailleurs pareillement situées envers cet axe. On conçoit que cette propriété cesserait si le plan de ce carcle , quoique conservant une direction invariable , devenait oblique à la droite fixe que décrit son centre. Il y a donc d'autant moins d'inconvénients à conserver, pour ces surfaces, les dénominations usitées» après en avoir rectifié la destination géométrique, qu'elles correspondent à un attribut général où l'on peut voir réellement un heureux résumé spontané de l'ensemble des caractères inhérents à la définition rationndle d'une telle famille.

Pour former id convenablement les équations de la génératrice , il faut concevoir ce cercle comme résultant de la combinaison d'un plan quelconque perpendiculaire à l'axe donné , j:s=:az-)-a,^ = 6a+6, avec une sphère, de rayon arbitraire, dont le centre soit fixement placé en un certain point de cet axe^ là , par exemple, où Q perce le plan horizontal. Suivant ce mode, ces équations

SBCONDB PABTIÊ , GHAPITRB OUAmËllE. SSl

qaoiqoe plus compliqaées qae celles des deax chapitres précédents , se trouveront aussi spontanément adaptées à la formation directe de réqaation collec^îve, puisqu'elles ne contiendront encore que deux paramètres variables r et c. Ainsi , cette troisième famille géométrique aura pour type analytique

Son application normale à la reconnaissance spéciale de chaque cas particulier serait ici plus laborieuse que dans les deux autres groupes considérés, mais d'ailleurs dirigée par les mêmes principes généraux. En concevant alors leur usage algébrique sous l'aspect le plus étendu , il faudrait donc éliminer deux des coordonnées variables entre l'équation proposée f{Xf y^ z) = 0 et les deux relations uniformes

la troisième variable devrait ainsi disparaître du résultat final , en y disposant convenablement des constantes ^ , ft , a , 6 , relatives à l'axe 9 afin d'annuler chacun des termes distincts où elle se trouverait contenue. L'élimination préalable se fera d'ailleurs , soit par le mode ordinaire de la substitution , s'il demeure praticable , soit par tout autre procédé équivalent qui pourrait devenir indispensable.

Cette équation collective des surfaces de révolution est toujours susceptible , envers chacune d'elles, d'une importante simplification, quand on prend pour axe des z l'axe même du corps çond. En y supposant ainsi a=o, &3=o,a=0, 6=0, elle devient d'abord j:»-f:r''+z*=ç (z); mais, comme le terme z* du premier membre peut passer dans le second , qù on doit le oûiioevoir abswbé par la fonction arbitraire , le type analytique

ge raMèae ftutaneotà h farine IrtfrriiipiB , <(t non

ou Ton voit diredement que lagénéntrioe s=tf, j:^^s/^, «A nn cerde borisontel dent le centre décrit TMe Tertical. Ém reste, cette dernière modification secondaire apportée à l'équation des corps ronds par la transposition de z' correspond géométriquement à la stibstittition d'un cylindre à la 9pbére}usqu'alors employée envers le cercle générateur.

Suivant un tel type, l'élimination fondamentale ci-dessus prescrite pour vérifier si une surface particulîèrey^(a:^,jaf) = 0, appartient à cette famille, se réduira maintenant, en y supprimant toute circoolocution superflue, à y faire disparaître simultanément xeij^ en posant seulement j^'-fj:*=M. Il est d'ailleurs évident que l'accomplissement de cette condition analytique n'autoriserait pas suffisamment, en général, à décider la négative de cette question, quand on n'aurait aiieim motif de présumer que l'axe de la surface dût nécessairement coïncider avec l'axe des z. Un tel caractère ne deviendrait alors pleinement certain qned'aprés une transposition d'axes indéterminée, et en disposant convenablement des constantes arbitraires qifelle introduirait. Mais, dans presque tous ces cas, heureusement peu utiles à considérer, l'ensemble de cette vérification analytique deviendraflt âu moins aussi pénible que si Ton eût d'abord employé le type un^ versel primitivement établi.

t58. En continuant à considérer la pliit simple éqwlioo edllective des corps rond» , il est ftteile d'y détetftiiwer, eoÊOÊsm dans les deux chapitres précédents, la ferme spéciale de la fonction arbitraire oonformément à une directrice donme, /;<jp, Xj z) 3= O^fJix, y^ JK) =« 0. Tout se réduit , en rffet , à exprimer la nencoiitipe de celle ligne avec ane génératrice qadconque s ■=:«« jr^^ss /, en éiiariaMit x^y^ z entre ks dwx

SBCMDS FAATB, CBAmiS VOàSKSÈmiL Stt

ooqiks d'équtîoBs, d'oà résultcn h idalion corre^ondute desdeoxpamiiètres yariables ^ {e^r) = 0, anssitAI oonTortie €B équatioD de la surface dierdiée , eo y diangeant c en sel r m

