SECONDE PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME

coDSffflit envers le plan leur imposerait encore la condition pa^-h qb'=i, dont la combinai^n ayecla précédente permettrait de rédnire ces coefficients à deux seulement, selon notre régie fondamentale. D'après un tel préambule , il suffirait de rapporter ces deux derniers paramètres aux coordonnées x^y, z^ dans ' les équations de la génératrice , . pour en déduire aussitôt le type analytique cherché, en indiquant, comme de coutume*',, une liaison arbitraire entre ces deux fonctions. Mais je crois devoir laisser au lecteur Texécution de cette opération , dont je ne rapporterai pas même le résultat, que sa trop grande complication nous rendrait presque inutile. Je vais seulement former cette équation collective dans Thypothèse la plus favorable à sa simplification, c'est-à-dire, en supposant que l'axe duconoïde soit pris pour axe des z , et le plan directeur pour plan des jcj^; sauf à n'appliquer ensuite cette équation collective àl'en* tière appréciation d'un cas quelconque qu'après une convenable transposition d'axes coordonnés , qui offrirait , sous une autre forme , dés embarras algébriques à peu près équivalents à ceux qu'occasionne l'usage direct du type le plus général.

Suivant cette supposition habituelle , les équations z = c et jr=ajc exprimeront aussitôt l'ensemble des conditions relatives à la génératrice , ainsi assujettie , en effet , à rester horizontale en glissant sur l'axe vertical : aussi ce couple ne contient-il spontanément que deux paramètres variables, dont l'élimination conduira facilement, d'après nos règles, au type très-simple

Mi)-

On peut simplifier beaucoup son application à la vérification spéciale de chaque cas , en y voyant l'expression naturelle d'an théorème général de géométrie comparée analogue à celui de Mong^uur les surfaces coniques. Car, un tel caractère indique

580 otoMâniB oak l'bspacb.

évidemment , oomme «o n* 155 , que réqHation du oonèlde est toajours homogène relativement aux seules variables x et y^ en ne faisant point participer la troisième coordonnée z à Tes-» timation du degré algébrique. Ainsi ^ l'idée analytique d'homogénéité qui , complètement envisagée , correspond à la notion géométrique d'un cône, se lie^ an contraire, à celle d'un conoïde, quand on lui fait subir cette modification élémentaire. Cette remarque générale caractérise analytiquement l'analogie sponta* née de ces deux familles , et tend à mieux motiver la dénomination qui rappelle un tel rapprochement. Quoi qu'il en soit , ce caractère comporte évidemment une application fort commode à l'appréciation géométrique de chaque équation particulière ; car, toute équation , comme, par exemple, z=^xjr^ considérée au n* 131 , qui se trouvera homogène envers deux ctes varia* Mes , représentera nécessairement un conoïde dont le plan directeur serait parallèle à ces coordonnées , et dont l'axe correspondrait à celle qui n'aurait point participé au degré. Un usage convenable des formules de transposition d'axes dans l'espace permettrait d'ailleurs de généraliser, mais très-péniblement , l'interprétation négative d'un tel symptôme analytique ; puisqu'il n'y a pas de conoïde qui , réciproquement , ne soit susceptible d'une pareille homogénéité partiale envers certains axes coordonnés.

160. Considérons, maintenant, pour une semblable équation collective, la détermination accoutumée de la fonction arbitraire conformément à une directrice donnée

L'élimination de x,^, z, entre ce couple spécial et le couple général z =c, j^ = ajc relatif à fa génératrice fournira aisément la liaison correspondante >{/(e,^) =0 des deux paramètres variables , d'où l'on dédun*a aussitôt l'équation du conoïde proposé i

en y changeant c en z et ^7 en ~.

SBGOHIII PâlTIB» GHAniU COHIVlfafB«

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532 GÉOHlâTRlE VANS L'ESPAGS.

2ir(r-f.zlang7— \/y+xO

y = j: tang

Àtangv

Quoique beaucoup plus compliquée / en général , que celle de la yis rectangubire ,* elle y rentre spontanément quand l'angle 7 devient droit. ^

