CHAPITRE VI

Théorie générale complénienUire^ relative à toas les groupes géométriques dont Véquation collective n'est pas connue , et surtout aux surfaces rectilignes ou circulaires.

161. L'étudësuccessive des ramilles les plus usuellesa tellement caractérisé , dans les quatre chapitres précédents, Tapplication normale des principes fondamentaux établis d'abord sur la classification rationnelle des surfaces, que le lecteur attentif ne saurait éprouver aucune grave difficulté à étendre spontanément le même esprit à de nouvelles familles quelconques dont la considération pourrait devenir convenable, pourvu que leurs définitions restassent conformes à la condition universelle que nous avons préalablement posée. Mais , afin de procurer à ces notions générales toute l'efficacité possible , il faut maintenant compléter leur appréciation essentielle, en la dégageant des équations collectives qui ne doivent servir qu'à en perfectionner l'usage régulier, de manière à pouvoir résoudre, en chaque cas particulier , les deux questions principales relatives à la formation et àla discussion des équations d'après le mode de génération des surfaces correspondantes , même envers les groupes géométriques qui n'ont pu encore être convenablement ramenés à de tels types analytiques. Pour bien sentir l'importance de cette théorie complémentaire, nous devons préalablement caractéri'ser les difficultés fondamentales qui empêchent jusqu'ici, et qui peut-être interdiront toujours, à beaucoup d'égards, rétablis.sèment de ces précieuses formules communes.

Ces difficultés sont de deux sprtes très-distinctes , les unes

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rdatives à la nature des familles de surfaces cODsidérées , les autres à la trop grande extension des groupes naturels. Sous le premier aspect, il faut reconnaître que, sans excéder les limites normales de la famille proprement dite, notre appréciation analytique ne se trouve pas toujours en suffisante harmonie jusqu'à présent avec notre conception géométrique. Persistons, en effet, suivant les explications initiales, à ne composer chaque famille que des surfaces dont tonte la différencie réside en une seule ligne fixe, et dont,. par suite, l'équation collective ne doit contenir qu'une seule fonction arbitraire. Or , ainsi conçue, la définition géométrique de chaque famille échappera encore trop souvent à nos types analytiques. Car, les moyens actuellement connus ne permettent de former ces équations communes qu'autant que le mode de génération considéré peut être défini et formulé indépendamment de cette courbe spécifique par laquelle diffèrent les divers genres d'une môme famille. Quand cette ligne sera une directrice proprement dite , sur laquelle la génératrice devra simplement glisser, cette condition préalable se trouvera toujours remplie, et l'on pourra constamment réduire les équations de la génératrice à ne contenir que deux paramètres variables, de manière à composer finalement réquation collective, comme nous l'avons éprouvé dans les cas principaux. Mais il n'en sera plus ainsi lorsque la courbe spé^ cifique , que Ton peut continuer , par extension , à qualifier encore de directrice, sera plus profondément liée à la définition de chaque surface, de façon à constituer un élément indispensable du mode même dé génération : on ne pourra plus alors former les équations générales de la génératrice indépendamment d'une telle directrice , et en n'y laissant que deux constantes arbitraires. Dans tous les cas semblables, on ignore jusqu'ici quelle serait l'équation collective , quoique le groupe géométrique ne soit pas réellement plus étendu qu'auparavant :

SEGONDB PARiriK^ €HAPIT&fe SltlJEHE. 537

seulement l'analyse transcendante y permet encore la formation des caractères indirects relatifs à la liaison des denx dériyées partielles de la variable dépendante , et qui correspondent géométriquement à une propriété générale du plan tangent. Telles seraient, par exemple, les surfaces, spécialement considérées ci-déssous , qu'engendrerait un cercle invariable dont le centre décrit une ligne fixe à laquelle son plan reste toujours normal : en changeant arbitrairement cette directrice du centre, cette définition constitue certainement une véritable famille, plus embarrassante mais aussi circonscrite que celles des cônes, des corps ronds , etc. ; or , son équation collective n'est pas connue jusqu'ici sous forme finie.

Quelle que soît l'importance réelle de ce premier ordre de diflBcultés analytiques, il est aisé de concevoir que Textension supérieure des groupes géométriques doit constituer le principal obstacle à la commune appréciation abstraite de chacun d'eux , quoique la nature identique de la génératrice continue encore à établir, entre ces cas plus variés, une véritable affinité fondamentale. En partant de la simple famille, dont l'indétermination consiste analytiquement en ce que les équations de la génératrice y peuvent être supposées réduites à ne contenir que deux constantes arbitraires, on peut facilement imaginer des groupes de plus en plus indéterminés, et néanmoins toujours naturels ; leur extension se mesurera spontanément par le nombre des paramètres variables propres au couple analytique de la génératrice, quand toutes les conditions de chaque définition collective y auront été suffisamment formulées. Or , aucun de ces assemblages plus étendus ne comporte jusqu'à présent de véritable type analytique , sauf les caractères indirects que l'analyse transcendante y a pu manifester, et seulement même envers très-peu de cas.