Appliquons d'abord cette méthode an cas oà la directrice serait nne droi te donnée, a: = oji+a, ^ = ^ 1 40e Ton peut supposer, en eOet, parallèle aq plan des ors, sans particulariser, (lavantage , au fond, la solution géométrique» La rdation des deux paramètres cet r est id (ac-He)*-f€* = r% et il en résulte , pour la* surEaicecherdiéey l'équation tréfr-simple

Il est aisé d'en déduire la nature des méridiens de ce corps rond, aCo de le mieux connaître , en faisant ^ = 0, ce qui donne x'—a'z* — 2tf az = a*+6*. Or, cette équation annonce évidemment une hyperbole, dont l'axe des s constitue Taxe nontransverse, l'autre étant parallèle à Taxe des x, et son centre

étant situé à la hauteur yerticale , qui correspond sponta-

nément au point de la directrice le plus rapproché de Taxe de h sur&ce ; conformément aux indications géométriques directes sQf la correspondance nécessaire de la moindre section circulaire avec le sommet et le centre de l'hyperbole méridienne. Ainsi, la surface produite par la révolution d'une droite quiconque autoiur d'un axe fixe où elle adhère invariablement , peut aussi résulter de la rotation d'une hyperbde autour de son axe non-transverse. Le cône circulaire droit y rentre comme modification particulière, quand la droite reMontre l'axe, en que l'hyperbole se réduit à ses asymptotes , c'est-è*4ire en annulant 6.

Examinons encore le cas où la directrice serait une hélke^ établissant d'abord les équations de cette courbe

5Sb GéOHÉTEIB DANS L*BSPAGB. *

imaginée par Archimëde, et qai constitue , à tous égards , la plus importante de toutes les lignes à double courbure , «parmi lesquelles elle tient , d'après sa parfaite uniformité caractéristique, le même rangquele cercle entre les courbes planes. Cette courbe cylindrique résulte du mouvement uniforme d'un point sur une droite pendant que celle-ci tourne uniformément autour d'un axe paraUèle adhérent. Sa grandeur dépend donc de deux . éléments linéaires , la distance constante de la génératrice à l'axe, ou le rayon du cylindre dont elle fait partie , et le chemin spécial parcouru parallâement à l'axe à l'issue de chaque réyolution entière , ou l'intervalle fixe, ordinairement nommé pas , qui existe entre deux spires consécutives le long des arêtes. La théorie générale de la similitude des courbes indique aisément , surtout en ce cas , que deux hélices ne sont semblables qu'autant que leurs rayons sont entre eux comme leurs pas. D'après sa définition , les plus simples équations de cette courbe contiendront ces deux constantes arbitraires : ainsi , l'hélice exige quatre points pour sa détermination ; puisque la transposition d'axes indispensable à la généralisation de ce premier type analytique y introduira naturellement six nouveaux paramètres, linéaires ou angulaires. Une appréciation géométrique directe confirme , en effet, que les équations les plus générales de l'hélice doivent contenir huit constantes, savoir : les quatre relatives à Taxe , les deux dimensions de la courbe , et enfin deux coordonnées delà position initiale, déjà placée sur un cylindre connu. Il est aisé de former les équations de cette courbe, puisque, d'après sa définition , elle se distingue de toutes celles qui appartiennent au même cylindre , en ce que la différence des distances de deux quelconques de ses points au plan de la base est toujours proportionnelle à la partie de ce cercle comprise entre leurs projections. Mais , avant de déduire d'un tel caractère le couple analytique accoutumé , il faut d'abord noter deux pro-

SBGONDB PARTIE 9 GHAPITRB QUATRIÈMS. 525

priélés importantes qui en dérivent , l'une ponr la tang^te à rhélice, Tantre quant à sa rectification. Quoique cette courbe soit transcendante , et, à ce titre , directement inaccessible aux r^les élémentaires de ce traité à l'égard des tangentes , nous poQYOos cependant y traiter spécialement cette rechercbe ; car, d'après cette constante proportionnalité , la tangente à l'hélice doit faire avec l'ase du cylindre un angle invariable , dont la