Il convient maintenant d'apprécier la simplification générale qu'éprouve la formation de l'équation propre à chaque copoïde, lorsqu'on y prend spécialement pour directrice la trace de la surface sur un plan parallèle à Tun des deux plans verticaux. Les équationsde cette nouvelle base étant alorsy][^,z)=0, x=-dy

la relation des paramètres variables devient toujours fi-^c \=0, et conduit, pour le conoïde correspondant, à l'équation

jdx \

qui ne diffère de celle de la courbe donnée que par le simple

dx changement de x en — . C'est ainsi , entre autres , que, d'après

les équations x'^ ^^mzou z*=mx, le conoïde parabolique serait

représenté par les équations^'z = — x* on z*y = dmx^ seloff

que l'axe de sa base serait parallèle ou perpendiculaire au sien. Le cas le plus remarquable est , en ce genre , celiy du conoïde rectiligne , correspondant à la directricegr = «?, j? = az-hx. -. on trouvera aussitôt, pour cette surface, l'équation fort simple ayz^-oiy = dx^ dont le degré annonce que toutes les sections planes correspondantes sont des coniques. Si on y applique notre méthode générale pour l'étude de telles coupes, on reconnaîtra facilement qu'elles ne sauraient jamais être elliptiques, et qu'elles sont habituellement hyperboliques, sauf certainas situations déterminées où le plan sécant donne des pamOoleSr

SECONDE MRTIÊ, CÈAPÏTM CmQtJIÈMG. Sâ3

Ce conoïde sera plus spécialement examiné, au chapitre suivant, sous le nom consacré de paraboloïde hyperbolique.

Considérons enfin , comme envers les cylindres et les cônes, la formation de Téqnation propre à chaque conoïdc, quand il doit être circonscrit à une surface quelconque douuéefÇx^ j^, z) = 0. Le mode fondamental employé dans les deux antres cas est également applicable à celui-ci pour formuler le contact perpétuel de la génératrice , ^ = c , ^ = âto: , avec cette surface ; ce qui se réduira maintenant à exprimer, d'après les règles de la géométrie plakie, que la droite y=ax touche la courbe y* (J^5 j^, c) ==0 , en y employant , si on le juge convenable , le principe des racines égales. De la relation ainsi établie entre les paramètres variables a et c^ on passera d'ailleurs à Téquation daconoïde , comme. quand la directrice était donnée. Au reste, on pourrait aussi, dans ce nouveau cas, étendre la méthode, déjà indiquée à Fégard du cylindre et du cône , afin de caractériser directement la courbe de contact du conoïde avec la surface donnée, en assujettissant le plan tangent de celle-ci, (X— j:J/'^. + (^— J.J/V + (^~--2jA,=0 , à contenir toujours une horizontale rencontrant Taxe vertical , c'est-à-dire , à donner, en y supposant z=:z,y une droite dont la projection horizontale, {x — x,)/'x,+{y—y^)f'y,=^0, passe constamment à l'origine. On trouve ainsi

pour la seconde équation de cette courbe , qui dès lors pourrait devenir la directrice du conoïde circonscrit , de manière à faire rentrer cette question dans la précédente , si on le jugeait utile , comme envers les deux familles antérieures.

Appliquons , par exemple , cette méthode aii cas oii la surface donnée serait le cylindre vertical J^*+.>^*==''1 *** supposant toujours que le plan directeapr i»oit horizontal, mais en donnant

5M ftiolfénuB dans l'bspagi.

alors à Taxe da oonoïde une ntuation obliqae » qu'on peiil d'ailleurs concevoir parallèle à l'an des deux autres pbns coordonnés. Si les équations de cet axe sont a: =; oz -f- « t or^ d , sa* rencontre avec une génératrice quelconque, z^e^ :r=?>^+9 « fournira d'abord la condition d=ipac'\-p%'\-q> La relation de contact sera ensuite q^=r''(p^-\'\). En éliminant les |iara-* mètres fariables/i, 9, et c , entre ces deux équations de condition et celles de la génératrice , on trouvera , pour la surface i^rchée , Véquation du quatrième degré

Cette surface est ordinairement celle de l'escalier à jour, quand la rampe est rectiligne. Mais , si l'arête horizontale des marches, en touchant toujours le cylindre vertical j^"+j:"=r\ devait d'ailleurs glisser sur une hélice , appartenant à un plus grand cylindre autour du même axe^ le lieu ne serait plus un Gonoïde. Toutefois , son équation spéciale ne serait pas plus difficile à former, d'après les mêmes équations z^c etj^=/7ar+^ pour la génératrice, en substituant à Taxe du conoïde Thélice

directrice :t:£=Rcos-=-z,^sRsiii-r- s. A l'andenne relatk» de contact 9'=r'(p'-f 1), il faudrait ici joindre la nouvelle condition de rencontre R sin -^caip /» R ooi -^^ ^^^ L'élimi^

nation des trois paramètres variables p, ?, c, entre ces équations et celles de la génératrice , fournirait , pour la surface cherchée, l'équation transcendante

R* \xt\n ^2-^cos-^z ) ='^( (^— R sta-Aj j 4.^:1:— Rcos-j^sV]

où R désigne le rayon de la cage eyloMirique de l'esceUer et r cetari ée k colonne vide.

SECONDS PARTIE, CHAPITIIB SnUÈMB. 535