tang^te trigonométrique équivaut à —r-j si r et A désignent le

rayon et le pas ; ce qui suffit pour déterminer cette droite , déji nécessairement contenue dans le plan tangent au cylindre. En seecmd lieu, une telle proportionnalité indique clairement que, quand le cylindre se déroulera surunjdan, chaque spire de l'bélice se développera suivant une ligne droite , dcmt l'angle précédent déterminera l'obliquité envers les génératrices du cylindre; en efiet, les longueurs variables ainsi comparées conservant toujours leur grandeur après cette transformation, cette proportion reproduit spontanément le caractère fondamental de la ligne droite , lorsque les arcs de la base sont de^ Tenus rectilignes. L'hélice pourrait donc, en sens inverse, résulter de la flexion d'une droite sur la surface d'un cylindre dans une direction plus ou moins oblique. A ce titre , elle y indique nécessairement le plus court chemin entre deux points quelconques : ce chemin minimum équivaut ainsi à l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les deux longueurs cidessus comparées ; en sorte que la rectification de Thélice se ramène aussitôt à celle du cercle. Cette sommaire appréciation des principales propriétés de cette courbe ne laisse réellement à l'analyse transcendante aucune autre détermination essentielle que celle de la loi précise suivant laquelle chacune des deux courbures , évidemment constantes , d'une tel^ ligne dépend de son rayon et de son pas $ nos ressources actuelles m

B26 GfÉOHÉTRIB DANS L*BSPAGE.

pearent indiquer , à cet égard , qa^an vague et insuffisant aperçu sur le décroissement nécessaire de l'une ou l'autre courbure à mesure que Tune ou l'autre de ces dimensions augmente.

Formons actuellement les plus simples équations de Thélice, en prenant son axe pour celui des z et dirigeant vers elle Taxe horizontal des x. L'une des équations sera (f abord x'+y =''N commune à l'ensemble du cylindre considéré \ quaot à l'autri , elle résultera aussitôt du caractère précédemment établi,

2SS — . rare ('cos=-\ puisque x serait évidemment leco-

aitttts de l'arc correspondant de la base y si r était le rayon cri« gooomiétriqve. Maîa , au lieu de ce couple primordial, il frat halHtuellement préférer, suivant le mode ordinaire, lai eooibi-

naison plus si mple x=rcosr-2,^srsin— z, relative aox

projections verticales.

D'après ces dernières équations, il devient aisé de former l'équation de la surface produite par la révolution d'une hélice autour d'une parallèle à son axe. Afin de ne pas troubler inutilement les habitudes analytiques propres à ce chapitre , où nous supposons Taxe du corps rond confondu avec l'axe desz, il faudra modifier un peu les équations précédentes , en y déplaçant l'origine, mais seulement sur Taxe des x, d'une distance égale à Tintervalle donné a entre Taxe du cylindre et Taxe de rotation. En partant ainsi des équations

^ =s rsm -r- z , j: = rcos — z+a ,

OU trouvera aiaémeat la condition de rencontre perpétoeHe avec le cerclez se, jrHr'aR% qui engendre Théliçoide cherché , doftt l'équalioB sera inaleDMiil

SEGONM PAltTlB , €HAPITEB QUATRIÈME. SUT

it sera fadle d'«n déchire la nature des méridiens , en y faisant

Le mode général pour le passage analythilie de ebaqne directrice donnée au corps rond correspondant, se simplifie beancoap quand cette directrice est le méridien de la surface , dont nous supposons toujours Taxe confondu avec celui des z; alors, les équations de la courbe étant /"{j:,z) = 0,^=0,la relation des deux paramètres variables c et r propres à la génératrice devient aussitôt/ ( r, c )= 0 , d'où résulte l'équation de la surface cherchée /(l/"^ + j^' , « ) == o , aittsj' obtenue en changeant

seulement a: en vx^ +y dans l'équation plane du méridien proposé. Suivant cette règle fort simple, réqualionay+6V=a^6" donnerait a^z" + b^x^ + by^ = d'b^ pour l'ellipsoïde de révolution; de même , en partant de à'z' — b^x^^=:zt.a^b''^ on aurait a'z' — b^x" — by*=:^±aV envers l'hyperboloïde, en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur , suivant que la révolution se ferait autour de Taxe transverse ou de l'axe non transverse ; pareifiement , les surfaces engendrées par la rotation de la parabole autour de son axe ou de la tangente au sommet seraient y+:c"= mz ou z^s= m* ( a:'+r*)> ^n considérant successivement les équations méridiennes j:*= mz ou z' = mx.

Il convient , à ce sujet , de signaler spécialement les cas du tore , dont l'équation se formera d'après celle du cercle méridien js* + (a:— a)' =r*, où nous supposons l'axe desx dirigé vers son centre. On trouve ainsi, pour le tore, l'équation du quatrième degré

il est aisé d'y constater, en rendent j^ constant , q[ue les coupes paraUèles à l'axe ooUnddent exactement avee les courbes considérées au n"" 22 , puisque leur équation

±k^— (c^+a'— r"+ar»)+aa k'c'+o?'

538 GtiomiTBiB DàHS l'espace.

peat toujours s'identifier avec celle qae nous ayons alors formée, en annonçant d'ayance l'appréciation gécHnétrique de ces lignes comme sections toriqpnes.